利用定义计算特殊类型的函数极限

第２１卷第４期高等函授学报（ｔｔ然科学版）

Ｖ０１．２ｌＮｏ．４２００８年８月

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）

Ａｕｇｕｓｔ

２００８

・大学教学・

利用“定义，ｉ计算特殊类型的函数极限

冯永平，邓明香

（广州大学数学与信息科学学院。广州

５１０００６）

摘要：极限是数学分析的理论基础和重要工具。涉及极限的中心问题有两个：一为证明极

限存在，另一个为求极限的值。本文在给出“导数定义”的基础上。得到了改进的洛必迭准则，对函数比值的极限提供了一种直接计算方法。在给出“定积分定义”的基础上对于具有一定结构的和式数列极限提供了一种计算方法。

关键词：数列极限；函数极限；导数；定积分

中图分类号：ｏ．０１７２．１

文献标识码：Ａ文章编号：１００６—７３５３（２００８）０４—００１３—０３

在文献ｎ。３３中分别对求极限的方法作了综述２），（ｚ），ｇ（工）在知处可导，并且ｇ（Ｘｏ）≠０，则

性介绍。但是对某些特殊函数或数列的极限利用“导数的定义”或“定积分的定义”可以简化计算，溉船＝而ｆ（Ｘｏ）．

对此类问题及常见类型有关讨论的文献甚少，本证明

’因为厂（ｚ），ｇ（ｚ）在ｚ。处可导，故

文对这类问题的类型给出改进的洛必达准则及计，（ｚ），ｇ（ｚ）在Ｘ。处连续，上述的极限可以转算方法。

化为：

１

利用“导数的定义”计算极限

定义１．１［４］

设函数厂（ｚ）在点Ｘ。的某邻域

裟器一罂躺内有定义，若极限

ｌｉｍ』堕二￡垫！

＝璺浅ｇ善麓ｇ

：一％（（ｚ）一Ｌ

Ｘｏ糌／Ｘｏ

）Ｊ

Ｌｚ一

）

（１．１）

ｚ一吒

Ｚ—Ｘｏ

由于，（ｚ），ｇ（ｚ）在ｚ。处可导，故上式比值极存在，则称函数，（ｚ）在点ｚ。处可导，并称该极限限的分子、分母极限存在，且分母极限不为零，由为厂（ｚ）在点ｚ。处的导数，记作／（ｚ。）。由以上定极限的四则运算准则我们有：

义可以看出，函数在点ｚ。处的导数为一比值的极

．，、

ｌｉｍ（厂（ｚ）一ｆ（ｘｏ））／（ｚ—ｚｏ）

ｎ

限，可以用该定义计算具有比值（特别是“姜”型）

Ｕ

一ｌｉｍ船＝需丢再面嘉高

的数列或函数极限，关键问题为如何构造适当的函数将计算的极限转化为具有定义（１－１）的形一丽。

一ｆ（Ｘｏ）

注

①该定理改进了常见的洛必达准则，极

式。特别的，有下面改进的洛必达准则。

大的减弱了洛必达准则在ｚ。的邻域内可导的条定理１

设函数厂（ｚ），ｇ（ｚ）满足：

件，只要求函数在点ｚ。处可导即可；

１）ｌｉｒａ厂（ｚ）＝０，ｌｉｍｇ（ｘ）＝０；

②上述的ｚ—ｚ。可以推广为ｚ一对及．２７一

收稿日期：２００８—０４—２２．

基金项目：广东省自然科学基金（５３００４０４）和广州市教育局计划科技项目（Ｎｏ．［２００４－］１４，２００７）．

作者简介：冯永平（１９７５－－），男．甘肃甘谷人．博士。副教授，主要从事多尺度有限元的理论与分析研究及数学分析等

课程的教学和研究工作．电子信箱：ｆｆｙｙｐｐｍａｔｈ＠１６３．ｃｏｒｎ．

邓明香（１９７４－－）．女，甘肃秦安人，硕士．讲师。主要从事高等数学、空间解析几何等课程的教学与代数半群理论研究．

１３

　

