高三数学随机事件的概率

10.5随机事件的概率

一、明确复习目标

1. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义; 2. 了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.

二．建构知识网络

1. 事件的定义：

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.

2. 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m 总是

n

接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).

m

≤1) ∴ 0≤P (A ) ≤1; n

必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0.

3. 概率的性质：(由定义知,0≤m ≤1, 0≤

必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形. 4. 等可能性事件：如果一次试验中有n 个可能的结果——称为基本事件，且每个基本事

1

，这种事件叫等可能性事件. n

5. 等可能性事件的概率：在等可能事件中, 如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概

m

率P (A ) =.

n

件出现的可能性都相等，即每个基本事件的概率都是

6. 求概率的方法:

(1)等可能性事件的概率, 步骤:

①明确事件A 的意义, 确定是否等可能性事件. ②求出一次实验可能出现的结果的总数n;

求m,n 时, 要注意是否与顺序、位置有关，是“有放回”还是“无放回”抽取，正确排列、组合公式或计数原理求出分母n 和分子m;(分子、分母可以与顺序同时有关或无关，解题时可以灵活处理) 。

m

求出概率值. n

(2)通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率. ③用等可能性事件概率公式P =

三、双基题目练练手

1. (2005广东) 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y =1的概率为 （ ）

A ．

1

6

B ．

5 36

C ．

1 12

D ．

1 2

2. (2006安徽) 在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三．．．角形的概率为 （ ）

A ．

1

7

B ．

2

7

C ．

34 D． 77

3. （2006江西）将7个人(含甲、乙) 分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分

组数为a ，甲、乙分在同一组的概率为P ，则a 、P 的值分别为 （ ）

54 B . a =105, P = 212154

C . a =210, P = D . a =210, P =

2121

A ．a =105, P =

4. (2004辽宁) 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，

若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .

5．在两个袋中各装有分别写着0，1，2，3，4，5的6张卡片. 今从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和恰为7的概率为________.

6. 将1，2，„，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为________;

7. 把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则 恰有一个空盒的概率等于_______.

123C 5C 4÷2+C 55

=，选A ◆练习简答:1-3.CCA; 3. a=C7C 4÷2=105, p =

10521

32

141

1+C 5C 5+C 54C 5+11341

4. 数字和可是0、1、4、5，概率为 ; 5. P ==. =511

C 6⋅C 69C 1063

33

6. 分母为C 9，（135），（147），（159），再定⋅C 6÷3! ，求分子时先确定一组有:（123）

另两组„, 答:

1

. 56

23C 194C 4A 3

P （A ）==.

1644

7. 选一盒空C 41种，把4球分三组C 42种, 再把三组放入三盒有A 33种, 故恰有一个空盒的结果数为

C 4C 42A 33, 所求概率

1

四、经典例题做一做

【例1】一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取3个球，每次取一个. 设{恰

有一个红球}=A ，{第三个球是红球}=B . 求在下列条件下事件A 、B 的概率.

（1）不返回抽样；（2）返回抽样. 解：（1）不返回抽样,

P （A ）=

12

C 12C 3A 8

3

A 102C 12A 93A 10

C C 77

=, (与顺序有关), 或238= (与顺序无关) 15C 1015

1. 5

12

P （B ）==

（2）返回抽样,

P （A ）=C13

2

C 12824812⨯10（）=, P （B ）== .

[1**********]

【例2】 某油漆公司发出10桶油漆，其中白漆5桶，黑漆3桶，红漆2桶. 在搬运中所

有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，问一个定货3桶白漆、2桶黑漆和1桶红漆的顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

解：随意贴上的标签等于没贴标签, 从10桶油漆中随意取.

P （A ）=

21C 35C 3C 2

6

C 10

=

2. 7

2. 7

【例3】将甲、乙两颗骰子先后各抛一次, a 、b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.

（1）若a+b

（2）若点P （a , b ）落在直线x +y=m （m 为常数）上, 且使此事件的概率最大, 求m 的值. 解：（1）基本事件总数为6×6=36. 当a =1时, b =1,2,3;

1 2 3 4 5 6

当a =2时, b =1,2;

和

当a =3时, b =1.

