第四章频率响应法

第四章: 频率响应分析法

频率响应：系统对正玄信号的稳态响应。 频率响应的优点:(1) 物理意义明确；(2) 可以用试验方法求出系统的数 学模型,易于研究机理复杂或不明的系统；(3) 可根据开环频率特性研究 闭环系统的性能；(4) 采用作图方法,非常直观；(5)当某些频率范围内有 严重干扰时，用频率响应方法易于设计出性能满意的系统。 定义4.1 系统在正玄输入信号作用下，系统输出响应中与输入信号同 频率的正玄函数分量和输入正玄信号的复数比，称为该系统的频率特性 函数，记作

Y ( jω ) G ( jω ) = R ( jω )

如果系统的传递函数已知，可以 令s=jw,即s在虚轴上变化时，就得到 频率特性函数:

s

d/dt

微分方程 控制系统

d/dt

jw 传递函数 频率特性 jw

G ( jω ) = G ( s )

s = jω

s

频率特性函数的表示方法： 1.代数式 G(jw)=R(w)+jI(w) R(w)为特性函数的实频特性，I(w)为特性函数的虚频特性。 2. 指数式

G ( jω ) = A(ω ) e jϕ (ω )

A(ω)=|G(jw)|: 幅频特性函数 ϕ(ω)=argG(jw): 相频特性函数

代数式和指数式表示方法的关系: R(w)=A(w)cosϕ(ω) I(w)=A(w)sinϕ(ω)

A(ω ) = R 2 (ω ) + I 2 (ω ) I (ω ) ϕ (ω ) = arctan R (ω )

在工程实践中，频率特性函数有多种图示方法，如极坐标图、对数频率 特性图、对数幅相特性图，以及幅频特性图、相频特性图、实频特性图和 虚频特性图等等。应用中最为广泛的是对数频率特性图和极坐标图。

第一节：对数频率特性图

1.对数频率特性图 对数频率特性图又称伯德(Bode)图，由对数幅频特性图和相频特性图组 成的。 横坐标为角频率ω，按常用对数lgω分度进行绘制。 对数幅频特性的纵坐标为对数幅值: L(ω)=20lgA(ω), 单位为分贝, 线 性分度。 对数相频特性的纵坐标为ϕ(ω)，单位为度，线性分度。 伯德(Bode)图表示系统的优点: (1)将幅值的相乘转化对数的相加，给 作图带来很大方便；(2) 组成系统的基本环节，其对数幅频特性可以用渐 近线表示，简化了L(w)的绘制过程。

2. 典型环节的对数幅频特性图 在控制系统中常见的基本环节有: 比例环节、积分环节、微分环节、一阶惯性环节、二阶振荡环节等。 (1)比例环节 频率特性函数: G(jw)=K L(w)=20lgK ϕ(ω)=0 (2)惯性环节

0 ϕ(ω) 0 L(ω) dB 1/T 0 -20 ϕ(ω) 0 -45 -90 º ω º L(ω) dB 20lgK ω ω

1 频率特性函数: G( jw) = jwT + 1

L(ω ) = −20 lg 1 + (ωT ) 2

ϕ(ω)=-arctanωt

(3) 一阶微分环节 频率特性函数: G(jw)=jwT+1

L(ω) dB 1/T 0

20 ω

L(ω ) = 20 lg 1 + (ωT ) 2

ϕ(ω)=arctanωt

(4)积分环节

ϕ(ω) 90 45 0

º ω ω

1 频率特性函数: G ( jw) = jw

L(ω ) = −20 lg ω

L(ω) dB 1 0 -20 ϕ(ω) 0 º ω ω

ϕ(ω)=-90

-90

(5) 微分环节 频率特性函数: G(jw)=jw L(ω)=20lgω

L(ω) dB 1 0

20 ω

ϕ(

ω)=90

(6) 振荡环节 频率特性函数:

ϕ(ω) 90

º

1 G ( jω ) = 2 T ( jω ) 2 + 2 jζωT + 1 L(ω ) = −20 lg (1 − ω T ) + (2ζωT )

2 2 2

0 L(ω) dB 1/T

2

ω

0 -40 º

ω

2ζωT ϕ (ω ) = − arctan 1 − ω 2T 2

ϕ(ω) 0 -90 -180

ω

(7) 二阶微分环节 频率特性函数:

L(ω) dB 1/T 0

40 ω

G( jω ) = T 2 ( jω ) 2 + 2 jζωT + 1

L(ω) = 20lg (1− ω2T 2 ) + (2ζωT )2 ϕ(ω)

º

2ζωT ϕ(ω) = arctan 1− ω2T 2

(8) 延时环节 频率特性函数:

180 90 0 ω

G( jω ) = e − jωτ

L(ω) = 0

ϕ(ω) = −ωτ × 57.3o

3. 伯德图的绘制一般步骤 在绘制伯德图时，要应用对数运算的特点，将组成系统的开环传递函 数写成典型环节的乘积形式，画出各典型环节的对数幅频特性图和对数相 频特性图，将各典型环节的对数频率特性图叠加获得系统的对数频率特性 图。 一般情况下，应用开环频率特性表达绘制伯德图的绘制一般步骤如下: (1) 将开环频率特性按典型环节分解，并写成时间常数的形式； (2) 求出各转角频率(交接频率)，将其从小到大排列, 并标注在ω轴上； (3) 在转角频率间，根据环节的特性频率函数以其相应的斜率绘制渐进 线对数幅值曲线； (4) 对渐近线在转角处做适当修改，得到精确曲线； (5) 将各典型环节的相角曲线叠加，得到相角曲线。 例1:

0 .5 G (s)H (s) = ( s + 0 . 5 )( s + 0 . 1)

(1) 将传递函数写成各典型环节的乘积形式(称为伯德标准型): 10 G (s)H (s) = 1 1 (1 + s )(1 + s) 0 .1 0 .5 系统的开环频率特性为

G (s)H (s) =

10 1 1 (1 + j ω )(1 + jω ) 0 .1 0 .5

由伯德标准型可知，开环传递系数为K=10，转折频率为w1=0.1， w2=0.5 (2)绘制对数坐标，并将各个转折频率标注在坐标轴上 (3)确定低频段: 在本例中，没有微分和积分环节，只有比例环节，对数幅频特性的 低频段是0db/dec的水平线，高度为20lgK=20db

（4）绘制开环对数幅频特性的渐近线 将低频段延伸到第一个转折频率w1=0.1。第一个转折频率是惯性环 节的转折频率，开环对数幅频特性的渐近线下降20db/dec，再延伸到第 二个转折频率w2=0.5, 也是惯性环节,再下降20db/dec. （5）绘制相频特性 绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。一般在一些特 征点上进行叠加，如各个转折频率处。 (6)在转折频率处作适当的修正，以得到准确的对数幅频特性 对于惯性环节和一阶微分环节,在转折频率处增加或减少3分贝。 现计算惯性环节的最大误差情况： 在转角频率处(ω=1/T)，环节的幅值为: -20lg√(1+1)+20lg1=-3.03 dB 因此，在转角频率出引入一个-3dB的校正点。

Bode Diagrams

20 0

-20dB

-40dB

P hase (deg); M agnitude (dB ) -20 -40 -60 0 -50 -100 -150 -200 -2 10

10

-1

10

0

10

1

Frequency (rad/sec)

4. 系统类型与对数幅值曲线间的关系

单位反馈控制系统, Kp、Kv、Ka分别描述了0型、I型、2型系统的低频特 性。 (1) Kp 系统的低频渐近线是一条幅值为20lgKp分贝的水平线。 (2) Kv

