考研高数局部保号性在定理证明中的应用
考研数学：局部保号性在定理证明中的应用
学习函数极限的性质的时候，有一个重要的性质叫做函数极限的局部保号性，也称为局部保序性，今天跨考教育数学教研室邵伟如老师为大家具体讲解局部保号性在定理证明中的应用知识。
函数极限的局部保号性定理内容为：如果lim f (x ) =A , 且A >0(或A
00, 使得当时，有f (x ) >0(或f (x )
的话，求极限的函数在一个邻域内与该点处极限保持相同的符号。这个定理还有一个常用的
x ∈(x 0-δ, x 0) ⋃(x 0, x 0+δ) 时，推论：若存在常数δ>0, 使得当有f (x ) >0(或f (x )
且极限x →x 0lim f (x ) 存在，则x →x 0lim f (x ) ≥0(或≤0) , 即在某点的去心邻域内，函数的符号确定的话，那么其极限的符号在这一去心邻域内也能确定。这个定理沟通了函数与极限之间符号之间的关系，所以凡是讨论到极限的符号或函数的符号问题的时候都应该想到应用这个定理去解决。那么，在高等数学中哪些考点哪些定理是应用了局部保号性的呢？下面邵老师为大家做一个整理。
与局部保号性联系最紧密的是函数的极值部分的定理，大家知道，在驻点是可疑的极值点，要判定驻点是否为极值点，有两个方法，一个的极值第一充分条件，一个是极值第二充分条件，如果函数二阶可导的话，显然极值第二充分条件有不可替代的优势，尤其是极值问题与隐函数结合考查的时候。
' '' x f (x ) =0f (x 0) >0, f (x ) 00第二充分条件的内容是：设函数在处存在二阶导数且，
'' '' x x f (x )
x 则f (x ) 在0处是否取极值未知. 这个定理涉及到了导数的符号问题，所以是依靠局部保号性来证明的。与这个定理平行的另一个定理是判定拐点的第二充分条件，定理内容是：设函
'' '" x f (x ) =0, f (x 0) ≠0, 则点(x 0, f (x 0)) 为曲线f (x ) 00数三阶可导且在点处有且
y =f (x ) 的拐点。 这个定理中一样涉及到导数的符号问题，所以仍是由局部保号性证明的。
再来看一道真题，设函数f (x ) 有二阶连续导数，f ' (0)=0,lim x →0f "(x ) =1, x 则讨论f (0)是否为极值点，(0,f (0))是否为拐点。这道题非常典型，已知极限的符号，讨论函数的符
f "(x ) >0, x 号，明显的局部保号性的使用标志。由极限等于1可知，函数极限在0的左右邻域内符号为正，那么根据保号性，在这一去心邻域内，要求极限的函数而分母恒大于0，所
以可以断定，分子f "(x ) 在去心邻域内大于0，此时不能根据二阶导函数大于0就断定0点为极小值点，因为第二充分条件需要的是f "(0)的符号，不是去心邻域内导函数的符号，那么接下去就根据二阶导函数的符号可以得到一阶导函数在去心邻域内单调递增，而f '(0)=0，结合二者可知在0点的左右两侧邻域，一阶导函数符号发生了改变，先减后增，因此0这一点为极小值点，此题得解。从整个分析过程可知，第一步由局部保号性得到的结论在解题过程中起到了至关重要的作用。
经过以上分析我们需要掌握两点：1、局部保号性定理内容及结论；2、何时需要考虑使用局部保号性去解决问题。
文章来源：跨考教育