用极坐标计算二重积分教学初探

第２５卷第１期

Ｖ０１．２．５Ｎｏ．１吕粱高等专科学校学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬｖｈａｎｇＨｉｇｈｅｒＣｏｆｉｅｇｅ２００９年３月ＭＲＩ＇．２００９

用极坐标计算二重积分教学初探

任丽平

（陕西教育学院数理工程系，陕西西安７１００６１）

摘要：针对“用极坐标计算二重积分”这一知识点上学生容易出现的一个误区，展开论证．利用极坐标系下参

数的定义和定积分的性质。阐明了该误区出现的原因及避免的方式．

关键词：极坐标；重积分；直角坐标系

中图分类号：０１７１文献标识码：Ａ文章编号：１００８－７８３４（２００９）０１－Ｏ００９—０３

１问题的提出

文…第二十一章第四节第２３７页中写到：当积分区域是圆或圆域的一部分，或者被积函数的形式为以菇２＋广）时，采用极坐标变换ｒ：

ｒ：』石２

ｔｙ２ｒｃ０８０，０≤ｒ＜＋∞，０≤０≤２仃。ｒｓｉｎＯ，

往往能达到简化积分区域或被积函数的目的．

上述对参数ｒ和０的范围限制Ｏ≤ｒ＜＋∞，０≤口≤２仃，主要是为了让变换ｒ满足文献…定理２１．１３，但参数ｒ和０的范围限制，易让学生误以为该两参数的范围类似于柱面坐标或球面坐标中对各参数的范围的限制，０的范围只能是［０，２ｉｒ］之间的一个区间［ａ，卢］，即［ｔｉｔ，卢］∈［０，２Ｉｒ］，故做题繁琐且易错．

２矛盾所在

我们有许多二重积分题型，要求用极坐标形式的二重积分计算，故积分区域要求在极坐标系下表示，在确定参数（ｒ，口）的范围时会出现以下两种结果．如例１．

一例１把积分ｆｆｆ（石，），）打化成极坐标形式的二次积ＤＬ

分，其中积分区域Ｄ为｛（ｚ，ｙ）Ｉｘ２＋ｙ２≤２石｝．

解：我们先分析积分区域Ｄ＝｛（菇，，，）Ｉ菇２＋广≤２髫｝，如

右，图１阴影为积分区域Ｄ在直角坐标系下的图形，图２中

阴影为积分区域Ｄ在极坐标系下的图形．∥、弋∥圈１。７圈２

结果Ａ：学生考虑到０的范围只能是【０，２仃Ｊ之同的一个区ｌ司【Ｏｔ，卢Ｊ以及积分区同田加性，将积分区域Ｄ＝｛（ｚ，，，）Ｉｘ２＋ｙ２≤缸｝分成两部分得出其极坐标参数形式Ｄ＝Ｄｌ＋Ｄ２＝｛（ｒ，Ｏ）１０≤ｒ≤２ｃ∞口，０≤ｐ≤钉伲｝＋｛（ｒ，０）１０≤ｒ≤２ｃｏｓ口，３仃／２≤口≤２仃｝，所以有

抄钳）如＝上以ｄ咀～ｒｃｏｓ０，ｒｓｉｎ帅＋￡上～，ｃｏｓＯ，ｒｓｉｎ帅

结果Ｂ：（１）

肛∽打＝Ｅ瑚上％一帅ｉｎＯ）ｒｄｒ

・收藕日期：２００８・１０－２６

作者简介：任丽平（１９７９一），女，汉族，山西临县人，陕西教育学院数理工程系讲师．（２）

９

学生认为０的变化范围只能用［ａ，芦］∈［０，２ｆｒ］来表示，不应该出现负角范围，即认为结果Ｂ不正确，且负角范围应用逆时针方向的正角范围代替．教科书¨二Ｊ３对参数（ｒ，０）的范围均未做进一步详细说明．３矛盾的解决

