求曲线轨迹方程专题
轨 迹 方 程 问 题
常见的有六种求轨迹方程的方法：
①待定系数法：由几何量确定轨迹方程； ②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；
③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程； ④“代入法”求轨迹方程；
⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程． ⑤“交轨法”求轨迹方程；
1．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P 的坐标为P(x，y) ；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围．
例1．设m ∈R , 在平面直角坐标系中, 已知向量a =(mx , y +1) , 向量b =(x , y -1) , a ⊥b ，
动点M (x , y ) 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程, 并说明该方程所表示曲线的形状；
22
解：因为a ⊥b , a =(mx , y +1) , b =(x , y -1) ，所以a ·b ＝mx +y -1=0，
即 mx +y =1．
当m ＝0时，方程表示两条直线：y =±1； 当m =1时，方程表示的是圆：x +y =1； 当m ＞0且m ≠1时，方程表示的是椭圆； 当m ＜0时, 方程表示的是双曲线．
2．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程
例2．如图, 圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点）
，使得PM =试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.
解：如图，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O 1(-2,0), O 2(2,0)．设P (x , ，则，同理y
2
2
2
2
PN 2=(x -2) 2+y 2-1．PM 2=O 1P 2-O 1M 2=(x +2) 2+y 2-1
∵PM =，
∴(x +2) 2+y 2-1=2[(x -2) 2+y 2-1]， 即x 2-12x +y 2+3=0，即(x -6) 2+y 2=33． 这就是动点P 的轨迹方程． 注：动圆圆心轨迹问题
M
N
①动圆与两外离定圆均外切(含相交) ；②动圆过定点且定圆外切；③动圆过定点且定直线相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且定圆相切． 3．参数法求轨迹方程：
例3．动圆P 过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O 是坐标原点，动圆P 的圆心轨迹是曲线C. （1）求曲线C 的方程；
（2）过A 作直线l 交曲线C 于D , E 两点，求弦DE 的中点M 的轨迹方程；
（3）在（2）中求∆ODE 的重心G 的轨迹方程。 解：(1)点P 到点A 的距离等于点P 到直线y= -1的距离，故点P 的轨迹C 是以点A 为焦点，
2
直线y=-1为准线的抛物线，所以曲线C 的方程 x=4y.
(2)设M(x,y),D(x1,y 1),E(x2,y 2), 依题意知过A 的直线的斜率存在，设该直线l 的方程为：y=kx+1,
1
与x 2=4y 联立，消x 整理得：x 2-4kx -4=0, 则x 1+x 2=4k , 则x =(x 1+x 2) =2k , y =kx+1=2k2+1,
2
⎧x =2k x 212
即⎨，消去k 得：y =2⋅() +1, 即y =x +1为所求的方程. 2
22⎩y =2k +1
2
另解：（2） A (0,1)，设D (x 1, y 1) ，E (x 2, y 2) ，M (x , y ) ，则由x 12=4y 1，x 2=4y 2，两式
相减得k l =
12y 2-y 1x 2+x 1x x y -1y -1
，∴=，即y =x +1. ==，又k l =k AM =
x 2-x 142x 2x 2
2
（3）设G （x,y ）, 由（2）得x 1+x 2=4k , y 1+y 2=k (x 1+x 2) +2=4k +2，
4k 0+x 1+x 2⎧⎧x =x =⎪⎪322⎪⎪33
⎨, ∴⎨，消去k 得：y =x +为所求方程。 2
0+y +y 434k 212⎪y =⎪y =+⎪⎪3⎩33⎩
4．“代入法”求轨迹方程：设点M 是已知曲线F （x ，y ）＝0上的动点，点P 因点M 的运动而运动（即点P 是点M 的相关点），求点P 的轨迹方程． ①设点M 的坐标为M （x 0，y 0），则F （x 0，y 0）＝0； ②设点P 的坐标为P （x ，y ）；
③因为“点P 随点M 的运动而运动”，可以求得：x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）； ④把x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）代入F （x 0，y 0）＝0，即得所求点P 的轨迹方程．