-20分贝/十倍频程 20lgKv

w2

w3

w1 -40分贝/十倍频程

w=1

(3) Ka

-40分贝/十倍频程

-60分贝/十倍频程 20lgKa -20分贝/十倍频程 wa=√Ka

-40分贝/十倍频程

w=1

第二节: 极坐标图

极坐标图也称奈魁斯特图或幅相频率特性图. 频率特性函数G(jw)的极 坐标图是ω由0→∞时, 频率特性函数在复平面上的图像。G(jw)曲线的每 一点都表示与特定ω值相应的向量端点，向量的幅值为|G(jw)|, 相角为 argG(jω); 向量在实轴和虚轴上的投影分别为实频特性R(ω)和虚轴I(ω). 绘制奈氏图的目: 用来判断闭环系统的稳定性. 画法关键: 确定几个关键点的准确位置, 绘出奈氏图的大致形状可。 开环频率特性函数极坐标图的绘制步骤: (1) 将开环频率特性函数G0(jω)写成A(ω)ejϕ(ω)或R(ω)+jI(ω)的形式。

K (1 + jwTa )(1 + jwTb ) L b0 ( jw) m + b1 ( jw) m −1 + L G0 ( jw) = = λ ( jw) (1 + jwT1 )(1 + jwT2 ) L a0 ( jw) n + a1 ( jw) n −1 + L

(2) 确定极坐标图的起点(ω=0+)和终点(ω→∞). λ=0: 0型系统 极坐标图的起点(w=0)是一个位于正实轴上的有限值. 在w=0处, 与极 坐标图曲线相切的切线是一条垂直于实轴的垂线。

在w=∞处, 极坐标图曲线的终点位于坐标原点, 且在该点上与一个坐标轴 相切。 λ=1: 1型系统 w=0时, 幅值为无穷大, 相角为-90o; w=∞时, 幅值为零, 曲线收敛于原点, 且与一个坐标轴相切。 λ=2: 2型系统 w=0时, 幅值为无穷大, 相角为-180o. 低频段的坐标图是一条渐近 线, 趋近于一条平行于负实轴的直线. w=∞时, 幅值为零, 曲线与一个坐标轴相切。 Im n-m=3

2型系统

0

w

1型系统

w ∞ ∞ w ∞ 0 w w 0

n-m=2

w=0 Re 0

0型系统

Re

低频部分

高频部分

n-m=1

(3) 确定极坐标图与坐标轴的交点 极坐标图与负实轴的交点是判断闭环系统稳定的重要数据，需准确计 算。 (4) 根据以上的分析并结合开环频率特性的变化绘制极坐标图。先画出 ω由0+→+∞的部分, 再根据对称性画出0-→-∞的部分。若γ≥1, 则当 ω=0+→0-时, 曲线为顺时针方向的γ个半径无穷大的半圆。 没有零点的最小相位系统，相角随ω的增大而单调减小。若存在零点 或非最小相位系统，相角变化比较复杂，极坐标图会出现凸凹变化。 例1. 设系统的开环传递函数为

G0 ( s ) =

K1 s (T1s − 1)

分析该系统的开环频率特性奈氏曲线的低频段和高频段。 系统的频率特性函数为

G 0 ( jω ) =

K1 j ω ( jT1ω − 1)

频率特性函数写成指数形式

G0 ( jω ) =

幅频特性为

K1

ω T1 ω 2 + 1

2

e

j ( −90o −180o + arctan T1ω )

= A(ω )ej ϕ (ω )

w=0

A (ω ) =

相频特性为

K1

ω T1 2ω 2 + 1

w

→∞ 0

ϕ (ω ) = − 270 o + arctan T1ω

当ω=0: A(0)→+∞, 当ω→+∞时: A(∞)→0, ϕ(∞)→-1800 坐标原点。 ϕ(0)→-2700;

幅相频率特性自虚轴正方向无穷远处延伸下来，最终以-1800相角进入

第三节: 奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定判据：应用开环频率响应G(jw)H(jw)与闭环特征方程 1＋ G(jw)H(jw)在右半S平面内的零点数和极点数联系起来的一种判据。 闭环的绝对稳定性由开环频率响应曲线图解确定，无需求出闭环极点。 奈氏稳定判据是建立在复变函数理论的映射定理的基础上的。 一、幅角原理 设闭环系统的特征方程为: F(s)=1+G(jw)H(jw)=0 设P为F (s)的极点数，Z为F(s) 的零点数。 F(s)的极点和零点位于S平面的某一封闭曲线内，且有多重极点和 多重零点。该封闭曲线不通过F(s)的任何极点或零点。那么, S平面上 的该封闭曲线映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线。当S顺时针通过 整个封闭曲线时, F (s)平面上, 相应的规迹顺时针包围F(s)的原点的总 数为N＝Z-P.