诸如上述例题很多，这里不再一一列举．结果Ｂ是题后提供的参考答案［３］，结果Ａ是多数学生的解题结果．出现结果Ａ的原因是学生对极坐标系下参数（ｒ，０）的范围的不正确认识．极坐标系由极点和极轴构成，其用一有序实数对（ｒ，０）刻画平面中点的位置．ｒ表示平面点Ｐ距极点０的距离，０表示极轴与ＯＰ的夹角．设Ｐ不在极轴上，若极轴逆时针到ＯＰ，则０＞０，若极轴顺时针到ＯＰ，则０＜０，因此极轴与ＯＰ的夹角０亦可用负角表示．下面我们证明结果Ａ和结果Ｂ是等价的．

定理１若以髫）为（一∞，＋∞）上以Ｐ为周期的连续函数，则对于任何实数ａ＜ｂ，恒有

Ｊ八石）如＝Ｊ以ｘ）ｄｘ＝Ｊ

证明根据定积分的性质

ｒｂ八髫）ｄｘ，Ｉ｜｝为正整数．令ｔ＝ｘ＋ｐｆｂ＋ｐ由于以ｔ－ｐ）＝以Ｉ）ｒ６＋Ｐ

２定积分与积ｒｂ＋ｐｒ¨如

ｏｄ＋幻上以石）如２上＋，八‘一ｐ）ｄ（‘一ｐ）０４ｏＯ＋口上＋，以‘）出。口＋口分矗无关性Ｊｄ＋，以菇）如２Ｊｄ＋印以髫）也川工－儿万伍ｏａ＋Ｄ

多次利用定理ｌ我们可得以下结论：当被积函数厂（戈）为以２１ｒ为周期的连续函数，则八石）在范围［口，ｂ］上的积分值等于以髫）在［口＋２ｋｃｒ，ｂ＋２ｋｃｒ］上的积分值．这也可以用定积分的几何意义来理解以石）在区间［口，ｂ］和［口＋２腩，ｂ＋２ｋｗ］上的曲线相等，所以其所对应的曲边梯形的面积也相等．对二重积分而言，我们需证明函数Ｊ以ｒｃｏｓ０，ｒａｉｎ０）ｒｄｒ，是一个以２仃为周期的连续函数．

定理２对二重积分

●吒幺ｒｃｏｓ０，ｒａｉｎ０）ｒｄｒ＝几Ｃ款ｒｃｏｓ０，ｒａｉｎ０）ｒｄｒ】ｄ咿㈩＝ｅ款ｒｃｏｓＯ，ｒｓｉｎＯ）ｒｄｒ

是一个以２儡ｒ为周期的连续函数．

证明我们先分析Ｊ以ｒｃｏｓ０，ｒａｉｎ０）ｒｄｒ的下限ｒ。（０）和上限ｒ２（０），该两函数是由一个积分区域的连续边界Ｆｌ（算，，，）＝０和Ｆ２（茗，Ｙ）＝０经过极坐标变化石＝ｒｃｏｓＯ，Ｙ＝ｒａｉｎ０后得到的ｒ＝ｒｌ（０），ｒ＝ｒ２（０）．换言之，Ｆｌ（聋，Ｙ）＝ＯｊＦｌ（ｒｃｏｓＯ，ｒａｉｎ０）＝０钳＝ｒｌ（０），所以ｒ＝ｒｌ（０）是一个周期为２ｚ＂连续函数，同理ｒ＝ｒ２（０）也是一个周期为２Ｉｒ连续函数．另Ｆ（０）＝Ｉｏ八ｒｃｏｓ０，ｒａｉｎ０）ｒｄｒ，则有ｒｌ（，）

Ｆ（０＋２儡ｒ）＝Ｉ

所以函数Ｆ（０）＝Ｉ

Ｊ以ｒｃ０８（０＋２１ｒ），ｒａｉｎ（０＋２仃）］ｒｄｒ＝Ｊ八ｒｃｏｓ０，ｒａｉｎ０）ｒｄｒ是一个周期为２儡ｒ函数．ｒｌ（日）以ｒｃｏｓ０，ｒａｉｎ０）ｒｄｒ＝Ｆ（０）

