参数方程三角函数

一．选择题（每题5分共60分）

⎧x =a cos θ⎩y =b sin θ

1．设椭圆的参数方程为⎨

(0≤θ

≤π)，M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)是椭圆上两点，

M ，N 对应的参数为θ1, θ2且x 1

A ．θ1θ2 C．θ1≥θ2 D．θ1≤θ2 2. 直线：3x-4y-9=0与圆：⎨

⎧x =2cos θ⎩y =2sin θ

，(θ为参数) 的位置关系是( )

A. 相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心

π

3

3. 经过点M(1，5) 且倾斜角为( )

⎧

x =1+⎪⎪A. ⎨

⎪y =5-⎪⎩

1

的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是

⎧

x =1-⎪⎪2 B. ⎨

3

⎪y =5+t

⎪2⎩t

1

⎧

x =1-⎪⎪2C. ⎨

3

⎪y =5-t

⎪2⎩t

1

⎧

x =1+⎪⎪2 D. ⎨

3

⎪y =5+t

⎪2⎩t

1

2

32

t

t

1⎧

⎪x =t +

4. 参数方程⎨t (t为参数) 所表示的曲线是 ( )

⎪⎩y =-2

A. 一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线

x

2

5．若动点(x , y ) 在曲线

4

+

y b

22

=1(b >0)上变化，则x +2y 的最大值为

2

⎧b 2

⎪+4(A) ⎨4

⎪⎩2b

(0

；

⎧b 2

⎪+4(B) ⎨4

⎪⎩2b

(0

；(C)

b

2

4

+4 (D) 2b 。

6．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x，则x 2＋y 2的最大值为（ ）

A 、

72

B 、4 C 、

92

D 、5

⎧x =3t 2+2

7．曲线的参数方程为⎨(t是参数) ，则曲线是 2

⎩y =t -1

A 、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线

8． 已知动园：x 2+y 2-2ax cos θ-2by sin θ=0(a , b 是正常数，a≠b , θ是参数) ，则圆心的轨迹是

A 、直线 B、圆 C、抛物线的一部分 D、椭圆

⎧x =a +t cos θ⎩y =b +t sin θ

9． 在参数方程⎨

（t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参

数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是

10．设r >0, 那么直线x cos θ+y sin θ=r (θ是常数关系是

)与圆⎨

⎧x =r cos ϕ⎩y =r sin ϕ

(ϕ是参数)的位置

A 、相交 B、相切 C、相离 D、视的大小而定 11． 下列参数方程（t 为参数）中与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的是

⎧x =3cos θ

(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角12．已知过曲线⎨

y =4sin θ⎩

为

π

4

，则P 点坐标是

A 、（3，4） B、

⎛32⎫⎛1212⎫

，22⎪ C、(-3，-4) D、 ⎪ 2⎪

⎝55⎭⎝⎭

二．填空题（每题5分共25分）

13．过抛物线y 2=4x的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则

________________________________。

的取值范围是

14．直线⎨

⎧x =-2-⎩y =3+

2t 2t

(t 为参数)上与点P (-2，3)距离等于

2的点的坐标是

15．圆锥曲线⎨

⎧x =2tan θ⎩y =3sec θ

(θ为参数)的准线方程是

π

3

16．直线l 过点M 0(1, 5)，倾斜角是

，且与直线x -y -23=0交于M ，则MM

的长

为

⎧x =a sec α⎩y =b tan α

⎧x =a tan β⎩y =b sec β

17．曲线⎨（α为参数）与曲线⎨

（β为参数）的离心率分别

为e 1和e 2，则e 1＋e 2的最小值为_______________.