[s ]

s1

s2 s3

F ( s3 ) F (s2 ) F ( s1 )

F (s )

0

Γs

0

ΓF

(a) 图4.5 从S平面到F平面的映射关系

(b)

证明: 柯西定理和留数定理 柯西定理: 如果F(s)在封闭曲线内和曲线上解析, 则F(s)沿S平面上任意 封闭曲线的积分等于零:

∫ F ( s ) ds = 0

( s + z1 ) k1 ( s + z 2 ) k 2 L 设F(s)为: F ( s ) = ( s + p ) m1 ( s + p ) m 2 L x ( s ) 1 2

式中x(s)在S平面上的封闭曲线内是解析的，且所有极点和零点均位于 封闭曲线内。

F ' (s) k1 k2 m1 m2 X ' (s) =( + + L) − ( + + L) + F (s) s + z1 s + z 2 s + p1 s + p 2 X (s)

如果F(s)为: F (s) = (s + z1)k X (s) 则F(s)在s = −z1 处有k阶零点，得

F' (s) = k(s + z1)k−1 +(s + z1)k X ' (s) F' (s) k X ' (s) = + F(s) s + z1 X(s)

F(s)的k阶零点成为F′(s)/F(s)的一个简单极点。 如果X′(s)/X(s)在S平面上的封闭曲线内不包括任何极点或零点, 则除了在 零点 s = −z1 外， F′(s)/F(s)在此封闭曲线内处处解析。 留数定理:

∫

F ' (s) ds = − 2π j ( ∑ 留数 ) F (s)

∫

F '(s) ds = − 2π j [( k 1 + k 2 + L ) − ( m 1 + m 2 + L ) ] = − 2π j ( Z − P ) F (s)

式中 Z = k1 + k2 +L : S平面内被封闭曲线包围的F(s)的零点总数

P = m1 + m2 +L : S平面内被封闭曲线包围的F(s)的极点总数

F(s) = F(s) e jθ

F' (s) d lnF(s) = F(s) ds

lnF(s) = lnF(s) + jθ

F' (s) d lnF dθ = +j F(s) ds ds

设S平面上的封闭曲线在F(s)平面上的映射是封闭曲线Γ, 则

F ' ( s) ∫ F (s) ds = ∫Γd ln F (s) + j ∫Γdθ = j ∫Γ dθ = 2πj(P − Z )

∫ d ln F ( s ) = 0

Γ

θ 2 − θ1 = P−Z 2π

设N是顺时针包围F(s)平面上原 点的次数, 则

θ 2 − θ1 = −N 2π

N =Z−P

奈氏稳定判据：利用G(jw)H(jw)的轨迹，对(-1+j0)点的包围情况进行

) 分析。如果开环传函G(s)H(s)在右半平面内有k个极点, 且 limG(s)H(s) =

C(常数 s→∞

则闭环系统的稳定条件: ω从－∞到＋∞变化时, G(jw)H(jw)轨迹反时针包 围(-1+j0)点k次。 Remark: 1. 奈氏判据: Z=N+P N:轨迹顺时针包围(-1+j0)点的次数； Z: 1＋G(s)H(s)在右半S平面内的零点数 P: G(s)H(s)在右半S平面内的极点数 若P≠0, 则须Z=0或N=-P, 即G(jw)H(jw)须反时针方向包围(-1+j0)点P 次，系统稳定 若P=0, 即在右半S平面内无如何极点, 则Z=N, 要使系统稳定, G(jw)H(jw)的轨迹须不包围(-1+j0)点。

