坐标系与参数方程(投影版)
坐标系及参数方程
一、坐标系
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点
P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换
⎧x '=λx ϕ:⎨
⎩y '=μy
(λ>0)
的作用下, 点P(x,y)对应到点P '(x ', y ') , 称ϕ为平面直
(μ>0)
角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换.
2. 极坐标系的概念 (1)极坐标系
在平面内取一个定点O , 叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox , 叫做极轴; 再选定一个长度单位, 一个角度单位(通常取弧度) 及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标
设M 是平面内一点, 极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径, 记为ρ; 以极轴Ox 为始边, 射线OM 为终边的角∠xOM 叫做点M 的极角, 记为θ. 有序数对
(ρ, θ) 叫做点M 的极坐标, 记作M (ρ, θ) .
一般地, 不作特殊说明时, 我们认为ρ≥0, θ可取任意实数.
特别地, 当点M 在极点时, 它的极坐标为(0, θ)(θ∈R). 和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定ρ>0,0≤θ
(ρ, θ) 表示; 同时, 极坐标(ρ, θ) 表示的点也是唯一确定的.
3. 极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,
并在两种坐标系中取
相同的长度单位, 如图所示:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是(x , y ) , 极坐标是(ρ, θ) (ρ≥0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
4. 常见曲线的极坐标方程(重点消化圆的极坐标方程)
注意:极坐标方程中,ρ
特别地:当A , B 在过原点直线θ=α时,AB =
ρ1-ρ2.
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一, 即
(ρ, θ) ,(ρ,2π+θ),(-ρ, π+θ),(-ρ, -π+θ), 都表示同一点的坐标, 这与点的直
角坐标的唯一性明显不同. 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可. 例如对于极坐标方程ρ=θ, 点M (以表示为(
ππ
, ) 可44
ππ
,
πππ5π
+2π) 或(, -2π) 或(-, ) 等多种形式, 其中, 只有4444
44
(
ππ
, ) 的极坐标满足方程ρ=θ. 44
例(2014Ⅱ) 在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ, θ∈[0,(Ⅰ)求C 的参数方程;
(Ⅱ)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l :y =+2垂直,根据(I )中你得到的参数方程,确定D 的坐标.
π
2
].
例 (2015Ⅱ) 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:⎨
⎧x =t cos α
(t 为参数,t ≠0),
y =t sin α⎩
其中0≤α
C 2:ρ=
2sin θ,曲线C 3:ρ=θ.
(Ⅰ)求C 2与C 1交点的直角坐标;
(Ⅱ)若C 2与C 1相交于点A ,C 3与C 1相交于点B ,求AB 的最大值.
例(2015Ⅰ) 在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x =-2,
圆C 2:(x -1) 2+(y -2) 2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C 1, C 2的极坐标方程; (Ⅱ)若直线C 3的极坐标方程为θ=
π
4
(ρ∈R ) ,设C 2与C 3的交点为
M , N ,求∆C 2MN 的面积.
解(I )因为x =ρcos θ,y =ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,
C 2
的极坐标方程为
ρ2-2
(II )将θ=
ρc
π
+ ρ 4 = θ s ……5i 分 -o θ。 s
2
n
4
解得ρ1=
ρ2=
ρ1-ρ2
MN =
由于C 2的半径为1,所以∆C 2MN 的面积为分
代入ρ-2ρcos θ-4ρsin θ+4=
0,得ρ2-+4=0,
1
。 ……102
二、参数方程(原变量关于参数的方程,参数视为新变量) 1. 参数方程和普通方程的互化——消参,并注意参数范围
例如C 1:⎨
⎧⎪x =t
,化为普通方程 t 是参数)
⎪⎩y 2.直线的参数方程
经过点M 0(x 0, y 0) ,倾斜角为α(α≠
π
2
) 的直线l 的普通方程是
y -y 0=tan α(x -x 0), 而过M 0(x 0, y 0) ,倾斜角为α的直线l 的参数方程为
⎧x =x 0+t cos α
(t 为参数) 。 ⎨
⎩y =y 0+t sin α
注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点M 0(x 0, y 0) ,倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎨
⎧x =x 0+t cos α
其中t 表示直线l 上以定点M 0为(t 为参数) ,
⎩y =y 0+t sin α
起点,任一点M (x , y ) 为终点的有向线段M 0M 的数量,当点M 在M 0上方时,
t >0;当点M 在M 0下方时,t <0;当点M 与M 0重合时,t =0。
3.圆的参数
如图所示,设圆O 的半径为r ,点M 从初始位置M 0出发,按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动,设M (x , y ) ,则⎨
⎧x =r cos θ
(θ为参数) 。
⎩y =r sin θ
这就是圆心在原点O ,半径为r 的圆的参数方程,其中θ的几何意义是OM 0
转过的角度。
圆心为(a , b ) ,半径为r 的圆的普通方程是(x -a ) +(y -b ) =r , 它的参数方程为:⎨
2
2
2
⎧x =a +r cos θ
(θ为参数) 。
⎩y =b +r sin θ
4.椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心,焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为
⎧x =a cos ϕx 2y 2
+=1(a >b >0), 其参数方程为其中参数ϕ称为(ϕ为参数) ,⎨22a b ⎩y =b sin ϕ
y 2x 2离心角;焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是2+2=1(a >b >0), 其参数方程为
a b
⎧x =b cos ϕ
(ϕ为参数), 其中参数ϕ仍为离心角,通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈⎨
⎩y =a sin ϕ
[0,2π)。
⎧x =2cos β例(2013Ⅱ) 已知动点P , Q 都在曲线C :⎨(β为参数) 上,对应参数分
y =2sin β⎩
别为β=α与β=2α(0
(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.
【解】(Ⅰ)P (2cosα , 2sinα ) ,Q (2cos2α , 2sin2α ) ⇒M (cosα + cos2α , 2sinα + sin2α
)
⎧x = cosα + cos2α
所以M 的轨迹的参数方程为:⎨ ( α 是参数,0
⎩y = 2sinα + sin2α
(Ⅱ)d =
+ = 2+2cosα ( 0
当α = π时,d = 0,所以M 的轨迹过坐标原点.
7.(2014Ⅱ) 在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ, θ∈[0,(Ⅰ)求C 的参数方程;
(Ⅱ)设点D 在C 上,C 在D
处的切线与直线l :y =+2垂直,根据(I )中你得到的参数方程,确定D 的坐标.
π
2
].