x 2y 2
-=1（b 为正常数）上任一点, F 2为双曲线的右焦例4. 已知点P 1(x 0, y 0) 为双曲线
8b 2b 2
点, 过P 1作右准线的垂线, 垂足为A , 连接F 2A 并延长交y 轴于P 2. 求线段P 1P 2的中点P 的轨迹E 的方程. 解： (1) 由已知得F , 则直线（，0），（A b ，y 0）23b
8
3
F 2A 的方程为:y =-
3y 0
(x -
3b ) ,
b
令x =0得y =9y 0, 即P 2(0,9y 0) , 设P , 则 （x ，y ）
x 0⎧
x = ⎧x 0=2x ⎪x 02y 024x 2y 2⎪⎪2 ⎨, 即⎨代入2-2=1得:2-=1, y 2
y +9y 8b b 8b 25b y 0=0⎪⎪y =0=5y 05 ，⎩⎪⎩2
x 2y 2
即P 的轨迹E 的方程为2-=1
2b 25b 2
5．“交轨法”求轨迹方程：设动曲线F(x,y）＝0和动曲线G(x，y) ＝0相交于点P ，求点P 的轨迹方程．从理论上，其求解程序为：
⎧F (x , y ) =0
①设动点P 的坐标为：(x P , y P ) ；②解方程组⎨，求交点即得到．
G (x , y ) =0⎩
其中一般会含有参数，有一个消除参数的难点．
x 2y 23
例5．已知椭圆2＋2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为．以原点为圆心，以椭圆短半
3a b
轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．
（1）求a 与b 的值；
（2）设该椭圆的左，右焦点分别为F 1和F 2，直线L 1过F 2且与x 轴垂直，动直线L 2与y 轴垂直，L 2交L 1于点P. 求线段PF 1的垂直平分线与直线L 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型.
b 222
解：（1）e ＝又圆心（0，0）到直线y ＝x ＋2的距离d ＝半径b ＝，⇒2＝．
2233a +1
∴b ＝2，a ＝3 ．
（2）F 1（－1，0）、F 2（1，0），由题意可设P （1，t ）（t ≠0）. 那么线段PF 1的中点
2
2
t
）．L 2的方程为：y ＝t ，设M(x M , y M ) 是所求轨迹上的任意点. 2
t 2
直线PF 1的斜率k ＝，∴线段PF 1的中垂线MN 的斜率＝－．
2t
t 2
所以：直线MN 的方程为：y －＝－x ．
2t
为N （0，
⎧⎧y =t t 2
⎪⎪x M =-由⎨4，
2t ⇒⎨
y =-x +⎪⎪y =t t 2⎩⎩M
消去参数t 得：y M =-4x M ，即：
2
y 2=-4x ，其轨迹为抛物线（除原点）．
又解：由于＝（－x ，
t t
－y ），PF 1＝（－x ，－y ）．∵·PF 1＝0， 22
t t ⎧
(-x , ) ·(-x -y ) =0⎪2∴⎨，消参数t 得：y =-4x （x ≠0），其轨迹为抛物线（除原点）． 22⎪⎩y =t
注：本题的第一问是由几何量确定轨迹方程；第二问是“交轨法”求轨迹方程． 例6．已知曲线C 1|x ||y |
曲线C
1+=1(a >b >
0) 所围成的封闭图形的面积为a b
的内切圆半径为
，记C 2为以曲线C 1与坐标轴3
的交点为顶点的椭圆． (1)求椭圆C 2的标准方程；
(2)设AB 是过椭圆C 2中心的任意弦，L 是线段
AB 的垂直平分线，M 是L 上异于椭圆中心的
点．若|MO |＝λ|OA |(O 为坐标原点) ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程．
⎧2ab =x 2y 2⎪22
解：(1)
由题意得⎨⇒a =5，b =4⇒椭圆方程：5+4＝1．
=(2)若AB 所在的斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx(k≠0) ，A(x A ，y A ) ．
⎧x 2y 2
=12020k 220(1+k 2) ⎪+22222
，y A =由⎨5． ⇒x A =⇒|OA |=x A +y A =4222
4+5k 4+5k 4+5k ⎪⎩y =kx ,
⇒x 2+y 2=λ220(1+k ) ．
设M(x，y) ，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0) ⇒|MO|＝λ|OA|
4+5k 2
2
2
2
2
因为L 是AB 的垂直平分线，所以直线L 的方程为y ＝-
x 1
x ⇒k ＝-，代入上式有：
y k
x 2
20(1+2) 22
y 222220(x +y ) 22222
5x +4y =20λx +y =λ=λx +y ≠0，由，
⇒222
x 4y +5x 4+5⨯2
y
x 2y 2
当k ＝0或不存时，上式仍然成立. ，综上所述，M 的轨迹方程为（λ≠0）． +=λ2，
45
例7．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于
x 轴的直线上的点，
OP OM
=λ，求点M 的轨迹方程，
并说明轨迹是什么曲线．
解：（1）设椭圆长半轴长及分别为a ，c ．由已知得⎨
⎧a -c =1
⇒a ＝4，c ＝3.