Remark: 2. 当检查多回路系统的稳定性时，简单地检查G(jw)H(jw)的轨迹对(-1+j0) 点包围情况，不足以判定系统的稳定性。 此时, 对G(s)H(s)的分母应用劳斯判据，确定1＋G(s)H(s)是否有极点位 于S平面。 若G(s)H(s)中含有e-Ts, 则将e-Ts张开成如下形式:

e − Ts ( Ts ) 2 ( Ts ) 3 Ts 1− + − +L 2 8 48 = 2 ( Ts ) ( Ts ) 3 Ts 1+ + − +L 2 8 48

作为第一次近似, 只取分子和分母的前两项:

e − Ts Ts 2 = 2 − Ts ≈ Ts 2 + Ts 1+ 2 1−

当0≤ω≤0.5/T时，这种近似非常接近。

Remark: 3. G(jw)H(jw)的轨迹通过(-1+j0)点, 则闭环极点位于上 4. 特殊情况：G(s)H(s)含有位于jw轴的极点和零点的情况 处理方法: 在原点附近改变封闭曲线的形状, 采用具有无限小半径ε的半 园。

jw j0+ ε σ 0 j0S=εejθ 0 S平面 jw

∞

σ

变量s沿jw轴从－∞运动到j0-, 从j0-到j0＋, s沿着半径为ε(ε

例:

G(s)H(s)=K/s(Ts+1) G(s)H(s)平面的G(s)H(s)轨迹上, 与s= j0＋和s=j0-相对应的点分别为-j∞

和＋j∞. 在半径为ε

S=εejθ， θ：－900~900

G(s)H(s)=G(εejθ)H(εejθ)=K/(εejθ)=Ke-jθ /ε

ε→0, K/ε→∞: s沿半园运动时, θ从－900变到900. 点G(j0-)H(j0-)= j∞, G(j0＋)H(j0＋)=－j∞

环绕原点的无限小半径映射到GH平面上, 成为半径为无穷大的半圆。

jw +j∞ D

Im

w=0σ

A` GH平面

j0+ C ∞

w=∞ B

∞

B` Re

ε

j0-j∞

A F

E

-1

D`,E`,F`

w=∞

w=0+

C`

s平面内曲线上的点A,B,C, 在G(s)H(s)轨迹上的映射点分别为A’,B’,C’,而点

D,E,F映射到GH平面上的原点。 因为在右s平面上没有极点, 且G(s)H(s)轨迹不包围(1+j0)点, 系统稳定。 对于包含因子1/sn(n=2,3,…)的开环传函G(s)H(s), 当s沿半径为ε

K G(s)H (s) = s2 (Ts+1)

s → εe

lim j θ G ( s ) H ( s ) =

K K = 2 e − 2 jθ ε 2 e 2 jθ ε

w=0+ -1 w=0-

Im w=∞ w=-∞ Re

当S平面上的θ: -900~900, G(s)H(s)的相角: 1800~-1800 此时在右s平面上没有极点, 并且任意K>0时, 轨迹顺时针包围(-1+j0)点两次, 则1+G(s)H(s)在 右s平面内存在两个零点, 系统不稳定。

二、稳定性分析

应用奈氏判据检

查线性系统的稳定。在应用奈氏判据时, 有三种情况: 1. 不包围(-1, j0)点情况: 若G(s)H(s)在右s平面内没有极点，系统稳定 否则, 系统不稳定； 2. 反时针包围(-1, j0)点情况: 若反时针方向包围的次数, 等于G(s)H(s)在 右半平面内的极点数, 系统稳定, 否则, 系统不稳定； 3. 顺时针方向包围(-1, j0)点情况: 系统不稳定. 例 设系统开环传函为:

G (s) H (s) = K (T1s + 1)(T2 s + 1)

应用奈氏判据分析系统的稳定性 分析: 该系统是0型系统, 分母与分子的次数相差为2, 可以粗略知道奈氏曲 线的形状, 如图所示。 G(s)H(s)在右半s平面内没有极点存在, 且G(jw)H(jw)不包围(-1, j0)点, 所 以, K, T1, T2为正值, 系统稳定.