又由ｒ＝ｒ。（０），ｒ＝ｒ２（０）以及被积函数以石，Ｙ）＝以ｒｃｏａＯ，ｒｓｉｎＯ）（保证二重积分可积）的连续性，可推得

ａ＋）２ｒｉｌｒａｏ）０，ｒａｉｎ０），ｒｓ（口＋△ｐ）ｒｄｒ）Ｏ１．。ｉｍ。Ｆ（Ｏ＋ＡＯ）：！ｉ翌２（Ｏ＋ＡＯ）ｒｃ。８（秒＋。删ｊ弧Ⅵ．，～，ｒｃ。８（秒＋，ｒｓｉｎ（口＋△ｐ）］ｒｄｒ：厂２佃么ｒｃ。ｓ０，ｒｓ２匕∥ｒｃ。ｓ：，（口）＝，（口’

所以函数Ｆ（０）＝Ｊ以ｒｃｏａＯ，ｒａｉｎ０）ｒｄｒ是一个周期为２仃的连续函数．

综上定理１、定理２’二重积分●《ｋｒｃｏｓＯ，ｒａｉｎ０）ｒｄｒ＝ｆ２。蛙款ｒｃｏｓ０，ｒｓｉｎＯ．ｔｏＪｏｏｎ（口）‘Ｊｒ．ｆ口ｆ）ｒｄｒ】枷简化成ｏ

Ｊ

．ｔＯＦ（ｏ）ｄｏ，其中Ｆ（０）＝Ｉ‘以ｒｃｏｓ０，ｒａｉｎ０）ｒｄｒ是一个周期为２仃的连续函数．所以由定理ｌ知：ｏｒｌ（口）

刍。Ｊ职聋，），）ｄ矿＝Ｉ八ｒｃｏｓＯ，ｒａｉｎＯ）ｒｄｒ＋ｌ邮。３“／２ｄＯＩ邮八ｒｃｏｓＯ，ｒｓｉｎＯ）ｒｄｒ＝（１）

几上、ｒｃｏｓ０，ｒａｉｎ０）胁】¨上＝【上、ｒｃｏｓ０，ｒａｉｎ０）陆冲＝

上们【上、ｒｃｏｓＯ，ｒｓｉｎＯ）ｒｄｒ】ｄ口＋己【上、ｒｃｏｓ０，ｒａｉｎ０）ｒｄｒ】ｄ口＝１０

ｆＩｆ以ｒｃｏｓＯ，ｒｓｉｎＯ）ｒｄｒＩ的（积分性质）。（２）

ｏｏ—ｓｔ／２。－ｔｏ

我们选取例１中被积函数以名，ｙ）＝名２＋广，可以验证利用（１）、（２）式所得结果都是÷仉‘

综上所述，我们在“用极坐标计算二重积分”教学中，首先要给学生补充极坐标的相关知识，告诉学生极轴与ＯＰ的夹角０可用正角或负角表示．其次说明文…对参数ｒ和０进行了范围限制是为了让变换ｒ满足定理２１．１３‘ｐ２３”的条件，并非规定夹角０只能有正角范围，纠正学生认为０的变化范围只能用［ａ，卢］∈［Ｏ，２仃］的错误观点．最后强调证明（１）与（２）这两种做法都正确，但应推荐结果Ｂ，因为其简练，能节省计算量．参考文献：

［１］华东师范大学数学系．数学分析（第３版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．

［２］刘玉莲．数学分析讲义［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．

［３］同济大学应用数学系．高等数学（第５版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．

ＴｅａｃｈｉｎｇＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＣａｌｃｕｌａｔｉｎｇＤｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｓｂｙＵｓｉｎｇＰｏｌａｒＣｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ

ｌＩＥＮＵ—ｐｉｎｇ

（ＴｈｅＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｓ，ＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａａｎｚｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｘｉ＇ａｎ７１００６１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｉｎｃｏｒｒｅｃｔｍｅｔｈｏｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｓｂｙｕｓｉｎｇｐｏｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ＡｎｅｗｗａｙｔｏａｖｏｉｄｔｈｅａｂｏｖｅｉｎｃｏｒｒｅｃｔｍｅｔｈｏｄｉｓｇｉＶｅｎ，ｂｙｍｅａｎｓｏｆｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｕｎｄｅｒｔｈｅｐｏｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｓｙｓｔｅｍａｎｄｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｏｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ；Ｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｓ；Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ

