一元二次方程知识点总结和例题

知识点总结：一元二次方程

一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。应该说，一元二次方程是本书的重点内容。 一、目标与要求

1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单题目。

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用熟练掌握以上知识解决问题。 二、重点

1．一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。 2.判定一个数是否是方程的根；

3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。

4.运用开平方法解形如（x+m）=n（n≥0）的方程，领会降次──转化的数学思想。 5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题． 三、难点

1．一元二次方程配方法解题。

2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 3．用公式法解一元二次方程时的讨论。

4.通过根据平方根的意义解形如x=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）=n（n≥0）的方程。 5．建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。

6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。 2

2

2

2

三、知识框架

四、知识点、概念总结

1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax+bx+c=0时，应满足（a≠0）

3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax+bx+c=0（a≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax+bx+c=0（a≠0）后，其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如

2

2

2

2

2

xa，当b

（2）配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2(ab)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x22bxb2(xb)2。

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程axbxc0(a0)的求根公式：

2

2

bb24ac2x(b4ac0)

2a

（4）因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

5.一元二次方程根的判别式

根的判别式：一元二次方程axbxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程

2

ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示，即b24ac

6.一元二次方程根与系数的关系

如果方程axbxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1x2

2

bc

，x1x2。也就是说，aa

对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

（参考教材：初中数学九年级人教版）

知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

例题：

1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由. (1)2x2-x-3=0. （ ） (2)

y

-y2=0. （ ） 4

(3) t2=0. （ ） (4) x3-x2=1. (5) x2-2y-1=0. (6)

1

x2

-3=0. (7)x23x =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. (9)3x2-4

x+6=0. (10)3x2=x

4

-3. 2、判断下列方程是否为一元二次方程：

(1).x2x1(2).x21(3).x

1x

(4).x23x2y0(5).x23(x1)(x2)(6).ax2bxc0

(7).mx20(m为不等于0的常数)

3、下列方程中，关于x的一元二次方程是（A）3x12

2x1 （C）ax2

bxc0

4、下列方程中，不是一元二次方程的是 （A）2x2

+7=0 B）

1x21

x

20 D）x2

2xx2

1B）2x2

+2x+1=0

） ） ） ）（ ）

）

（ ）

（ （ ） ） （ （（（ （ （ （

（

（C）5x+

2

12

+4=0 （D）3x+(1+x) +1=0 x

5、若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是 （ ） （A）2 （B）－2 （C）0 （D）不等于2

6、已知关于x的方程m1xn3xp0，当时，方程为一次方程；当

2

2



时，两根中有一个为零a。

7、已知关于x的方程m2x

m22

xm0：

（1） m为何值时方程为一元一次方程； （2） m为何值时方程为一元二次方程。

知识点二.一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是：axbxc0a0，其中ax2是二次项，a叫二次项系数；bx是一次

2

项，b叫一次项系数，c是常数项。 特别警示：（1）“a0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。

例题：

1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

(1)x210x9000

(2)5x210x2.20 (3)2x2150 (4)x23x0

2

(x2)3 (5)

(6)(x3)(x3)0

2、关于x的方程ax3x20是一元二次方程，则 （ ） （A）a0 （B）a0 （C）a1 （D）a0

3、将下列一元二次方程化成一般形式，并找出a、b、c的值. (1) 4x35x； (2) 2x283xx1

4、方程（m－1）x＋mx－5＝0 是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是„（ ） （A）m≠1 （B）m≠0 （C）|m|≠1 （D）m＝±1

5、关于x的方程3x2x60中a是；b是c是。 6、方程3x2x53x2x549的一般形式为。

2

2

2

2

2

2

7、方程(m-5)(m-3)xm2+(m-3)x+5=0中，当m为何值时，此方程为一元二次方程?