Im w=0w=-∞ w=∞ w=0 Re -1 w=0+

Im w=0w=∞ w=-∞ Re -1

Im w=∞ w=-∞ Re

-1

K G(s)H(s)=K/(T1s+1)(T2s+1)

w=0+ 较大K值

较小K值

例:

G (s)H (s) =

K s ( T1 s + 1)( T 2 s + 1)

应用奈氏判据分析系统在不同K值时的稳定性: (1)较小K值, (2)较大K值 (1) 较小K值: G(s)H(s)轨迹不包围(-1, j0)点, 系统稳定; (2) 较大K值: G(s)H(s)轨迹顺时针包围(-1, j0)点两次, 有两个闭环极点位 于右半s平面, 系统不稳定。

R(s) + -

K ( s + 0.5)

+ -

1 s 2 ( s + 1)

Y(s)

G1(s)

G2(s)

例: 控制系统如上图所示. 现采用奈氏判据确定系统稳定的K值范围. 系统的开环传函为: 先检验小回路: 劳斯阵列: s3 s2 s1 s0

G ( s ) = G1 ( s ) G 2 ( s )

G2 (s) =

1 s3 + s2 + 1

1 1 -1 1

0 1 0

劳斯阵列中第一列有两次符号变化, G2(s)有两个极点位于右半s平面内。

G (s) =

K ( s + 0 .5 ) s3 + s2 + 1

现确定K值的稳定范围, 需画G(s)的奈氏曲线图. 为简化各种K值的影响, 可以画G(s)/K代替画G(jw)奈氏曲线.

Im j1 w=1 w=1.4 -1 -0.5 w=2 j0.5 w=0.4 w=∞ w=-∞ -j0.5 -j1

0.5 w=0

G K

1

Re

G(s)在右半s平面内有两个极点( P=2), 要系统稳定, 则需N=-2, 即G(jw)的 奈氏曲线反时针方向包围(-1, j0)两次。如果临界点位于0~-0.5间, 则 G(jw)/K的轨迹反时针方向包围临界点两次。要求: -0.5K2

三、应用于逆极坐标图上的奈氏判据 分析多回路系统时, 有时采用逆传递函数, 以减少数值计算。 G(jw)H(jw)的逆极坐标图: 1/G(jw)H(jw)的极坐标图 逆极坐标图的奈氏判据: 1/G(jw)H(jw)的轨迹反时针包围(-1, j0)点的次数 等于右半s平面内的1/G(jw)H(jw)的极点数(G(s)H(s)的零点数)。 注: 具有传递延迟的逆极坐标图不能采用奈氏判据。 例:

G (s) = K ( s + 0 .5 ) s3 + s2 + 1

采用逆极坐标图, 确定K的稳定范围。 , 有一个极点: s=-0.5, 右半s平面内无极点.

逆极坐标图:

1 s3 + s2 + 1 = G ( s ) K ( s + 0 .5 )

画K/G(jw)的奈氏图。

Im K/G轨迹

∞←w

∞

w=0 0 2

K/G平面

ω= 2

-2 -∞←w

Re

K/G(jw)与负实轴的交点: ω =

2

时与负实轴相交, 交点坐标为-2.

如果临界点位于-2~-∞间, 则临界点不会被轨迹

包围, 因此, 要使系统稳定, 要求: -12

四、相对稳定性

G ( jw ) = K (1 + jwT a )( 1 + jwT b ) L ( jw ) λ (1 + jwT 1 )( 1 + jwT 2 ) L

Im G平面

Re

K大时 K小时

对于大的K值, 系统不稳定。当K减少到一定值时, G(jw)的轨迹通过(-1, j0) 点, 处于临界稳定状态, 呈现等幅振荡。 G(jw)轨迹对(1, -j0)点的靠近程度, 用稳定裕度进行度量.

