函数的最大值和最小值
二. 知识讲解：
一般地，设
是定义在
上的函数，
在（
）内有导数，求函数
在
上的最大值与最小值可分为两步进行：
1. 求
在
内的极值（极大值或极小值）；
2. 将
的各极值与
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
【典型例题】
[例1] 已知
在区间
上的最大值是5，最小值为
，求
解析式。
解：由
，则
令
，则在区间
上的根为
，且
（1）当
时，列表如下
（
）
0
（0，1）
1
+
0
－
函数
在
处有极大值
，又由
的单调性，则
最大值为
，由已知
。
而
最小值为
与
的最小者
而
，
则
，即
为最小值
由已知
，则
，所以
（2）当
时，同理可得
为最小值，故
的最大值为
与
的最大者
则
为最大值即
则
，所以
综上
[例2] 已知在区间
上，函数
的最大值为1，最小值为
，并且
，求
与
的值。
解：由
，则
令
，则
，函数
在区间
上的增减性如下表
0
（
）
1
+
－
+
极大
极小
由
，则
，即
又由
，
，则
所以
，
由已知
解得
注：求闭区间上连续函数的最值问题，须比较极值点与区间端点的函数值的大小。
[例3] 已知两个函数
，
，其中
。
（1）对任意
都有
成立，求
的取值范围。
（2）对任意的
，
都有
，求
的取值范围。
解：设
，则对任意的
都有
成立等价于函数
的最小值发即
，其中
，
令
，则
或
，列表如下
2
（2，3）
3
+
0
－
0
+
由上表可知
由
，可得
（2）对任意
，
都有
成立等价于
的最大值不大于
的最小值，其中
以下先求
的最小值
，由
，则有
，即
令
，则
或
，列表如下
（
）
3
+
0
－
0
+
111
所以
以下再求
的最大值
，
，利用二次函数的图象性质，可得
，于是
即
[例4] 用总长14.8m的钢条制做一个长方形容器的柜架，如果所制的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器最大，并求出它的最大容积。
解：设容器底面边长为
，则另一边长为
，高为
=
由
和
，得
设容器的容积为
，则有
（
）
整理，得
则
，令
，有
即
，解得
，
（不合题意舍去）
从而，在定义域（0，1.6）内只有在
处使得
，由题意，若
过小（接近0）或过大（接近1.6）时
的值很小，（接近0），因此，当
时，
取最大值，即
此时，高为
，所以，当高为
时，容器最大的容积为
。
【模拟试题】
1. 函数
在闭区间
上的最大值，最小值分别是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 函数
（
为常数）在
上有最小值3，那么
在
上的最大值是 。
3. 设函数
=
（1）求
的单调区间；
（2）若
，且当
时，
恒成立，求实数
的取值范围。
【试题答案】
1. C
提示：先求极值，令
，
，
，
，
，所以，最大值为3，最小值为
。
2. 43
提示：
，令
，则
当
时，
，则函数
在
上单调递增
当
时，
，则函数
在
上单调递减
又由
，
，故
则
，所以，
，且
在
上的最大值是
3. 解：
（1）
，其判别式
当
时，由
，得
或
则
的递增区间为
递减区间为
当
时，
恒成立，则
的递增区间为
（2）
时，
恒成立，因此
在
上是增函数，从而
在（1，2）上递增，则
在
恒成立
，解得
故
的取值范围是