系统开环频率特性

5-2 系统开环频率特性

若系统开环传递函数由典型环节串联而成，即

G ( s ) H ( s ) = G1 ( s )G2 ( s ) K Gn ( s )

开环频率特性为

G ( jω ) H ( jω ) = G1 ( jω )G2 ( jω ) K Gn ( jω )

= G1 ( jω ) e j ϕ1 (ω ) G2 ( jω ) e j ϕ2 (ω ) K Gn ( jω ) e j ϕn (ω )

= ∏ Gi ( j ω ) e

i =1 n j

∑ ϕi (ω )

i =1

n

可见，系统开环幅频特性为

G ( jω ) H ( jω ) = ∏ G i ( jω )

j =1

n

开环相频特性为

ϕ (ω ) = ∠G ( jω ) H ( jω ) = ∑ ϕi (ω )

i =1

n

而系统开环对数幅频特性为

L (ω ) = 20 lg G ( jω ) H ( jω ) = 20 lg ∏ Gi ( jω ) = ∑ 20 lg Gi ( jω )

i =1 i =1

n

n

由此可见，系统开环对数幅频特性等于各串联环节的对数幅频特性之和；系统开环相 频特性等于各环节相频特性之和。 综上所述，应用对数频率特性，可使幅值乘、除的运算转化为幅值加、减的运算，且典 型环节的对数幅频又可用渐近线来近似， 对数相频特性曲线又具有奇对称性质， 再考虑到曲 线的平移和互为镜象特点，这样，一个系统的开环对数频率特性曲线是比较容易绘制的。 【例 5-1】已知系统开环传递函数为

G (s) =

100 s ( s + 10)( s + 1)

试绘制该系统的开环对数频率特性曲线。 解 (1) 首先将系统开环传递函数写成典型环节串联的形式，即

G (s) =

100 s (0.1s + 1)( s + 1)

可见，系统开环传递函数由以下三种典型环节串联而成： 放大环节： G1 ( s ) = 10

积分环节： G 2 ( s ) = 1 s 惯性环节： G3 ( s ) = 1 ( s + 1) 和

G4 ( s ) = 1 (0.1s + 1)

(2) 分别作出各典型环节的 对数幅频、相频特性曲线，如图 5-19 所示。为了图形清晰，有时 略去直线斜率单位。 (3) 分别将各典型环节的对 数幅频、相频特性曲线相加，即 得系统开环对数幅频、 相频特性 曲线，如图 5-19 中实线所示。 由系统开环对数幅频特性曲线可以看出，系统开环对数频率特性渐近线由三段直线组 成，其斜率分别为 − 20 、 − 40 、 − 60 dB/dec，直线与直线之间的交点频率按 ω 增加的顺 序分别为两个惯性环节的交接频率 1、10。系统开环对数幅频特性曲线与零分贝线的交点频 率称为系统的截止频率，并用 ω c 表示。相频特性 曲线由 − 90° 开始， ω 增加逐渐趋近于 − 270° 。 随 根据上述特点，实际绘制开环对数幅频特性 曲线时，尤其在比较熟练的情况下，不必绘出各 典型环节的对数幅频特性曲线，而可以直接绘制 系统开环对数幅频特性曲线。 另外，绘制系统开环幅相频率特性曲线是比 较麻烦的，因为开环幅频特性是各串联典型环节 幅频特性的乘积。为了绘制开环幅相频率特性曲 线，可以先作出开环对数频率特性曲线，然后再 根据幅值、相角变化情况绘制开环幅相频率特性 曲线。 ［例 5-1］的幅相