1. 相位裕度 在增益交界频率上, 使系统达到不稳定边缘所需要的额外相位滞后量叫 做相位裕量。 增益交界频率: 就是开环传递函数的幅值|G(jw)|=1时的频率。 设开环传递函数在增益交界频率处的相角为φ, 相位裕量γ为:

γ=1800+φ

2. 增益裕量 在相角等于-1800的频率上, 幅值|G(jw)|的倒数叫做增益裕量Kg。开环传 递函数的相角等于-1800时的频率wc定义为相位交界频率.

Kg = 1 G ( jw c )

Kg(分贝)=20logKg=20log|G(jwc)|

正增益裕量 0

负增益裕量

-900 -1800 -2700 正相位裕量

-900 -1800 -2700 负相位裕量

正增益裕量

1 Kg

负相位裕量

G平面 γ φ

-1 正相位裕量

γ

-1

1 Kg

φ

G(jw)

G(jw)

负增益裕量

Remark: 1. 相位裕量和增益裕量同时采用才能取得系统的稳定性； 2. 最小相位系统: 当相位裕量和增益裕量都为正的, 系统才稳定；负的裕 量则系统不稳定。 3. 一般情况: 相位裕量取: 300~600间, 增益裕量>6分贝。 4. 一阶或二阶系统的增益裕量为无穷大: 这类系统的极坐标图与负实轴 不相交。 5. 条件稳定系统具有多个相位交界频率, 且某些高阶系统还可能具有多 个增益交界频率, 相位裕量应在最高的增益交界频率上测量。

相位交界频率 (w1, w1, w1) w3 w2 w1 增益交界频率 (w1, w1, w1)

w=∞

w1

w=∞

w3

w 0

w2

w 0

Remark: 6. 非最小相位系统: 不稳定开环系统的非最小相位系统, 除非G(jw)图反 时针包围(-1, j0)点, 否则不能满足稳定条件。稳定的非最小相位系统具有负 的相位和增益裕量。 五、谐振峰值幅值Mr和谐振峰值频率ωr

ω

s ( s + 2 ζω

2 n

n

)

系统的闭环传递函数为:

C (s) ω n2 = 2 R (s) s + 2 ζω n s + ω

2 n

C ( jω ) = R ( jω )

1 (1 −

ω ω ) + j 2ζ 2 ωn ωn

2

= Me

jα

M =

1

ω2 2 ω 2 (1 − ) + (2ζ ) ω n2 ωn

,

α = − tan

−1

ω ωn ω2 1− ω n2

2ζ

当0≤ ζ ≤0.707时, M的最大值发生在频率ωr上:

ω r = ω n 1 − 2ζ

Mr = 1 2ζ 1 − ζ

2

= ω n cos 2θ

2

=

1 sin 2θ

jω

ζωn

θ

1−ζ 2ωn

σ

谐振峰值的幅值表征了系统的相对稳定性: 1. 大的谐振峰值幅值表示存在一对主导闭环极点, 且具有小的阻尼比, 从而使系统产生不理想的瞬态响应； 2. 比较小的谐振峰值幅值表示存在一对主导闭环极点, 且具有较大的阻 尼比, 从而使系统具有良好的阻尼； 3. 只有当ζ0.707, 闭环系统不会产生谐振。

六、标

准二阶系统中阶跃瞬时响应与频率响应之间的关系 要点: 最大超调量与谐振峰值幅值的关系。 单位阶跃输入信号, 标准二阶系统的输出为:

c ( t ) = 1 − e − ζω n t (cos ω d t +

ζ

1−ζ

2

sin ω d t )

ωd = ωn 1 − ζ

σ p = e − (ζ

1− ζ

2

2

= ω n cos θ

)π

当 ζ

ωn s ( s + 2ζω n )

2

ω = ωn

1 + 4 ζ 4 − 2ζ

G ( jω ) = 1

∠G ( jω ) = ∠ jω − ∠ ( jω + 2ζω n ) = −90 o − tan −1

1 + 4ζ 4 − 2ζ 2 2ζ

相位裕量γ为:

γ = 180o + ∠G(s) = 90o − tan −1

结论: 1. 相位裕量与阻尼比直接相关

1 + 4ζ 4 − 2ζ 2 2ζ

= tan −1

2ζ 1 + 4ζ 4 − 2ζ 2

对标准二阶系统, 当0≤ ζ ≤0.6时, γ和ζ间的近似关系为:

ζ= γ/100

2. 小的ζ值, ωr和ωd的值几乎相同, ωr的值表征系统瞬态响应的速度 3. ζ的值越小, Mr和σp的值越大。当ζ>0.4时, Mr和σp之间存在相近的关系. 对于很小的ζ值, Mr≥1, σp的值不会超过1.

