利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组
第21卷 第4期 延 边 大 学 农 学 学 报21No.4
Vol.
1999年12月 JournalofAgriculturalScienceYanbianUniversity Dec.1999
利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组
文香丹1,高萍2
(1.延边大学农学院基础部,吉林龙井133400;2.梅河口市三中,梅河口135000)
摘要:利用矩阵的初等列变换解一般线性方程组,这种方法在许多情况下应用起来比较方便.关键词:矩阵;初等列变换;线性方程组
中图分类号:O241.7 文献标识码:A 文章编号:100427999(1999)0420298204
设给出了一个一般非齐次线性方程组
a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1a21x1+a22x2+……+a2nxn=b2
axa+amnm
(:
An1=BEn+1
若R(A)=r,则矩阵C经过列的初等变换,矩阵C等价于如下形式的分块矩阵:
(1)
(2)
命题:设矩阵C=
DmrO1O2……On-r Fm1
G=
3nra1a2 ……an-r Hn1
(3)
O1rOO O -1
其中En+1为n+1阶单位矩阵,Oi(i=1,2……n-r)均为零向量,ai(i=1,2,……n-r)为n维
向量,并且存在n+1阶可逆矩阵P(n+1),使得以下两式成立:
(AmnBn1)Pn+1=(DmrO1O2……On-rFm1
(En+1)Pn+1=
3nra1a2……an-rHn1
(4)
(5)
O1rOO……O -1
事实上,由于对矩阵C做一次初等列变换,相当于对矩阵(AmnBm1)及E(n+1)右乘同一个
初等方阵,经过有限次的对矩阵C做列的初等变换,相当于对矩阵C右乘一系列初等方阵,
矩
(4)、(5)式成立是必然的,由命题易推出:阵P(n+1)就是这些初等方阵的乘积,所以(3)、
推论一:线性方程组(1)有解的充要条件是(3)式中的Fm1为零矩阵.
事实上,这和非齐次线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,
即R(A)=R(A:b)是一致的.
收稿日期:1999-09-28
作者简介:文香丹(1965-),女(朝鲜族),吉林省延吉市人,延边大学农学院基础部数学教研室讲师.
第4期文香丹,等:利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组
299
推论二:若(1)有解,则(3)式中的Hn1就是(1)的一个特解,而a1,a2,……an-r就是(1)对应的齐次线性方程组的一个基础解系.
事实上,将(5)式代入(4)式得:
3nra1a2……an-r Hn1
(AmnBm1)=
O1rOO……O -1
(6) =(DmrO1O2……On-rOm1)
(6)式两端对照得:Amna1+Bm1 O=Oi(i=1,2……n-r)
(7)这样便得到Amnai=Oi,i=1,2……n-r
由(7)式可以看出a1a2……an-r均为(1)对应的齐次线性方程组的解向量,由(5)式又知a1a2……an-r是线性无关,所以a1a2……an-r是(1)对应的齐次线性方程组的一个基础解系.
Hn1
(8)由(6)式又得:(AmnBm1)=Om1
-(9)由(8)式进一步得:AmnHn-1-Bm1=Om1,即AmnHn1=Bm1
所以Hn1为(1)的一个特解.从而线性方程组(1)的通解为:K1a1+K2a2+……+Kn-ran-r+Hn1(Ki为任意给定的常数,i=1,2,……,n-r).
:
AmnBm1
第一步:设出矩阵C=
1
第二步:(,并且判断是否有解,若Fm1为零矩阵时,(1)有解,则(3)式中的a1a2……an-r就是(1)对应的齐次线性方程组的一个基础解系,Hn1就是(1)的一个特解,则(1)的通解为:K1a1+K2a2+……+Kn-ran-r+Hn1,其中Ki(i=1,2,……,n-r)为任意常数.
X1+X2-3X3=-1
例1:解线性方程组2X1+X2-2X3=1
X1+2X2-7X3=1
解:第一步:设矩阵
11-3-121-21 C=1000
[1**********]1
第二步:对矩阵做列初等变换
102-1
C2+(-1)C1 C
1-1
C3+3C1
01C4+C1
0000
430100300(-1)C2C3+4C2C4+3C2
300
121
01-11-100
000-1410
延 边 大 学 农 学 学 报第21卷
005-2301
(-1)C4
1211000
01-11-100
000-3410
00-52-30-
1
00
此矩阵已是(3)的形式,但矩阵
00
F31=00
-所以,此方程组无解.
例2:求解方程组
x1-x2-x3+x4=0x1-x2+x3-3x4=1x1-x2-2x3+3x4=-1/2
解:第一步,设矩阵
1110000
-101000
1-200100
300010
0-1/0000102-110100
0-42-10010
01-1/00001
1/2C3C2∴C3C4+2C3C5+(1/2)C3
c=
第二步:对矩阵做初等列变换
101010
C2+C111
C
C3+C101C4-C1
000000
第4期文香丹,等:利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组
301
000
11110000
01-1/21/201/200
0001100
0001021
000-1/20-1/20
(-1)C5
1111000
01-1/21/201/20
0001100
0001021
1/201/20
0010000-此矩阵已是(3)的形式,因为F41为零矩阵,所以根据推论二,非齐次线性方程组有解.
第三步:非齐次线性方程组的一个特解
1/2β=H41
=
01/20
:
111ηη 1=α1=2=:
X1
1/2
=
1
+K1
1
+K2
X2X3X4
01/20
1002(K1,K2为任意实数)
参考文献:
[1] 同济大学数学教研室.线性代数[M].北京:高等教育出版社,1987.[2] 武汉大学数学系数学专业.线性代数[M].北京:人民教育出版社,1982.
Tosolvelinearequationusingmatrixelementarycolumuvary
WENXing2dan1,GAOPing2
(1.AgriculturalCollegeofYanbianUniversity,JilinLongjing133400,China;
2.JuniorMiddleSchoolofMeiheko,Meiheko135000,China)
Abstract:Tosolvelinearequationusingmatrixelementarycolumnvary,thismethodisverycon2venientunderdifferentcircumstances.
Keywords:matrix;elementarycolumnvary;linearequation