频率特性曲线见图 5-20。图中箭头方向表示参变量 ω 增加的方向。

第四章 线性系统的频域分析

4.3 系 统 开 环 频 率 特 性 的 绘 制

例 4-3 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为

试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。

解: 系统的开环传递函数可写成

它 由 一 个 放 大 环 节 、一 个 积 分 环 节 和 一 个 振 荡 环 节 串 联 组 成 ，对 应 的 频 率 特 性 表 达 式 为

（ 1） 极 坐 标 图

由 于 系 统 含 有 一 积 分 环 节 ， 当 ω→0 时 ， 系 统 的 开 环 幅 频 特 性 |G(jω)H(jω) |→∞。 为 使频率特性曲线比较精确，还须求出它的渐近线。由系统的开环频率特性可得

即 渐 近 线 是 一 条 与 实 轴 交 点 为 － 2ζKvT 且 垂 直 于 实 轴 的 直 线 ，图 4-28 绘 制 出 该 系 统在不同阻尼比的渐近线（虚线) 及对应开环频率特性的极坐标图。

（ 2） 伯 德 图

（ a） 对 数 幅 频 特 性

由开环频率特性表达式知， 数幅频特性的 对 渐近线有一个交接频率 （对应振荡环节），将 它 在 图 4-29 的 横 轴 上 标 出 。 该 系 统 还 含 有 一 个 积 分 节 和 放 大 环 节 ， 参 照 例 4-2， 对 数 幅 频 特 性 的 低 频 段 主 要 由 积 分 环 节 和 放 大 环 节 决 定 。当 交 接频率 时 ， 对 数 幅 频 特 性 如 图 4-29

所 示 ， 斜 率 为 -20dB/dec 的 折 线 在 频 率 为 处穿过零分贝线到振荡环节的 交 接 频 率 处 转 折 为 斜 率 为 -60dB/dec 的 线 段 。当 交接频率为 时 ， 对 数 幅 频 特 性 如 图 4-3 0 示 ， 斜 率 为 -20dB/dec 的 折 线 段 的 延 长 线 （ 图

中 虚 线 ） 与 横 轴 交 点 频 率 应 为 ωv， 从 交 接频率 开始，对数频特性转折成斜率 为 -60dB/dec 的 直 线 。

(b) 对 数 相 频 特 性

在 图 4-29 上 分 别 画 出 积 分 环 节 的 相 频 特 性 1） 振 荡 环 节 相 频 特 性 2） （ 和 （ ， 然后将它们在纵轴方向上相加便得到 系 统 开 环 相 频 特 性 曲 线 （ 3） 。

例 4-4 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为

试绘制该系统开环频率特性的极 坐标图和伯德图。

解 该系统开环传递函数可写成

它 由 一 个 放 大 环 节 、一 个 比 例 微 分 环 节 和 一 个 惯 性 环 节 串 联 组 成 ，其 对 应 的 频 率 特 性 表 达式为

幅频特性和相频特性分别是

（ 1） 极 坐 标 图

根 据 幅 频 特 性 和 相 频 特 性 可 得 到 当 ω→0 和 ω→∞ 时 的 极 限 值 分 别 为

即当惯性环节时间常数 T 大于比例微分环节的微分时间常数 τ 时， 着频率增加， 随 幅 值 衰 减 ，相 角 滞 后 ，系 统 具 有 低 通 性 质 ；反 之 ，当 T

而 当 T=τ 时 ，

比 例 微 分 环 节 与 惯 性 环 节 作 用 相 互 抵 消 ， 系 统 只 起 放 大 作 用 。 三 种 情 况 的 极 坐 标 图 如 图 5—3 1 所 示 。

（２）伯德图

由 式 （ 4-100） 知 ， 系 统 开 环 对 数 幅 频 特 性 渐 近 线 有 两 个 交 接 频 率 4-32 (a)、 (b)、 (c)分 别 绘 制 了 当 T>τ、 T

， 图

例 4-5 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 如 下 ， 试 绘 制 系 统 开 环 频 率 特 性 的 极 坐 标 图 和 伯 德图。

