集合语言和集合思想的运用
集合语言和集合思想的运用
刘 忠（江西省永丰中学 331500）
（本文发表于《课程导报》2006年8月28日）
集合是高中数学中最基础、最重要的概念之一，集合思想无不渗透到数学的每一个“角落”. 在高考中，有关集合的题每年必考，有关集合思想运用的题常考常新。因此，我们要从掌握集合语言入手，从本质上掌握集合思想在解题中的应用，以提高解题能力, 从而达到以不变应万变的目的.
一、集合语言
1、数学概念的集合语言
中学数学中许多概念和知识用集合的语言来叙述就显得简单明了，如实数与正方形就分别是用集合的并、交运算来定义的. 即，实数集R=｛有理数｝∪｛无理数｝；｛正方形｝=｛菱形｝∩｛矩形｝等. 再如，几何图形就有以下两种集合语言形式. 一是把几何图形看作是空间具有某种性质的点的集合（如平面上线段AB 的垂直平分线就是点集｛P| |AP|=|BP|｝）. 二是在平面上建立了直角坐标系以后，用图形上点的坐标所满足的方程（方程组）或不等式（不等式组）等特征构成的点集来表示. 如
x 2y 2
双曲线为点集｛（x ，y ）| 2-2=1｝等. 但有一点要注意，在立体几何中，虽然空间图形可以看a b
成是点的集合，但有的地方的表示却另有规定. 如点A 在平面a 内，记为A ∈a ；直线a 在平面α内，记为a ⊂α. 但直线a 与b 相交于点A ，却记为a ∩b=A（本应记为a ∩b=｛A ｝）.
2、集合语言的运用
用集合语言来解释或描述许很多数学内容，可以简洁明快地揭示数学本质.
例1 集合A ＝｛y|y=x2, x ∈R ｝与集合B=｛(x,y) |y=x2, x ∈R ｝是否相同？
分析 用描述法表示的集合｛p ｜f(p)｝中，p 为元素的一般形式（代表元素），f(p)为元素所满足的条件. 在解题时要特别注意对元素的一般形式f （p ）的理解.
解 集合A 中的元素为函数y=x2的函数值，故A 为函数的值域；而B 中的元素为满足y=x2的有序实数对(x,y)，从“形”的角度讲B 是抛物线. 所以A 、B 是不同
的.
变式 集合A ＝｛y|y=x2, x ∈R ｝与集合B=｛x|y=x2, x ∈R ｝是
否相同？
例2 已知集合A ＝｛（x,y ）|x2+y2=4｝,B=｛（x,y ）|x2+y2=1｝，
则A 、B 的关系为（ ）.
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