三．解答题（共65分

⎧x =2+t

18．求直线⎨（t 为参数）被双曲线

⎩y =3t

x -y

22

=1上截得的弦长。

19．已知方程。

（1）试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； （2）θ为何值时，该抛物线在直线x=14上截得的弦最长？并求出此弦长。

20．已知椭圆⎨

⎧x =4cos θ⎩y =5sin θ

上两个相邻顶点为A 、C ，又B 、D 为椭圆上的两个动点，且B 、D

分别在直线AC 的两旁，求四边形ABCD 面积的最大值。

π

6

21. 已知过点P(1，-2) ，倾斜角为的直线l 和抛物线x 2=y+m

(1)m取何值时，直线l 和抛物线交于两点?

43-2

3

(2)m取何值时，直线l 被抛物线截下的线段长为.

(三) 解答题：

时矩形对角线的倾斜角α．

13．直线l 经过两点 P(-1，2) 和Q(2，-2) ，与双曲线(y-2)2-x 2=1相交于两点A 、B ，

(1)根据下问所需写出l 的参数方程； (2)求AB 中点M 与点P 的距离．

14．设椭圆4x 2+y2=1的平行弦的斜率为2，求这组平行弦中点的轨迹．

16．说说由曲线y =tan x 得到曲线y =3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换。（7分）

17．已知P 5,

⎝⎛

23

'

（8分） π⎪，O 为极点，求使∆POP 是正三角形的P 点坐标。

⎫⎭

'

18．棱长为1的正方体OABC -D A B C 中，对角线OB 与BD ' 相交于点P ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在x 轴, y 轴的正半轴上，已知点P 的球坐标P (ρ, ϕ, θ)，求（10分） ρ, t an ϕ, s in θ。

19．∆ABC 的底边BC =10, ∠A =

12

∠B , 以B 点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方

'

'

'

'

'

程。（10分）

20．在平面直角坐标系中已知点A （3，0），P 是圆珠笔(x 2+y 2=1)上一个运点，且∠AOP 的平分线交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。 （10分）

21、在极坐标系中，已知圆C 的圆心C 3,

⎝

⎛

π⎫

⎪，半径=1，Q 点在圆C 上运动。

6⎭

（1）求圆C 的极坐标方程；

（2）若P 在直线OQ 上运动，且OQ∶QP=2∶3，求动点P 的轨迹方程。（10分）

22、建立极坐标系证明：已知半圆直径∣AB∣=2（>0），半圆外一条直线与AB 所在直线垂直相交于点T ，并且∣AT∣=2a (2a

r 2

) 。若半圆上相异两点M 、N 到的距离∣MP∣，

∣NQ∣满足∣MP∣∶∣MA∣=∣NQ∣∶∣NA∣=1，则 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣。 （10分）

23．如图，AD ⊥BC ，D 是垂足，H 是AD 上任意一点，直线BH 与AC 交于E 点，直线CH 与AB 交于F 点，求证：∠EDA =∠FDA （10分）

坐标系与参数方程单元练习6

一、选择题

⎧x =1+2t

1．若直线的参数方程为⎨(t 为参数) ，则直线的斜率为（ ）

y =2-3t ⎩

A ．C ．

2332

B ．- D ．-

2332

2．下列在曲线⎨

1

⎧x =sin 2θ⎩y =cos θ+sin θ

(θ为参数) 上的点是（ ）

A

．(, B ．(-

2

31

, ) C

． D

．(1, 42

2

⎧⎪x =2+sin θ

3．将参数方程⎨(θ为参数) 化为普通方程为（ ） 2

⎪⎩y =sin θ

A ．y =x -2 B ．y =x +2 C ．y =x -2(2≤x ≤3) D ．y =x +2(0≤y ≤1) 4．化极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0为直角坐标方程为（ ）

A ．x 2+y 2=0或y =1 B ．x =1 C ．x 2+y 2=0或x =1 D ．y =1 5．点M

的直角坐标是(-1, ，则点M 的极坐标为（ ）

A ．(2,

π

3

) B ．(2,-

π

3

) C ．(2,

2π3

) D ．(2,2k π+

π

3

), (k ∈Z )