（上接弟５页）

［３］ＮａｎｄｙＡ．ＡｎｅｗｇｒａｐｈｉｃａｌｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎａｎｄａｎａｌｙｓｉｓｏｆＤＮＡ的籼ｓｔｒｕｃｔｕｒｅＩ［Ｊ］．ＭｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙａｎｄａｐｐｆｉｃａｆｉｏｎｔＯｇｌｏｂｉｎｇｅｎｅｓ．Ｃｕｒｔｓｃｉ，１９９４。（６６）：３０９．

ＩＩ：ＲｅｌａｔｉｖｅａｂｕｎｄａｎｃｅｓｏｆｎｕｃｌｅｏｔｉｄｅｓｉｎＤＮＡｓ．ｇｏｎｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎ［４］Ｎａｎｄｙ

ａｎｄＡ，ｅｔａ１．ＧｒａｐｈｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆＤＮＡ８ｅｑｕｅＤｃｅｓｂｍｃｔｕｒｅｄｕｐｆｉｃａｆｉｏｎ［Ｊ］．ＣｕｒｔＳｃｉ，１９９５，（６Ｓ）：７５．

Ａ．Ｇｒａｐｈｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆ［５］ＮａｎｄｙＤＮＡ喇；［ｕｅｎｃｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｍ．Ｉｄｉａｅａｔｉｏｎｓｏｆｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙｄｉｓｔｉｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｉｎｔｍｓａｎｄ咖ｍ［Ｊ］．ＣｕｒｔＳｅｉ，１９９６，（７０）：６１１．

［６］ＬｅｏｎｇＰＭ。ｅｔａ１．ＲｓｎｄｏｎｗａｌｋａｎｄｇａｐｐｌｏｔｓｏｆＤＮＡＢｅｑＩＩｅ眦髓［Ｊ］．ＣｏｍｐｕｔＡｐｐｌｉｅＢｉｏｓｅｉ，１９９５，（１１）：５０３．

［７］刘西奎，李艳，许进．ＤＮＡ序列二维图表示和有关分析［Ｊ］．自然科学进展，２００４，１４（９）：１０３２．

［８］王世英，李湘露．ＤＮＡ序列的一类非退化的２－Ｄ图表示［Ｊ］．中原工学院，２００２，１３（１）：４．

２－ＤＧｒａｐｈｉｃａｌＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｏｆＤＮＡ

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｌｏｆ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｇｉｖｅｓＭａ＆ｅｍ优ｉｃｓ，Ｌｖｌｉａｎｇ跏Ｃｏｌｌｅｇｅ，ＬｉｓｈｉＬＥＩＹｏｎｇ，ＷＡＮＧＺｈｅｎ—ｇｕｏ０３３０００，Ｃｈｉｎａ）ａｎｅｗ２－ＤｇｒａｐｈｉｃａｌｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｏｆＤＮＡｐｒｏｖｉｎｇｔｈａｔｔｈｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｉｓｎｏｔｄｅｇｅｎ－ｅｍｔｅｄ，ａｎｄｐｒｏｖｉｄｉｎｇａｎｅｗｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｆｒｅｓｅｍｂｌａｎｃｅ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＤＮＡｓｅｑｕｅｎｃｅｓ；ｇｒａｐｈｉｃａｌｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ；ｎｏｄｅｇｅｎｅｒａｃｙｌｌ

用极坐标计算二重积分教学初探

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被引用次数：任丽平， REN Li-ping陕西教育学院,数理工程系,陕西,西安,710061吕梁高等专科学校学报JOURNAL OF LULIANG HIGHER COLLEGE2009，25(1)0次

参考文献(3条)

1. 华东师范大学数学系 数学分析 2001

2. 刘玉莲 数学分析讲义 2001

3. 同济大学应用数学系 高等数学 2004

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