2010年辽宁高考试题--数学理

2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供理科考生使用）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，

（1）已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},(B∩A={9},则A=

（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}

（2）设a、b为实数，若复数

（A）a

1+2i

1i，则 abi

31

,b (B) a3,b1 2213

(C) a,b (D) a1,b3

22

23

和，两个零件是 34

（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为

否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

（A）

1511 (B) (C) (D) 24612

（4）如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，

满足n≥m，那么输出的P等于

m1

（A）Cn m1(B) An m(C) Cn m(D) An

（5）设>0,函数y=sin(x+值是

（A）

4)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小

33

243

(B) (C) (D)3 332

（6）设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a4=1, S37,则S5

（A）

15313317 (B) (C) (D)

2244

（7）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如

果直线AF

的斜率为,那么|PF|=

(A) (B)8

(C) (D) 16

（8）平面上O,A,B三点不共线，设OA=a,OBb，则△OAB的面积等于

(B)

(C)

(D) （9）设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线

垂直，那么此双曲线的离心率为

(A)

(D) （10）已知点P在曲线y=

4

上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是 x

e1

33

],) (A)[0,) (B)[,) ( (D) [

422444

(A)xR,

(11)已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=6的充要条件是

1212112

axbxax0bx0 (B) xR,ax2bxax0bx0 [1**********]2

(C) xR,axbxax0bx0 (D) xR,axbxax0bx0

2222

(12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够

焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

(A)（

(B)（

1,

(D) （

0, 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）(1xx)(x)的展开式中的常数项为_________.

（14）已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_______（答案用区间表示）

（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.

（16）已知数列an满足a133,an1an2n,则

2

1x

6

an

的最小n

值为__________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinBsinC的最大值.

（18）（本小题满分12分）

为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。 （Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；

（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2） 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表

（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”

.

表3：

（19）（本小题满分12分）

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

(20)（本小题满分12分）

x2y2

设椭圆C：221(ab0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两

ab

点，直线l的倾斜角为60,AF2FB.

o

（I）求椭圆C的离心率； （II）如果|AB|=

15

，求椭圆C的方程. 4

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)(a1)lnxax1 （I）讨论函数f(x)的单调性；

（II）设a1.如果对任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)4|x1x2|，求a的取值范围。

2

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所作的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上吧所选题目对应题号下方的方框涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E

（I）证明：ABE

ADC （II）若ABC的面积S1

2

ADAE，求BAC的大小。

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知P为半圆C： （ 为参数，0）上的点，点A的坐标为（1,0）

，

O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧

的长度均为

3

。 （I）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标； （II）求直线AM的参数方程。

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a,b,c均为正数，证明：a2

b2

c2

(1a112

bc

)6，并确定a,b,c为何值时，等号成立。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供理科考生使用）

第Ⅰ卷

一、

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。 （1） a为正实数，i为虚数单位，

ai

2，则a= i

（A）2 （B

（2）已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若NC1M,则MN (A)M (B) N (C)I (D)

(3)已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，AFBF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为

357(A) (B) 1 (C) (D)

444

（4）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin

则

b

a

(A)

（5）从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B︱A)= (A)

112

(B) (C) 845

1(D)

2

（6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是

(A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2

1（+）=，则sin2 （7）设sin437117

(A)  (B)  (C) (D)

9999

（8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正．．确的是

．

(A) AC⊥SB

(B) AB∥平面SCD

(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

21-x，x 1，（9）设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是

1-logx，x＞1，2 （A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）

（10）若a，b，c均为单位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，则ab-c的最大值为

（A）-1 （B）1 （C）2 （D）2

（11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为

（A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）

ASCBSC30，（12）已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，

则棱锥S-ABC的体积为

（A）3 （B）2 （C） （D）1

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

x2y2

（13）已知点（2,3）在双曲线C：2-21（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，

ab

则它的离心率为_____________.

(14)调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：

.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1

万元，年饮食支出平均增加____________万元.

（15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是

____________.

π（16）已知函数f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分图像

2

π

如下图，则f（）

=____________.

24

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10 （I）求数列{an}的通项公式；

（II

）求数列的前n项和。

1

PD。

2

（18）（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ （II）求二面角Q-BP-C的余弦值。

19.（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和

品种乙）进行田间试验。选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙。

（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的

分布列和数学期望；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙

在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据x1，x2，„，xa的样本方差平均数。

（20）（本小题满分12分）

如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2

，其中为样本

的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。

（I）设e

1

，求BC与AD的比值； 2

（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由

(21)(本小题满分12分)

已知函数f（x）=lnx-ax2=（2-a）x. (I)讨论f（x）的单调性；

111

（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）；

aaa

（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f’（ x0）＜0.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为曲线C2的参数方

程为在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标

系中，射线l：θ=a与C1，C2各有一个交点。当a=0时，这两个交点间的距离为2，

π

当a=时，这两个交点重合。

2

（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

ππ

(II)设当a=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1,当a=-时，l与C1，

44

C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积。