6．极坐标方程ρcos θ=2sin 2θ表示的曲线为（ ）

A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆

二、填空题 1．直线⎨

⎧x =3+4t ⎩y =4-5t

(t 为参数) 的斜率为______________________。

t -t

⎧⎪x =e +e

2．参数方程⎨(t 为参数) 的普通方程为__________________。 t -t

⎪⎩y =2(e -e )

3．已知直线l 1:⎨

⎧x =1+3t ⎩y =2-4t

(t 为参数) 与直线l 2:2x -4y =5相交于点B ，又点A (1,2) ，

则AB =_______________。

1⎧

x =2-t ⎪⎪222

4．直线⎨(t 为参数) 被圆x +y =4截得的弦长为______________。

⎪y =-1+1t ⎪⎩2

5．直线x cos α+y sin α=0的极坐标方程为____________________。 三、解答题

1．已知点P (x , y ) 是圆x 2+y 2=2y 上的动点， （1）求2x +y 的取值范围；

（2）若x +y +a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围。

⎧⎪x =1+t

2．

求直线l 1:⎨

⎪⎩y =-5+

及点P (t 为参数

) 和直线l 2:x -y -=0的交点P 的坐标，

与Q (1,-5) 的距离。

3．在椭圆

x

2

16

+

y

2

12

=1上找一点，使这一点到直线x -2y -12=0的距离的最小值。

坐标系与参数方程单元练习6参考答案

一、选择题 1．D k =

y -2x -1

=-3t 2t

=-

32

34

2

2．B 转化为普通方程：y =1+x ，当x =-

时，y =

12

3．C 转化为普通方程：y =x -2，但是x ∈[2,3],y ∈[0,1] 4．

C

ρ(ρcos θ-1) =0, ρ=

2π3

=0, 或ρcos θ=x =1

5．C (2,2k π+), (k ∈Z ) 都是极坐标

2

6．C ρcos θ=4sin θcos θ, cos θ=0, 或ρ=4sin θ, 即ρ=4ρsin θ 则θ=k π+

π

2

, 或x +y =4y

2

2

二、填空题 1．-

54

k =

y -4x -3

=

-5t 4t

=-

5

4

y 2y 2

t

⎧

⎧x =e t +e -t x +22⎪x y ⎪⎪

2．-=1, (x ≥2) ⎨y ⇒⎨

t -t

416⎪=e -e ⎪x -

⎩2⎪⎩

=2e =2e

⇒(x +

-t

y 2

) x (-

y 2

=) 4

3．

52

将⎨

⎧x =1+3t ⎩y =2-4t

代入2x -4y =5得t =

12

，则B (

52

, 0，而) A B =A (1, 2，得)

52

4

． 直线为x +y -1=0，圆心到直线的距

离d =

=

2

，弦长的一半

为

=

2

5．θ=

π

2

+α ρc o s θc o αs +ρs i θn s α=i n 0, -θc o αs =(，取θ-α=

π

2

三、解答题

1．解：（1）设圆的参数方程为⎨

⎧x =cos θ⎩y =1+sin θ

，

2x +y =2cos θ+sin θ+1=∴1≤2x +y ≤

1

θ+ϕ) +

1

（2）x +y +a =cos θ+sin θ+1+a ≥0

∴a ≥-(c o θs +∴a ≥1

s θi n -) =

π

θ2+s -(

4

) 1

2

．解：将⎨

⎧⎪x =1+t ⎪⎩

y =-5+

代入x -y -=

0得t =，

得P (1+，而Q (1,-

5) ，得PQ ==⎧⎪x =4cos θ

3

．解：设椭圆的参数方程为⎨，d =

⎪⎩

y =θ

=

o θs s θi n -2θc (3

θ

) 3

当c o s θ(+

π

3

=

) 时，1d m

i

=n

5

，此时所求点为(2-。, 3)