线代---线性方程组
[基本要求]掌握行[内容总结]
方程组的三种表示形式:
⎧a 11x 1+ +a 1n x n =b 1⎪⎨ ⎪a x + +a x =b ⎩m 11mn n m
重要结论:1. 克朗姆法则(Cramer ) :2. 若n 元齐次方程组AX=θ与B X=θ同解, 则R(A)=R(B).
①n 元齐次线性方程组AX=θ有非零解
←→ R(A)
←→α1,…,αn 线性相关.
②n 元非齐次线性方程组AX=b有解
←→R(A,b)=R(A)
←→b 能由α1,…,αn 线性表示.
4. 设A=(a ij ) m×n ,若R(A)=r,则n 元齐次线性方程组AX=θ的基础
解系就含n-r 个向量.
齐次x =k 1ξ1+…+k n-r ξn-r , k i ∈R
非齐次x =η0+ k 1ξ1+…+k n-r ξn-r , k i ∈R
注意[例题分析]
⎛12-2⎫ ⎪
A = 4t 3⎪ 3-11⎪⎝⎭
[97年数一]( -3 )
2. 设n 阶矩阵A 的各行元素之和为0,且R(A)=n-1,则齐次线性方程组AX=θ的通解为 [93年数一] k(1,1,…,1) T , α1+…+αn =θ -----------------------------------------------
3. 已知β1, β2是非齐次方程组AX= b的两个不同的解, α1, α2是其导出组AX=θ的基础解系, 则方程组AX=b的通解必是( ).
(A) k1α1+k2(α1+α2)+(β1-β2)/2;
(B) k1α1+k2(β1+β2)+(β1-β2)/2;
(C ) k1α1+k2(α1-α2)+(β1+β2)/2;
(D) k1α1+k2(β1-β2)+(β1+β2)/2. --------------------------------------------------------
⎧x 1+x 2=5⎪2x 1+x 2+x 3+2x 4=1⎨4. 设非齐次线性方程组,求通⎪5x +3x +2x +2x =3⎩1234
解.
⎛1010-8⎫ ⎪3⎪,R(A)=R(A,b)=3, 有无穷多解. 答案:A ~ 01-10
00012⎪⎝⎭
⎧x 1=-x 3-8⎪原方程组化为 ⎨x 2=x 3+3,特解η=(-8,3,0,2)T , ⎪x =2⎩4
⎧x 1=-x 3⎪导出组为 ⎨x 2=x 3, 基础解系含一个解向量 ξ =(-1,1,1,0)T
⎪x =0⎩4
通解为 x =η+k ξ, k 为任意实数.
5. 讨论当k 为何值时,线性方程组
⎧x 1+ x 2+k x 3=4⎪2⎨ -x 1+kx 2+x 3=k ⎪ x -x +2x =-4⎩123
(1)有唯一解?(2)有无穷多解?(3)无解?[习题4.2-2]答案:|A|= (k -4) (k +1),
当|A|≠0,即k ≠4且k ≠-1时,有唯一解;
⎛1124⎫⎪~ A → 0114⎪,有无穷多解; 当k =4时, 0000⎪⎝⎭
⎛11-14⎫⎪~ 38⎪,无解. 当k =-1时,A → 0-2
0001⎪⎝⎭
5. 设向量组α1=(-1,1,4)T , α2=(-2,1,5)T ,
α3=(a ,2,10) T , β=(1,b,c)T , 试问当a,b,c 满足什么条件时,
(1) β可由α1, α2, α3线性表示, 且表示式唯一?
(2) β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示式不唯一?
(3) β不能由α1, α2, α3线性表示? [复习题6]
[仿习题4.3-4]
7. 设矩阵A=(α1, α2, α3, α4), 其中α2, α3, α4线性无关, α1=2α2-α3, 向量β=α1+α2+α3+α4, 求方程组AX=β的通解. [复习题9] [02年数一] 8. 设有齐次线性方程组
⎧(1+a ) x 1+x 2+x 3+x 4=0⎪2x +(2+a ) x +2x +2x =0⎪1234⎨⎪3x 1+3x 2+(3+a ) x 3+3x 4=0,试问a 取何值时, 该方程组⎪⎩4x 1+4x 2+4x 3+(4+a ) x 4=0
有非零解, 并求出其通解. [仿04年数一]
[习题4.3-5]
[从此题的结论(2)知道非齐次方程组AX=b的解向量组的极大无关组含n-r+1个解向量]
11. 设四元齐次线性方程组
⎧x 1+x 2=0⎧x 1-x 2+x 3=0⎨⎨(Ⅰ) x ⎩2-x 4=0 (Ⅱ) ⎩x 2-x 3+x 4=0 求: (1) 方程组(Ⅰ) 与(Ⅱ) 的基础解系;(2) 方程组(Ⅰ) 与(Ⅱ) 的公共解.(联立方程可得公共解)[复习题7]