高等传热学课件对流换热-第2章-4

2-4 管槽内层流充分发展流换热

一、层流充分发展流的速度分布与阻力系数

1. 圆管内充分发展流

动。其动量方程为

常物性、不可压牛顿流体在圆管内作轴对称(w =0) 稳态层流流

dp µ∂∂u ∂u ∂u

(r )

ρ[u +v ]=−+

∂x ∂r dx r ∂r ∂r

∂u

=0、v =0，于是有 对简单充分发展流：∂x

µd du dp

(r ) = (2.4.1) r dr dr dx

即：管内简单充分发展流中，惯性力为零，粘性力与压力平衡，压力降用以克服粘性摩擦力。

边界条件：r =R , u =0 (壁面无滑移)

r =0,

∂u

∂r

=0 (轴对称性) 积分得出：

u (r ) =−R 2dp 4µdx

[1−(r R ) 2

] 此即Poiseuille 分布。这里dp

dp dx

(2.4.2)

截面平均流速：

2R dp 2

=[∫ρu (r ) ⋅2πr ⋅dr ]ρπR =− (2.4.3)

8µdx 0

R

轴线上最大流速：

R 2dp

=2 (2.4.3) u max =−

4µdx

r 2r 2

u (r ) =u max [1−() ]=2−() ] (2.4.4)

R R

2. 平行平板通道内充分发展流

常物性不可压牛顿流体、二维稳态层流流动，动量方程为：

1dp ∂u ∂u ∂u ∂u

u +v =−+ν(2+2) ∂x ∂y ρdx ∂x ∂y

∂u

对充分发展流：=0、v =0。上式化简为：

∂x

22

d 2u dp

µ2= (2.4.5)

dy

dx 也是粘性力与压力平衡。

边界条件：y =0,

∂u

∂y

=0 (对称性) y =b

2

, u =0

解： u (y ) =−

b 2dp 8µdx [1−(y b 2

) 2

]

(2.4.6)

b 2dp

u max =− (2.4.7)

8µdx b 2dp 2=−=u max (2.4.8)

12µdx 3

y 2

u =u max [1−() ] (2.4.9)

2

∆说明：

1). 上述符合抛物线分布的Poiseuille 流动是恒定压力梯度驱动下的流动。

2). 对平行平板间流动，另外一种情况不是恒定压力梯度驱动流，而是剪切力驱动流，

如图：其中一壁面不动，另一壁面以恒定速度平行运动。 y

x

这时：

dp ∂u dx

=0, v =0, ∂x =0，动量方程为 d 2u 2=0 ⇒ u (y ) =U y

dy

b

这种流动称为库特流（Couette flow）。

(2.4.10)

3). 工程上常见的非圆形截面通道(矩形，椭圆形，扇形，三角形，圆环形等) 内的简单充分发展流也可分析求出速度分布，但不再是抛物线分布。

如圆环形截面通道内:

1dp 2222ln(r 0r ) u (r ) =−[r 0−r −(r 0−r i ) ] (2.4.11) 4µdx ln(r 0r i )

3. 充分发展流动的摩擦阻力系数

通常以壁面摩擦系数(Fanning摩擦系数) 或管流摩擦系数(又称Darcy 摩擦系数，或穆迪Moody 摩擦系数) 来表征通道内的流动阻力。

壁面摩擦系数： C f =

τw ρ2

(2.4.12)

τw -壁面切应力，-截面平均流速。

dp −⋅d

管流摩擦系数： f =dx

ρ2 (2.4.13)

对圆管：2

C 16f =Re 或 C f ⋅Re d =16 d

或 f ⋅Re d =64， Re d =ν 即： f =4C f

(2.4.14)

(2.4.15)

(2.4.16)

对平行平板通道：

24C f =⇒ C f ⋅Re d =24

Re d

或 f ⋅Re d =96 (2.4.17)

这里：Re d =ν

，d e =2b ，b 为通道宽度。

对其它截面形状通道：

C f ⋅Re d =16⋅C

或 f ⋅Re d =64C f C －截面形状修正系数。

(2.4.18)

二、层流充分发展流换热

以圆管为例，考虑常物性、不可压牛顿流体的二维稳态层流换热。假定流动已充分发展，能量方程为(柱坐标系下) ：

∂T ∂T ∂2T 1∂∂T

+v r ]=λ[2+(r )] (2.4.19) ρc p [u ∂x ∂r r ∂r ∂r ∂x

对充分发展流：v r =0，有

∂T ∂T 1∂∂T u =a [2+(r )] (2.4.20) ∂x r ∂r ∂r ∂x

2

1. q w =const 情况

管壁电加热、受均匀辐射加热、以及两种水当量相当的逆流式换热器，都属于q w =const 的情况。

2q ∂T dT ∂2T ===这时， ，2=0 ∂x ρc p ∂x dx dx

r 2

u =2−() ]

R

能量方程变为：

1d dT 2r 2

(r ) =⋅[1−() ] (2.4.21) r dr dr a dx R

积分求解(两次分离变量积分) ，得温度分布：

2r 2r 4

⋅T (r ) =[−+c 1ln r +c 2 (2.4.22) 2a dx 416R

边界条件：

r =0,

r =R , ∂T

∂r =0⇒T =T w

⇒c 1=0 23R 2

c 2=T w −a ⋅dx (16

)

得出管内流体温度分布:

2πR 231r 41r 2

T (r ) =T w −[+() −() ] (2.4.23) ⋅

a dx 1616R 4R

这里，T w =T w (x ) ，考虑管截面平均温度：

R

R

=[∫2πr ρc p ⋅uT ⋅dr ]

[∫2πr ρc p ⋅u ⋅dr ]

将u ，T 代入上式，可得：

由 于是，=T −11πR 48a ⋅dT dx =T 11q w w −w ⋅d

48λ

(2.4.24)

(2.4.25)

q w =const 条件下，圆管内层流充分发展流对流换热有：

(2.4.26)

2. T w =const 情况

相变换热器、水当量相当的顺流式换热器属于此情况。当

T w =const ，虽

∂2T ∂x

2

≠0，但通常忽略轴向导热，令

∂2T ∂x

2

=0。再将

r 2∂T T −T w =⋅ 和 u =2−() ] 代入能量方程(2.4.20)式得：

R ∂x −T w dx

r 2T −T 1d dT 2⋅(r ) =[1−() ]⋅ (2.4.27)

r dr dr a dx R −T w

上式可通过多次迭代求解：

Nu d =3.657 (2.4.28)

对其它截面形状通道内的层流充分发展流换热，也可得出Nu d 。

b a =1时， Nu d =2.976

Nu d =3.608

(T w =const ) (q w =cont )