1 2 3 4 5 6 7

共有（1,1）, （1,2）, （1,3）, （2,1）, （2,2）,

2 3 4 5 6 7 8

（3,1）6个点适合题设,

3 4 5 6 7 8 9

61

∴P （A ）==. 4 5 6 7 8 9 10

366

5 6 7 8 9 10 11

（2）由表可知,m=7所含的基本事件最多,

6 7 8 9 10 11 12

61

发生的概率最大此时P == 最大.

636

【例4】 （2004全国Ⅱ）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支. 求：

（1）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （2）A 组中至少有两支弱队的概率.

解:（1）A 组中恰有两支弱队, 或一只弱队, 概率为

答：顾客按所定的颜色得到定货的概率是

2213C 3C 5+C 3C 56C 165

,(也可按对立事件求: 1) =-⨯2=44

C 87C 872231

C 3C 5+C 3C 51

（2）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率为= 4

C 82

(也可分为互斥的的两部分算:

22

C 3C 54C 8

+

1C 33C 54C 8

=

1) 2

解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为

1. 2

【研讨. 欣赏】

（1）从0、2、4、6、8这五个数字中任取2个，从1、3、5、7、9这五个数字中任取1个。能组成多少个没有重复数字的三位数？在这些三位数中任取一个恰好能被5整除的概率是多少？

（2）从1、2、3„„10这10个数字中有放回的抽取3次，每次抽取一个数字，求三次抽取中最小数是3的概率。

11112213

解：（1）若取0则有C 1C 4C 5A 2A 2=80个三位数，若不取0，则有C 4C 5A 3=180，所以1112共有80+180=260个三位数；而被5整除的三位数为：若0为个位数的有C 1C 4C 5A 2=40个，1112若5为个位数，则含0有C 1C 1C 4=4个，不含0有A 4=12个，所以是5的倍数共有

40+4+12=56个。故所求的概率P=

5614

=。 26065

14 65

答：在这些三位数中任取一个恰好能被5整除的概率是。

3

1

（2）有放回都抽取3次共有10个结果，因最小的数是3可分为：恰有一个3的有C 3⋅7223个，恰有2个3的有C 3个，所以所求概⋅7个，恰有3个3的有C 313

C 3⋅72+C 32⋅7+C 3

=0. 169。 P=3

10

答：三次抽取中最小数有3的概率0. 169．

◆提炼方法：等可能性事件的概率, 只需求出分母和分子, 关键是确定“分子”条件, 正确运用排列组合、计数原理算出分子的数目。

五．提炼总结以为师

1． 2． 3．

正确理解概率的概念，

熟练掌握等可能性事件概率的求法;

准确理解题意, 合理设计解题方案, 灵活简洁地运算, 谨防重复遗漏．

同步练习

10.5随机事件的概率

【选择题】

1. (2006福建6) 在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 ( )

A.

2

7

B.

3

8

C.

3

7

D.

9 28

2. 从1，2，„，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 ( )

A .

5

9

B .

4

9

C .

11

21

D .

10 21

3．（2004重庆）某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加, 其中一班有3位, 二班有2位, 其他班有5位. 若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学不排在一起的概率为 ( )

1111

B . C . D . 102040120

3．甲、乙二人参加法律知识竞赛, 共有12个不同的题目, 其中选择题8个, 判断题4个. 甲、乙二人各依次抽一题, 则甲抽到判断题, 乙抽到选择题的概率是 （ ）

A .

621825 B . C . D . 25253333【填空题】

4．(2005重庆) 某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .

A .

5．(2005上海) 某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程. 从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）

6. 用数字1，2，3，4，5组成五位数，其中恰有4个相同数字的概率等于_______.