七、一般系统中的阶跃瞬时响应与频率响应之间的关系 要点:高阶存在的频率响应取决于一对共轭复数闭环极点, 如果存在共轭 复数极点, 则二阶系统的瞬态响应与频率响应间的关系可以用于高阶系统. 1. Mr值表征了系统的相当稳定性。如果1.0

ζ1.5时, 阶跃瞬态响应可能

呈现若干次过调。 2. 谐振频率ωr的大小表征了瞬态响应的速度. ωr的值越大, 时间响应越快。 3. 对弱阻尼系统, ωr和ωd的值几乎相同。

第四节: 闭环频率响应 一、单位反馈系统的闭环频率响应 闭环传递函数:

G F (s) = Y (s) G (s) = R (s) 1 + G (s)

设开环传递函数的奈氏曲线如下图所示。

Im

-1＋j0 P w1 φ-θ A G(jw)

0 φ Re

向量OA表示G(jw1), 向量OA的长度为⏐G(jw1) ⏐, OA 的相角为 ∠G ( jω1 ) . 向量PA表示1+G(jw1). 闭环频率响应可表示为:

OA

G ( jω 1 ) C ( jω 1 ) = = 1 + G ( jω 1 ) R ( jω 1 ) PA

设闭环频率响应的幅值为M, 相角为α, 则

C ( jω ) = Me R ( jω )

二、M园

jϕ ( ω )

G ( j ω ) = X + jY

M =

X + jY 1 + X + jY

M

2

X 2 +Y2 = (1 + X ) 2 + Y 2

2

X 2 (1 − M 2 ) − 2 M 2 X − M

+ (1 − M 2 )Y 2 = 0

(1) M=1: X=-1/2, 这是一条通过点(-1/2, 0)且平行Y轴的直线。 (2) M≠1:

2M 2 M2 X2+ 2 X+ 2 +Y 2 = 0 M −1 M −1

方程两端加上

(M M

2 2

− 1)

2

, 得到

M2 2 M2 2 (X + 2 ) +Y = M −1 ( M 2 − 1) 2

圆心:

M 2 X = M 2 −1

Y =0

半径:

M M

2

−1

等M圆的特性: M>1: 随M的增大，M圆逐渐减小，最终收敛于(-1, j0)点； M

三、N园 由

∠ e jϕ ( ω ) = ∠

X + jY 1 + X + jY Y Y − tan −1 X 1+ X

−1

ϕ (ω ) = tan −1

令tanϕ(ω)=N, 则

Y Y −1 ) N = tan(tan − tan 1+ X X 由 tan A − tan

B tan( A − B ) = 1 + tan A tan B

得

Y N= 2 X + X +Y 2

1 X + X +Y − Y = 0 N

2 2

1 1 2 1 1 2 ( X + ) 2 + (Y − ) = +( ) 2 2N 4 2N

圆心: X=-1/2, Y=1/2N 半径:

1 1 2 + ( ) 4 2N

当X=Y=0, X=-1, Y=0, 对任意的N, 圆方程总成立, 说明: 每个园都通过 原点和点(-1,j0). 说明: (1) 给定ϕ(ω)值, 等N轨迹实际上只是一段圆弧； (2) ϕ(ω)±1800(或其倍数), 其正切值不变, 是多值的；因此，同一园的部 分圆弧对应很多相角值。 (3) G(jw)的奈氏曲线与M园和N园的交点给出了G(jw)轨迹上相应频率 点的M值和N值。 (4) G(jw)与最小半径的等M园相切的M值为谐振峰值Mr.