1979年高考数学全国卷(理科)及其参考答案

1979年高考数学全国卷（理科）及其参考答案

一．（本题满分6分）

若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z 证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-2·2y(z+x)+4y2

=(z+x-2y)2=0

∴2y=x+z,所以，x,y,z 二．（本题满分6分）

化简:

1-1-

11

.

1-csc 2x

11112

解:原式=====csc x 2

111sin x

1-1-1-

11+tg 2x csc 2x 1-

-ctg 2x

三．（本题满分6分）

V 1公斤，乙有V 2水（重量）之比为m 1:n1 , 乙中纯酒精与水之比为m 2:n后所得液体中纯酒精与水之比是多少？

1

解:甲中含纯酒精乙中含纯酒精

m 1v 1n v

(公斤), 含水11(公斤), m 1+n 1m 1+n 1

m 2v 2n v

(公斤), 含水22(公斤)

m 2+n 2m 2+n 2

甲乙共含纯酒精

m 1v 1m v m v (m +n ) +m 2v 2(m 1+n 1)

+22=1122公斤

m 1+n 1m 2+n 2(m 1+n 1)(m 2+n 2) 甲乙共含水

n 1v 1n v n v (m +n ) +n 2v 2(m 1+n 1)

+22=1122公斤m 1+n 1m 2+n 2(m 1+n 1)(m 2+n 2) 混合后, 纯酒精与水之比为

[m 1v 1(m 2+n 2) +m 2v 2(m 1+n 1)]:[n 1v 1(m 2+n 2) +n 2v 2(m 1+n 1)]

四．（本题满6分）

五．（本题满10分）

外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D A 及B

是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP=α同时在B 站测得∠BAP=βα

及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC ⊥AB 于C ，设PC=d， 在直角三角形PAC 中，AC=d·ctg α在直角三角形PC 中，BC=d·ctg

A α β B C

2

β

∴S=AC+BC=d（ctg α+ctgβ当d ≤D ，即ctg α+ctgβ≥六．（本题满分10分）

S

D

设三棱锥V-ABC 中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=

证一：设VA=a ，VB=b，VC=c，AB=p，

BC=q，

于是p 2=a 2+b2, q2=b2+c2, r2=c2+a 2 A B

求证：△ABC 由余弦定理：

cos ∠CAB =

222222∴∠CAB 为锐角.

=

2

>0

同理，∠ABC ，∠BCA 证二：作VD ⊥BC ，D VA 垂直于平面VAC ，所以

VA ⊥BC 又BC ⊥VD ，所以BC 垂直于平面VAD ，从而BC ⊥AD 及在△ABC 中，A 在BC 边上的垂足D 介于B 和C

∠B 和∠C 都是锐角，同理可证∠A 七．（本题满分12分）

美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x

3

100（1+X)40=500,即（1+X)40=5. 取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.

又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x, 则有

x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4% 八．（本题满分12分） 设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线

BF BC 3

=相交于点 AE AC 3

A B D

证：连接CFD=900，所以CD 为圆O 的直径，

又AB 切圆O 于D ，

∴CD ⊥ABC 中，∠ACB=900，

∴AC 2=AD·AB ，BC 2=BD·BD BC 2∴=. (1)AD AC 2

又因 BD2=BC·BF ，AD 2=AC·BD 2BC ⋅BF ∴= (2)2

AC ⋅AE AD

4

由（1）与（2）得

BC ⋅BF BC 4

=

AC ⋅AE AC 4BF BC 3∴= AE AC 3

九．（本题满分14分）

试问数列lg 100, lg(100sin ), lg(100sin 2), , lg(100sin n -1) 前多少项

4

4

4

πππ

lg2=0.301)

解：该数列的第k 项为：

a k =lg(100sin n -1

π

1

) =2-(k -1) lg 242

所以这个数列是递减等差数列，且其首项为k 项的和最大，必须前k 项都是正数或0，而从第k+1k 应

适合下列条件：

1⎧

2-(k -1)lg 2≥0, (1)⎪⎪2⎨

⎪2-1[(k -1) -1]lg2

解此不等式组:由(1)得k ≤14.2由(2)得k >13.2

又k ∈N , ∴k =14

取k =14, 前14项的和

a +a 91

S =114⨯14=28-⨯0.3010≈14.30.

22

十．（本题满分18分）

设等腰△OAB 的顶点为2θ，高为1．在△OAB 内有一动点P ，到三边OA ，OB ，AB 的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|·|PF|=|PE|2P 2．在上述轨迹中定出点P 的坐标，使得 5

解：设OP 与正X 轴的夹角为α，P

OP =x 2+y 2.

PD =OP sin(θ-α) =OP (sinθcos α-cos θsin α) =x sin θ-y cos θ

PF =OP sin(θ+α) =OP (sinθcos α+cos θsin α) =x sin θ+y cos θPD ⋅PF =PE 2

得

x 2sin 2θ-y 2cos 2θ=(h -x ) 2, (1)即x 2

cos 2

θ-2hx +y 2

cos 2

θ+h 2

=0除以cos 2θ≠0得

22h h 2x -cos 2θx +y 2+cos 2θ

=0

即(x -h cos 2θ) 2+y 2

=(h sin θ2cos 2θ

这是以(h cos 2θ, 0) 为中心, 以h sin θ

cos 2θ

为半径的圆.

所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分

注意:在A 作直线A E '⊥OA . 则O E '=h cos 2θE '是圆的中心. A E '=h sin θ

cos 2θ

是圆

的半径,. A 是圆上一点, 而且圆在A 的切线是OA . 2. 由条件PD +PE =PF 得

x sin θ-y cos θ+h -x =x sin θ+y cos θ即x +2y cos θ=h . (2)

此直线通过(h,0)点及(0,h 2cos θ

点由(1), (2) 得

x 2sin 2θ-y 2cos 2θ=4y 2cos 2θ∴5y 2cos 2θ=x 2sin 2θ, y =

1tg θ⋅x

6

的坐标为（x,y ）, 则

由PD +PE =PF 可知y >0, 所以这里右端取正号. 代入(2)得x (1+

h θ) =h ∴x ==

1+θθ=

y =

所求点P 的坐标为

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