竞赛专题-因式分解
竞赛专题：因式分解
一、重要公式
1、a－b=(a＋b)(a－b)；a－1=(a－1)(a ＋a＋a＋1)
2、a±2ab＋b=(a±b)；
3、x＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b);
4、a＋b=(a＋b)(a－ab＋b); a －b=（a－b）(a＋ab＋b); 二、因式分解的一般方法及考虑顺序
1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。
3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；1、添项拆项
[例1]因式分解：（1）x＋x＋1；（2）a＋b＋c－3abc
（1）分析：x＋1若添上2x 可配成完全平方公式
解：x＋x＋1＝x＋2x＋1－x=(x＋1)－x=(x＋1＋
x)(x＋1－x)
（2）分析：a＋b要配成（a＋b）应添上两项3a b＋3ab
3
3
3
3
2
2
3
3
3
3
3
2
2
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
4
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4
2
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
22
2
2
2
2
n
n-1
n-2
n-3
＋…＋a＋a
2
解：a＋b＋c－3abc＝a＋3ab＋3ab＋b＋c－3abc－
3a b－3ab
2
2
=(a＋b)＋c－3ab(a＋b＋c)
=(a＋b＋c)[(a＋b)－(a＋b)c＋c]－3ab(a＋b＋c)=(a＋b＋c)(a＋b＋c－ab－ac－bc)
[例2]因式分解：（1）x－11x＋20；（2）a＋a＋1
（1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x分别与x ,20组成两组，
1
5
3
5
2
2
22
2
33
则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）
解：x －11x＋20＝x－16x＋5x＋20＝x(x－16)＋5(x＋4)=x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4)=(x＋4)(x－4x＋5)
（2）分析：添上－a和a 两项，分别与a 和a＋1组成两组，正好可以用立方差公式
解：a＋a＋1＝a－a＋a＋a＋1=a(a－1)＋a＋a＋1=a(a－1)(a ＋a＋1)＋a＋a＋1=(a＋a＋1)(a－a＋1)
2、待定系数法
[例3]因式分解2x ＋3xy－9y＋14x－3y＋20
解：∵2x＋3xy－9y=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法，可设2x ＋3xy－9y＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y＋
b)，
其中a,b 是待定的系数，比较右边和左边的x 和y 两项的系
数，得
⎧a +2b =14⎨
⎩3a -3b =-3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
5
5
2
2
2
3
2
2
2
5
2
3
3
2
2
a =4b =5
∴2x＋3xy－9y＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5)[另解]原式=2x＋(3y＋14)x－(9y＋3y－20)，这是关于x 的
二次三项式
常数项可分解为－(3y－4)(3y＋5),用待定系数法，
可设2x ＋(3y＋14)x－(9y＋3y－20)=[mx－(3y－4)][nx＋
(3y＋5)]
比较左、右两边的x 和x 项的系数，得m=2,n=1∴2x＋3xy－9y＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5)
三、重点定理
1、余式定理：整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则
2
2
2
2
2
2
2
2
f(x)=(x-a)q(x)+r。当一个多项式f(x)除以(x–a) 时，所得的余数等于f(a)。
例如：当f(x)=x^2+x+2除以(x–1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。2、因式定理：即为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。
四、填空题
1、两个小朋友的年龄分别为a 和b，已知a ＋ab=99，则a=2、计算：(x＋6)(x－6)－36)
2
2
2
2
2
22
2
，b=。
－：。b
2
3、若x＋y=4，x＋y=10，则(x－y)=43=
515=
61987=五、选择题
2
2
2
2
2
2
、、、
分解分
因解因
式因式
：a 式
2
＋4x
3
4a －
2
＋2b ＋＋＋
。
31x 1986x
分解：x
4
＋1987x ＋
7、xy－yz＋zx－xz＋yx＋zy－2xyz因式分解后的结果是（（A）(y－z)(x＋y)(x－z)（C）(y＋z)(x－y)(x＋z)
（B）(y－z)(x－y)(x＋z)（D）(y＋z)(x＋y)(x－z)
3
）。
8、已知7－1可被40至50之间的两个整数整除，则这两个整数是（
）。
（A）41，48
（B）45，47
3
24
（C）43，48
）。
（D）41，47
9、n为某一自然数，代入代数式n －n中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是（（A）388944（B）388945六、将下列各式分解因式
10、x4
＋x2
y 2
＋y
4
12、x4－23x2y 2＋y
4
14、x3
－41x＋30
16、x3＋3x2y＋3xy2＋2y
3
18、x3－9ax2＋27a2x－26a
3
4
（C）388954（D）388948
11、x4
＋4
13、x3＋4x2
－9
15、x3＋5x2
－18
17、x3－3x2
＋3x＋7
19、x3＋6x2
＋11x＋6
20、a＋b＋3(a＋b)＋3(a＋b)＋2
3322
21、3x－7x＋10
3
22、x－11x＋31x－21
32
七、解答题
23、已知x－y＋4是x －y＋mx＋3y＋4的一个因式，求m 的值。
2
2
24、求方程xy－x－y＋1=3的整数解。
解：原方程可化为(x－1)(y－1)=3
∵x，y整数,
∴原方程可化为四个方程组:x－1=1y－1=3
x－1=3y－1=1
5
x－1=－1y－1=－3
x－1=－3y－1=－1
解得：（x,y）的解为(2,4)、(4,2)、(0,－2)、(－2,0)
6