高中数学必修五 数列求和方法
数列求和的方法
一、利用常用求和公式求和
1. 等差数列求和公式:S n =n (a 1+a n ) n (n -1) =na 1+d 22
(q =1) ⎧na 1⎪n 2. 等比数列求和公式:S n =⎨a 1(1-q ) a 1-a n q =(q ≠1) ⎪1-q ⎩1-q
n 113. S n =∑k =(n +1) 4. S n =∑k 2=(n +1)(2n +1) 62k =1k =1n
5. S n =132 k =[n (n +1)]∑2k =1n
222【例题】等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 12+a 2+a 3+ +a n =
★练习 若12+22+ +(n -1)=an 3+bn 2+cn ,则a , b c 二、错位相减法求和
主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
【例题】求和:S n =1+3x +5x 2+7x 3+⋅⋅⋅+(2n -1) x n -1.
★练习 求数列22462n , 2, 3, ⋅⋅⋅, n , ⋅⋅⋅前n 项的和. 2222
三、倒序相加法求和 【例题】已知函数,
(1)证明:
⎛1⎫(2)求f ⎪+⎝n ⎭; ⎛2⎫⎛n ⎫f ⎪+ +f ⎪的值. ⎝n ⎭⎝n ⎭
★练习 求值:.
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 【例题】求数列a n =1
a n -1+3n -2(a 为常数) 的前n 项和S n .
★练习 求数列{n (n +1)(2n +1)}的前n 项和S n .
五、裂项法求和
sin 1
(1) a n =f (n +1) -f (n ) (2) =tan(n +1) -tan n cos n cos(n +1)
111(2n ) 2111(3) a n = (4) a n ==-=1+(-) n (n +1) n n +1(2n -1)(2n +1) 22n -12n +1
(5) a n =1111=[-] n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
(6) a n =n +212(n +1) -n 1111 ⋅n =⋅n =-, 则S =1-n n -1n n n (n +1) 2n (n +1) 2n ⋅2(n +1) 2(n +1) 2
1111=(-)
(An +B )(An +C ) C -B An +B An +C
= (7) a n =(8) a n =
【例题】求数列a n =1的前n 项和S n . n n +2n +1的前n 项和S n . n ★练习 求数列a n =ln
六、分段求和法(合并法求和)
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .
【例题】已知数列{a n }满足:a 1=1, a 2=3, a 3=2, a n +2=a n +1-a n ,求S 2016.
★练习 求数列a n =sin
【例题】求数列a n =⎨n π的前2016项和S 2016. 4⎧2n +1, n 为奇数的前n 项和S n . n 2, n 为偶数⎩
★练习 求S =12-22+32-42+ +(-1) n -1n 2(n ∈N +).