每日一题型 2 比较大小作差比较法
题型 2 比较大小之作差比较法
作差比较法的理论依据：
a -b >0⇔a >b
a -b =0⇔a =b
a -b
作差比较法的步骤：作差、变形、定号、下结论。
变形的方法：通分、因式分解、提取公因式、十字相乘、配方、分子分母有理化、平方后作差等方法，同时注意每一步变形必须是等价变形。
变形的结果是因式积，完全平方式等形式。
变形的目的是为了判断差值的符号。
作差比较法适用于实数（代数式）的大小不明显，作差后可化为积或商的形式的比较大小问题。
回想高一学习定义法证明函数单调性的过程，分别是取值、作差、变形、定号、下结论。 两者之间大致相同。
例1：已知a , b ∈R +, 且a ≠b , 试比较a +b和a b +a b 的大小.
解：a +b-a b -a b =a 3(a 2-b 2)+b3(b 2-a 2) =(a 2-b 2)(a 3-b 3)
=(a +b )(a -b )(a -b )(a +ab +b ) =(a -b ) (a +b ) ⎢(a +
因为a , b ∈R +, 且a ≠b ,
所以(a -b ) >0，a +b >0，(a +
所以a +b-a b -a b >0
所以a +b>a b +a b
小结：此题采用提取公因式、因式分解、配方等变形方法.
例2：设x ∈R , 比较[***********]553223222⎡⎣1232⎤b ) +b ⎥ 24⎦21232b ) +b >0， 241与1-x 的大小. x +1
1x 2
-(1-x )=x +11+x
x 2
=0 当x =0时，1+x
1=(1-x ) x +1
x 2
1
x 2
>0 当-10时，1+x
1>(1-x ) x +1
小结：此题采用通分，同时注意结合使式子有意义的隐含条件进行分类讨论. 例3. 已知a ≥
1，试比较M =
和N =. 解：M -
N =
因为a ≥
1
>0, 所以M -N >0，所以M >N .
小结：此题采用分子有理化、通分等变形技巧.
来看看几道练习题：
1、若x
2、若a ∈R , p =a -a +1, q =21, 比较p 与q 的大小关系. 2a +a +1
3、设a >
5, 试比较M
N =. 答案：1、(x +y )(x -y ) >(x -y )(x +y )
2、p ≥q , 当且仅当a =0时，等号成立
3、M
2222
题型 2 比较大小之作差比较法
作差比较法的理论依据： a -b >0⇔a >b
a -b =0⇔a =b a -b
作差比较法的步骤：作差、 变形、定号、下结论。
变形的方法：通分、因式分 解、提取公因式、十字相乘、配 方、分子分母有理化、平方后作 差等方法，同时注意每一步变形 必须是等价变形。
变形的结果是因式积，完全 平方式等形式。
变形的目的是为了判断差值 的符号。
作差比较法适用于实数（代 数式）的大小不明显，作差后可 化为积或商的形式的比较大小问 题。
回想高一学习定义法证明函
数单调性的过程，分别是取值、 作差、变形、定号、下结论。 两者之间大致相同。
例1：已知a , b ∈R , 且a ≠b , 试比 较a +b和a b +a b 的大小.
322355a b -a b = a +b-解：+553223
a (a -b )+b(b -a ) =(a -b )(a -b )
22(a +b )(a -b )(a -b )(a +ab +b ) =3223222233
1232⎤⎡(a +b ) +b ⎥ =(a -b ) (a +b ) ⎢24⎦⎣2
+a , b ∈R , 且a ≠b , 因为
所以(a -b ) >0，a +b >0，
1232(a +b ) +b >0， 24
322355a b -a b >0 a +b-所以
552所以a +b>a b +a b
小结：此题采用提取公因式、 因式分解、配方等变形方法.
1例2：设x ∈R , 比较x +1与 3223
1-x 的大小.
1
x +1-x (1-x )=1+x 2
x 2
当x =0时，1+x =0 1
x +1=(1-x )
x 2
当x
当-10时， x 1>0 1-x >() x +11+x 2
小结：此题采用通分，同时注意 结合使式子有意义的隐含条件 进行分类讨论.
例3. 已知a ≥1，试比较
M =-
和N =-的大小. 解：M -
N =11-
-=
因为a ≥
1，所以
>0,
>0,
所以M -N >0，所以M >N . 小结：此题采用分子有理化、 通分等变形技巧.
来看看几道练习题：
1、若x
22(x -y )(x +y ) 的大小关系. 与
12、若a ∈R , p =a -a +1, q =a 2+a +1, 2
比较p 与q 的大小关系.
3、设a >
5, 试比较M =
与N =. 答案：
1、(x +y )(x -y ) >(x -y )(x +y )
2、p ≥q 3、M