第２１卷第４期２００８年８月

高等函授学报（自然科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）

Ｖ０１．２ｌＮｏ．４

Ａｕｇｕｓｔ２００８

ｚ了等；

③利用Ｈｅｉｎｅ归结原则，上述过程同样适用于数列极限。

例１］，－Ｉ－算ｌｉｍ丝；

，ｐ∞

＾

分析

碰到以上的“比值特别是‘吴，型比

值”类型的极限时，可以考虑能否用导数的定义

计算，其实以上问题可以化为ｌｉｍ了ｅ－；一－－ｅｖ，故可以”一。。一１—０

１＂１

利用厂（ｚ）一矿在ｚ。一０处的导数的定义及海涅归结原则计算。

解原舡…ｌｉｍ竿一，ｌｉｒａ。簪

”斗∞

■，ｒ’∞

■

“

ｉｉ—ｕ

一（矿）’Ｉ。：。一１

例２

计算粤；三善，口＞０ａｚ一口Ｚ…

．

分析

以上问题虽然不是丛羔尘』兰型的形

式，但是可以通过变形干≈，儿州，—ｆ（ｘ）－－—ｆ（ｘｏ）的形式。

解原式一粤ａ；三丢‘ｆ４＾一“

＝粤ａ等（＃≥）＝争呻

ｐ＾

¨、＾

¨，

Ⅳ

通过以上分析，ｎ－－Ｉ以看出对于“关”这种特殊

类型的极限，构造适当的函数可将极限转化为“导数的定义”的形式从而简化极限的计算。

２

利用“定积分的定义”计算极限

定义２．１ｔ５１

设闭区间［口，胡内有ｎ个点，依

次记为ａ—ｚ。＜ｚ１＜…＜ｚ，ｌ＜ｚ。一ｂ，它们

将［口，６］分成ｎ个小区间Ａ，＝［ｚ扣。，ｚ；］，ｉ＝ｌ，

２…．，ｎ，这些分点和小区间构成对［口，６］的一个

分割，记为：

Ｔ一｛ｚｏ，ｚｌ，…，ｚ。）或丁＝｛Ａｌ，…，△。），

小区间Ａｉ＝Ｉｘ卜ｌ，ｚ；］的长度缸ｆ＝ｚ；一ｚ。。，记丁一ｍａｘ｛缸；），称为分割丁的模或长度。

定义２．２Ｅ５３

设厂（ｚ）为定义在［口，阳上的一

个函数，Ｊ为一个确定的数，若对任给的正数ｅ＞

１４

　

０，总存在某一正数艿使得对［“，６］的任意分割Ｔ，以及在其上任意选取的点集（￡）、￡∈［ｚ卜。，ｚ；］，只要Ｔ＜艿，就有

．１∑，（￡）缸ｉ—Ｊｌ＜ｅ

（２．１）

则称函数厂（ｚ）在［口；６］上可积或Ｒｉｅｍａｎｎ

可积，数－，为厂（ｚ）在［口，６］上的定积分，记作：

，＝Ｉｆ（ｘ）ｄ＿ｘ

（２．２）

其中，（ｚ）为被积函数，ｚ为被积变量，ｋ，６］为积分区间，ａ，ｂ分别为定积分的下限与上限。

以上定义可以看出，定积分为积分和的极限，但是该定义在形式上较为复杂，用该定义证明函数的可积性一般比较困难。反之，若能够证明函数八ｚ）在［口，６］上可积，则可以选取特殊的分割Ｔ及特殊的分点｛毫｝计算定积分。特别的，若要计算的数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑

