高二[解析几何]的"抛物线"一节中,利用抛物线的焦点.准线.
高二《解析几何》的“抛物线”一节中,利用抛物线的焦点、准线、焦点弦的有关知识,可设计如下的探究型问题:
1、已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,P(x0,y0)是线AB的中点(图1)。试尽可能多地找出点A、B、P的六个坐标所满足的等量关
系。
对于本题,学生一般都能或多或少
出一些答案,如
(1) 点在曲线上:y12=2px1,y22=2px2 ;
(2) 中点坐标公式:x0=(x1 + x2)/2 ,
y0=(y1 + y2)/2 ;
(3) A、B、P、F共线:(x1-y1)y0=
(x2-y2)(x0-P/2) ;
(4) 焦点弦的斜率: = = P/y0 ;
(5) 中点P的轨迹:y22=P(x0-P/2) ;
(6) 焦点弦性质:y1y2=-p2 ,x1x2=p2/4
通过探索,进一步还可以将“数”的探究转向“形”的探究,提出下列问题:
2、在上题中,该抛物线的准线为L,分别过点A、B、P,作X轴的平行线,依次交
L地给
于M、N、Q,连结FM、FN、FQ、AQ和BQ(图2),试尽可能多地找出图中各线段的垂直关系。
学生除了很快回答图中一些显而易见的线
系外,至少还可通过观察、猜想,推出线段间
直关系:
(1) FM⊥FN;(2) AQ⊥BQ; 段垂直关的以下垂
(3) AQ⊥FM;(4) BQ⊥FN;(5) FQ⊥AB
为了进一步挖掘学生的潜力,增强探究热情,把思维活动引入纵深,还可以将上述内容设计成下面的探究题:
3、在上述两题中,如果允许引辅助线,你还能发现哪些情况?
在教师的引导和启发下,学生至少还能发现以下情况(图3),
(1)
(2) 以P为圆心,AB为直径的圆与准线相切,切点为Q; 以Q为圆心,MN为直径的圆切
AB于F点;
(3) AQ与FM的交点,BQ与FN的交
点均在y轴上;
(4) AN与BM相交于坐标原点;