解：该系统的开环频率特性表达式为

它是由比例、积分、惯性和滞后环节串联组成。如果滞后时间常数很小而可以忽 略不计时，系统的开环幅频和相频特性为

当滞后环节时间常数较大而不能忽略时，系统的开环幅频特性由于 影 响 ， 但 相 频 特 性 须 加 一 滞 后 相 角 -57.3 度 ， 即

不受

对 应 的 极 坐 标 图 和 伯 德 图 分 别 如 图 4-36 和 4-37 所 示 。

由于滞后环节的影响，频率特性的极坐标图对数相频特性曲线形状发生了很显著 的 变 化 ，它 对 系 统 的 性 能 ，特 别 是 系 统 的 稳 定 性 将 产 生 很 大 的 影 响 ，有 关 判 别 系 统 稳 定 性的奈奎斯特判据将在下节介绍，这里不再赘述。

模块四 频域分析法

3.系统开环频率特性的绘制

一、系统开环频率特性绘制

分析： 方法：利用典型环节的频率特性 （1）分别计算出各典型环节的幅频特性和相频特性； （2）各典型环节的幅频特性相乘得到系统的幅频特性，各典型环节的相频特性相加得到系统的相频特性。 （3）给出不同的 ω 值，计算出相应的 A(ω)和 φ(ω)，描点连线。 极坐标图的近似作法： （1）起点（ ω =0）： 0 型：在实轴上 K 点 1 型：在负虚轴的无穷远处 与系统的型号有关 2 型：在负实轴的无穷远处 3 型：在正虚轴的无穷远处

分析：

（2）终点（ ω =∞）（如图 5_4_1）： ） 在原点，且当 n-m=1 时，沿负虚轴趋于原点 当 n-m=2 时，沿负实轴趋于原点 当 n-m=3 时，沿正虚轴趋于原点 分析：

（3）与虚轴的交点：

（4）与实轴的交点：

例

二、对数频率特性的绘制

1.对数幅频特性

方法一：典型环节频率特性相加 方法二：按下面的步骤进行：

（1）在半对数坐标纸上标出横轴及纵轴的刻度。 （2）将开环传递函数化成典型环节乘积因子形式，求出各环节的交接频率，标在频率轴上。 （3）计算 20lgK，K 为系统开环放大系数。 （4）在 ω=1 处找出纵坐标等于 20lgK 的点“A”；过该点作一直线，其斜率等于-20ν(db/dec)，当 ν 取正号时为积分环节的个数， 当 ν 取负号时为纯微分环节的个数；该直线直到第一个交接频率 ω1 对应的地方。 若 ω1

长线以过“A”点。 （5）以后每遇到一个交接频率，主改变一次渐近线的斜率： 遇到惯性环节的交接频率，斜率增加-20db/dec； 遇到一阶微分环节的交接频率，斜率增加+20db/dec； 遇到振荡环节的交接频率，斜率增加-40db/dec； 遇到二阶微分环节的交接频率，斜率增加+40db/dec； 直至经过所有各环节的交接频率，便得系统的开环对数幅频渐近特性。 若要得到较精确的频率特性曲线，可在振荡环节和二阶微分环节的交接频率附近进行修正。

2.对数相频特性

方法一：典型环节相频特性相加 方法二：利用系统的相频特性表达式，直接计算出不同的 ω 数值时对应的相移角描点，再用光滑曲线连接。 例 1 已知某系统的开环传递函数为

试绘出系统的开环对数幅频特性。

解：系统由八个环节组成：两个积分环节；三个惯性环节；两个一阶微分环节，它们的交接频率分别为是

按方法二有关步骤，绘出该系统的开环对数幅频特性（见下图）。

图 5_4_2 系统的开环对数幅频特性图

3.对数幅频特性与相频特性间的关系 什么是最小相位系统？若一个系统的开环传递函数在右半 S 平面有具有极点及零点，并且不具有纯时间延迟因子，此系统称为最 小相位系统。否则，称为非最小相位系统。

这种对应关系是：对数频率特性的斜率为-20N（db/dec）时，对应的相角位移是-90°N。对数幅频特性与相频特性之间的关系是惟 一确定的。