能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义。对于此类问题通常要考虑以下两个关键问题：

１）构造什么区间（包括区间的长度，区间的上、下限）？

２）构造什么函数？

通过教学发现学生在这个极限的转化过程中有很大的难度，关键在于确定区间［ｎ，６］与函数．厂（ｚ），对于此类问题应从下面几步综合考虑：

①将极限转化为具有“积分和”的形式，可能需要增（减）有限个无穷小量；或通过等价代换、迫敛性准则等转化为积分和的形式；

②确定积分区间的长度（可以不唯一）；③确定积分区间的下限（可以不唯一）；④确定被积函数。

部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。

例３求ｌｉｍ型鲨嘉』丝，ｓ＞０．

分析

上述形式为“积分和”，提出小区间

长度土，上述极限即化为：

罂——ｉ矿一２一咒。———厂～

ｌｉｍ型鱼社：ｌｉｒａｌ．型鱼＃量垡

第２１卷第４期２００８年８月

高等函授学报（自然科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）

Ｖ０１．２ｌＮｏ．４Ａｕｇｕｓｔ２００８

一，，ｍ

若令积分区间长度为１，起点为ｚ—ａ，则：

‘，

从上述的“积分和”如何确定积分的区间长度和被积函数呢？首先由分出小区间的长度三，后

Ｊ

ｌｉｍ三（。１‘ｎ一／ｌ＂＋ｓｉｎ垫＋．．．＋。ｉｎ鱼二』堕）一

ｆ州ｓｉｎ，ｒ（ｚ一口）ｄｒ：一２；

ｄ

丌

面的每项（音）’可以看作是函数，（ｚ）＝∥在以

“０”为起点的单位区间［ｏ，１］进行“咒”等分的第“ｉ”个分点处的函数值，故上述极限可看作为函数，（ｚ）一∥在区间［ｏ，１］上的定积分。故：

７ｒ

若令积分区间长度为ｌｒ，以“０”为起点，则：

ｌｉｍ土ｆ。ｉｎ三＋ｓｉｎ垒＋．．．＋。ｉｎ垒二坐１一三ｆｌｓｉ删ｚ一三。

Ｊ

０

丌

磐坠等｝型一ｐ０ｄｚ＝南１。＋ｓ’

Ｈ一∞

以上的分析可以看出，不同的积分长度，不同的积分下限决定了被积函数厂（ｚ），故对这样的极限可以从多个角度讨论。

极限为数学分析中一个非常重要的概念，充分的理解极限的各个不同表述及应用，我们在解决问题的过程中才能“条条大道通罗马”。才能够更好的理解极限更深刻的含义。

参考文献

竹”１Ｊ

同理，若取积分下限为ａ＝ｌ，则上述极限为

ｆ（ｚ一１）’ｄｚ—ｒｂ；若取积分下限为口＝－－１，

则上述极限为ｊ一。（ｚ＋１）’ｄｘ

例４

２

ｒ毛・

求ｌｉｍ上ｆｓｉｎ三＋ｓｉｎ垫＋…＋

，

ｓｉｎ！翌二！！１１

彪

Ｅ１］裴礼文，数学分析中的典型问题与方法［Ｍ－Ｉ．北京：高

等教育出版社，１９９３：１－７０．

［２３沈眼昌，邵品京．数学分析纵横谈［Ｍ］．北京：北京大

学出版社，１９９１：１－６９．

［３３孙涛．数学分析典型习题解析［Ｍ］．北京：高等教育出

版社，２００４：５４－７６．

［４］刘玉琏等．数学分析讲义（上册）ＥＭ］．北京：高等教

育出版社。２００３：１５０—１５ｉ．

［５３华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育

出版社，２００１：２００－２０３．

分析上述的求和项是“咒一ｌ”项，形式很整

齐，故可考虑转化为“积分和”，增加一项（一般增加一项“无穷小量”或补充一个“０”）构成”项，

对于以上的求和可以加上“ｓｉｎ生！，，或“ｓｉｎ竺”，

这样上述积分可以化为特殊函数的“积分和”，若令积分区间长度为１，则上述的积分可以转化为：

，ｒ．∞７ｌ、

ｌｉｍ土（ｓｉｎ卫＋ｓｉｎ垒＋．．．＋ｓｉｎ—（ｎ－－—１）丌）一

札

，２

，ｌ

，

．Ｊ

ｆｌＳｉｎ取ｄｚ：呈，

０

７ｒ

（上接第１２页）

对遥控编码的识别后，判断该遥控信号是否为控制本模块上的设备操作信号，如果是则实现具体操作，遥控信号不再发射出去；如果不是就将所接收到的遥控信号送至串行口寄存器，将遥控编码发射出去，实现对红外遥控信号的中继。只要把接收控制模块按照一定的顺序放置，则遥控信号就能通过中继得到有效的接收。［７３

参考文献

［１３李迟生．智能遥控器的设计［Ｊ］．电子技术应用，

１９９７（３）：３８—４０．

［２］严后选．孙健国，张天宏．无线红外智能遥控器的设

计［Ｊ］．测控技术，２００３，２２（３）：５４—５６．

［３］张克芳．吴世龙．基于ＥＭ７８Ｐ４６８单片机的红外遥控

器的编程与开发［Ｊ］．红外技术，２００４．２６（３）：２Ｉ－２６．［４］周航慈．单片机应用程序设计技术［Ｍ］．北京：北京航

空航天大学出版社．２００２：１６０－１６６．

［５３Ｓ．Ｂｅｒｇｍａｎｓ．全面了解红外遥控［ＥＢ／ＯＬ］．

２００４：１－１３．

［６］王俊峰，薛鸿德．现代遥控技术及应用［Ｍ］．北京：人

民邮电出版社。２００５：４５－５２．

［７３何书森．实用遥控电路原理与设计速成［Ｍ］．福州：福

建科学技术出版社，２００５：８６—９０．

１５

　