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。 例题：

1、已知方程3x9xm0的一个根是1，则m的值是。

2、已知x1是一元二次方程x2mx10的一个解，则m的值是 （ ） （A）1 （B）0 （C）0或1 （D）a0

3、若x1是一元二次方程axbx20的一个根，则ab。

22

2

b24ac

4、实数是方程 的根 （ ）

2a

（A）axbxc0 （B）axbxc0

22

（C）axbxc0 （D）axbxc0

22

5、设a是一元二次方程x5x0的较大根，b是x3x20较小根，那么ab 的值是 （ ） （A）-4 （B）-3 （C）1 （D）2

6、已知关于x的一元二次方程xkx20 的一个解与方程（1） 求k的值；

（2） 求方程xkx20的另一个解。

7、设x1,x2是关于x的一元二次方程xpxq0的两个根，x11,x21是关于x的一元二次方程

2

2

2

2

x1

3的解相同。 x1

2

x2qxp0的两个根，则p,q的值分别等于多少？

一元二次方程的四种解法：

（1） 直接开平方法：如果xkk

0，则x2

（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完

全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；

b2

（3） 公式法：一元二次方程axbxc0a

0的求根公式是x b4ac0；

2a

2

（4） 因式分解法：如果xaxb0则x1a,x2b。

温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。 例题： 解方程：

1、方程x250的解是： （ ） （A）x1x25 （B）x1x225 （C）x15,x25 （D）x125,x225

2、方程x2x0的解是： （ ） （A）x1x21 （B）x11,x23 （C）x12,x20 （D）x12,x20 3

、方程

22

1x21x的较简便的解法应选用。

4、解下列方程：

22

（1）x33x1 （2）2xx30 （3）x2x30

2

5、解下列方程：

（1）23y23y（2）



2



1

x121x1 （3）(x3)22x52 32

6、解下列方程：

（1）3y6y2y2

2

2

2



m

（2）xm3x

3

2

2

（3）xx1xx212



2



2



7、解方程：

（1）xx330

（2）mx4m1x4m20

22

知识点五.一元二次方程根的判别式

对于一元二次方程axbxc0a0的根的判别式是b24ac：

2

（1） 当b4ac0时，方程有两个不相等的实数根； （2） 当b4ac0时，方程有两个相等的实数根； （3） 当b4ac0时，方程无实数根。 温馨提示：若方程有实数根，则有b4ac0。 例题：

1、已知方程x3xk0有两个不相等的实数根，则k= 。

2、关于x的一元二次方程kx2x10两个不相等的实数根，则k的取值范围是 （ ） （A）k1 （B）k1 （C）k0 （D）k1且k0

3、在下列方程中，有实数根 的是 （ ） （A）x3x10 （B

1 （C）x2x30 （D）

2

2

2

22

2

2

2

2

x1



x1x1

4、当m满足何条件时，方程mx2m1x9m10有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？

5、关于x的方程mx2m2xm50无实根，试解关于x的方程m5x2m2xm0。

2

2

6、已知关于x的一元二次方程x4m1x2m10，求证：不论m为任何实数，方程总有两个不

2

相等的实数根。

7、将一条长20m的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。

（1） 要使这两个正方形的面积之和等于17平方米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？

（2） 两个正方形的面积之和可能等于12平方米吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

知识点六.一元二次方程根与系数的关系

若一元二次方程axbxc0a0的两个实数根为x1,x2，则x1x22bc,x1x2。 aa

温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。

例题：

1、关于x的一元二次方程xkx4k30的两个实数根分别是x1,x2，且满足x1x2x1x2，则k的值为： （ ）

（A）1或2233 （B）1 （C） （D）不存在 44

222、已知,是关于x的一元二次方程x2m3xm0的两个不相等的实数根，且满足

1

1

1，则m的值是 （ ）

（A）3或-1 （B）3 （C）1 （D）-3或1

3、关于x的一元二次方程2x2x3m10有两个实数根x1,x2，且x1x2x1x24，则m的取值范围是 （ ）

（A）m

2255511 （B）m （C）m （D）m 3332224、方程x3x60与方程x6x30的所有根的乘积是

5、两个不相等的实数m,n满足m6m4,n6n4，则mn的值为

6、设x1,x2是关于x的方程xm1xm0m0的两个根，且满足222112，求m的值。 x1x23

7、已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2k3xk3k20的两个实22

数根，第三边BC的长为5，问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

知识点七.一元二次方程的实际应用

列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。

在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。

例题：

1、某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元，则该玩具平均每次降价的百分率是 。

2、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。

3、一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是５cm，容积是５００cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。

4、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？

5、一根长22cm的铁丝．

（1）能否围成面积是30cm2的矩形？

（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由．

6、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

7、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2?

A

PD

BC