◆练习简答：1-3.A CB;

2. 抽取3个数全为偶数, 或2个奇数1个偶数, 概率为

12

C 34+C 4C 5

C 39

=

11

. 21

36

3.10位同学总参赛次序A 1010. 先将一班3人捆在一起A 3, 与另外5人全排列A 6, 二班2

62

A 33A 6A 7

位同学插空

2

A 7

, 即

62A 33A 6A 7

. 所求概率

A 1010

=

1

. 20

4．分母46，分子C 61C 52A 44, 所求概率为

11

3C 145C 4C 55. ; 6. P ==. 5

12575

45

； 128

【解答题】

7．某产品中有7个正品，3个次品，每次取一只测试，取后不放回，直到3只次品全被测出为止，求经过5次测试，3只次品恰好全被测出的概率。

5

解：“5次测试”相当于从10只产品中有序的取出5只产品，共有A 10种等可能的基本224事件，“3只次品恰好全被测出”指5件中恰有3件次品，且第5件是次品，共有C 7C 3A 4种，224

C 7C 3A 41

所以所求的概率为。 =5

A 1020

8. 把编号为1到6的六个小球，平均分到三个不同的盒子内，求：

（1）每盒各有一个奇数号球的概率； （2）有一盒全是偶数号球的概率.

22

解：6个球平均分入三盒有C 6C 24C 2种等可能的结果.

3

（1）每盒各有一个奇数号球的结果有A 33A 3种，

3

A 33A 3422C 6C 4C 2

所求概率P （A ）==

2

. 5

22

（2）有一盒全是偶数号球的结果有（C 3C 1·C 23）4C 2，

212

(C3C 3) ⋅C 24C 2

222

C 6C 4C 2

所求概率P （A ）==

3

. 5

9．从男生和女生共36人的班级中任意选出2人去完成某项任务，这里任何人当选的机会都是相同的，如果选出的2人有相同性别的概率是

1

，求这个班级中的男生，女生各有2

多少人?

解： 设此班有男生n 人(n∈N,n ≤36) ，则有女生(36-n)人，

从36人中选出有相同性别的2人，只有两种可能，即2人全为男生，或2人全为女生.

22

从36人中选出有相同性别的2人，共有(Cn +C36-n ) 种选法.

22C n +C 36-n

因此，从36人中选出2人，这2人有相同性别的概率为 2

C 3622

1C n +C 36-n

依题意，有＝ 2

2C 36

经过化简、整理，可以得到

n -36n+315＝0.

所以n ＝15或n ＝21，它们都符合n ∈N ，n

答：此班有男生15人，女生21人；或男生21人，女生15人.

10. 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.

（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 分析：（1）是等可能性事件，求基本事件总数和A 包含的基本事件数即可. （2）分类或间接法，先求出对立事件的概率.

11

解：（1）基本事件总数甲、乙依次抽一题有C 10C 1事件A 包含的基本事件数为C 19种，6C 4，

1

C 16C 41C 110C 9

2

故甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为=

4

. 15

（2）A 包含的基本事件总数分三类：

1

甲抽到选择题, 乙抽到判断题有C 16C 4； 1甲抽到选择题, 乙也抽到选择题有C 16C 5; 1甲抽到判断题, 乙抽到选择题有C 14C 6.

1111111共C 16C 4+C6C 5+C4C 6. 基本事件总数C 10C 9，

∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为:

11111C 16C 4+C 6C 5+C 4C 6

1

C 110C 9

1

C 14C 31C 110C 9

=

13

或P （A ） 15

==

213，P （A ）=1－P （A ）=. 1515

【探索题】某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把. 于是，他

逐把不重复地试开，问：

（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ （2）三次内打开的概率是多少？

（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？

解：5把钥匙，逐把试开有A 55种等可能的结果.

（1）第三次打开房门, 须把能开房门的钥匙放在第三位, 结果有A 44种，因此第三次打开

A 11

房门的概率P （A ）=5=.(另法4) =3

5A 5A 55

A 44

（2）三次内打开房门的结果有

3A 44

种，因此，所求概率P （A ）=

3A 44A 55

2

=

3

. 5

113

（3）法1：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有C 12A 3A 2A 3种；211323三次内恰有2次打开的结果有A 3A 3三次内打开的结果有C 13种. 因此，2A 3A 2A 3+A3A 3种，

所求概率

P （A ）=

11323

C 12A 3A 2A 3+A 3A 3

A 55

=

9

. 10

1221C 2A 3A 3+A 32A 39

法2:只计算三次, 分只有一次打开, 恰有两次打开:. =3

A 510

2

法3：因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A 33A 2种，从而三次内打开

32

A 55-A 3A 2

的结果有

32

A 55－A 3A 2

种，所求概率P （A ）=

A 55

=

9

. 10