利用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

冯永平， 邓明香

广州大学数学与信息科学学院,广州,510006

高等函授学报（自然科学版）

JOURNAL OF HIGHER CORRESPONDENCE EDUCATION(NATURAL SCIENCES EDITION)2008，21(4)0次

参考文献(5条)

1.裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 19932.沈眼昌.邵品京 数学分析纵横谈 19913.孙涛 数学分析典型习题解析 20044.刘玉琏 数学分析讲义 20035.华东师范大学数学系 数学分析 2001

相似文献(10条)

1.期刊论文 贺飞.刘德 用数列极限计算函数极限的夹逼定理 -高等数学研究2007,10(5)

通过对一些实例的分析介绍了两个利用数列极限计算函数极限的夹逼定理,可以有效地计算一类函数极限

2.期刊论文 张祖峰.宁群.ZHANG Zu-feng.NING Qun 函数极限性质和存在性的证明 -宿州师专学报2004,19(1)

本文用归结原则将函数极限问题转化为数列极限问题去讨论,证明了函数极限性质与极限存在的判定定理,进而更清晰的刻画了函数极限与数列极限之间的关系.

3.期刊论文 范东升 函数极限概念的教学设计 -潍坊教育学院学报2009,22(2)

函数极限概念的形成过程,是学生由感性认识上升到理性认识,进而培养理性思维能力的过程.教师在教学中应指出函数极限概念的学习和研究目的;引导学生用静态的有限量来刻画函数的极限,充分利用教材中的相关例题加深对函数极限概念的理解.

4.期刊论文 林瀚斌 谈谈极限的求法 -大众商务（投资版）2009,

极限是人们在研究自然现象和生产过程中,所遇到的各种变量中有一些变量在它的无限变化的过程中,能够趋向于某个确定的常量.而且极限概念本身也包含两个方面内容:它不仅包含求极限的过程,而且也包含极限的结果.从过程来看,它表现为有限向无限转化;从结果来看,又是无限向有限转化.因此,我们说,极限概念体现了过程与结果、有限与无限、常量与变量的对立统一关系.而极限方法是利用无限与有限的互相转化,来解决微积分中问题的一种有力的数学工具.本文就数列极限和函数极限的定义、方法,以及数列极限和函数极限之间的关系等方面具体谈谈自己的认识.

5.期刊论文 邹豪思 证明极限存在的一种方法 -内蒙古电大学刊2003,

给出了一种证明数列极限的简便方法,同时给出已知一个数列极限去证明另一个数列极限的简便方法,并用该方法很容易的证明了斯图次(stoly)定量和柯西定理.且把该方法推广到证明函数极限的问题上.

6.期刊论文 斯坎得尔·伊布拉音.艾斯卡尔·阿布力米提.Sikandeer Yibulayin.Aiskaer Abulimiti H.E.Heine定理的应用 -新疆教育学院学报2009,25(4)

文章主要介绍使用H.E.Heine定理来证明函数极限的四则运算和函数极限的两边夹定理,同时给予函数极限的四则运算与函数极限的两边夹定理的证明的新方法.

7.期刊论文 关忠义 数学分析中应用极限定义证题法 -西部大开发（中旬刊）2009,

要掌握极限的概念和方法,首先必须掌握极限的

8.期刊论文 董晓亮.高建国.何郁波.郝白军.DONG Xiaoliang.GAO Jianguo.HE Yubo.HAO Zijun 否定命题的肯定叙述的初探 -宁夏师范学院学报2008,29(3)

通过对数列极限和函数极限的直观描述和

9.期刊论文 李小新 归结原则的各种形式及其应用 -池州师专学报2004,18(3)

本文主要通过归结原则寻求数列极限与函数极限的联系,从而将两类问题相互转化.

10.期刊论文 徐斌 极限的换趋向定理 -中国科技信息2009,

对计算极限时的换趋向问题进行考查,得到了定理2.1与定理2.2,利用这两个定理使得计算极限的过程更加严密,并且有时还能使函数极限过渡为数列极限.

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdhsxb-zrkxb200804004.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：9f79f86e-229c-4b9a-88c2-9dca0103aaea

下载时间：2010年8月6日