⎩a +c =7
x 2y 2
=1． ⇒椭圆C 的方程为+
167
（2）设M (x , y ) ，其中x ∈[-4,4]。由已知
OP OM
22
=λ2及点P 在椭圆C 上可得
9x 2+11222222
(16λ-9) x +16λy =112，其中x ∈[-4,4]。 =λ, 整理得22
16(x +y )
（i ）λ=
32
-4≤x ≤4) ，时。化简得9y =112, 所以点M
的轨迹方程为y =±34
轨迹是两条平行于x 轴的线段。
3
（ii ）λ≠时，方程变形为
4
x 2y 2
+=1，其中x ∈[-4,4], 112112
16λ2-916λ2
当0
3
3
点M 轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足-4≤x ≤4的部分．
4
2
2
例8．已知双曲线x -y =2的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的动直线与双曲线相
交于A ，B 两点．若动点M 满足F 1M =F 1A +F 1B +FO ，求点M 的1（其中O 为坐标原点）
轨迹方程．
F 1M =(x +2，y ) ，F 1A =(x 1+2，y 1) ，F 1B =(x 2+2，y 2) ，FO =(2，0) ， 1
⎧x +2=x 1+x 2+6⎧x 1+x 2=x -4由F 1M =F 1A +F 1B +FO ⇒⇒⎨⎨1
y =y +y y +y =y ⎩12⎩12
⎛x -4y ⎫
⎪． ⇒AB 的中点坐标为
⎝22⎭
当AB 不与x 轴垂直时，
y -0
y 1-y 2y
， ==
x 1-x 2
-2x -82
y
即y 1-y 2=(x 1-x 2) ．
x -8
又因为A ，B 两点在双曲线上，所以
22
x 12-y 12=2，x 2-y 2=2，两式相减得
0) ，F 2(2，0) ，设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ．设M (x ，y ) ，则 解：由条件知F 1(-2，
(x 1-x 2)(x 1+x 2) =(y 1-y 2)(y 1+y 2) ，即
(x 1-x 2)(x -4) =(y 1-y 2) y ．
y
将y 1-y 2=(x 1-x 2) 代入上式，化简得(x -6) 2-y 2=4．
x -8
0) ，也满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，x 1=x 2=2，求得M (8，
所以点M 的轨迹方程是(x -6) -y =4． 练习：
1. 分别过A 1(-1,0), A 2(1,0)作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是_______. 2. 已知点F 为抛物线y 2=2x 的焦点，P 在抛物线上运动，则线段PF 的中点轨迹方程是 .
3. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是 （ ）
是( ).
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线
2
2
4. 设A ，B
分别是直线y =
和y =
x 上的两个动点，并且|AB |=P 满
足OP =OA +OB ．记动点P 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程.
5. 已知椭圆C
1的中心在坐标原点，一个焦点为，过点F 且垂直长轴的弦长为1， (1) 求椭圆C 1的方程;
(2) 过椭圆C 1上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量
OQ =OM +ON ，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.