借勾股逆定理找直角三角形解题
借勾股逆定理找直角三角形解题
湖北省黄石市下陆中学 周国强
某些问题如果借助勾股定理的逆定理（简称勾股逆定理）来解方便简捷
一、求周长
例1 如图⑴，△ABC 中，AB = 5，AC = 13，BC 边上的中线AD=6，求△ABC 的周长．
解析：显然必须先求出BC 的长，但因△ABC 不是直角三角形而无法求出BC 的长，为把中线AD 与△ABC 的边AB 、AC 进行有效的沟通，需将已知线段AB 、AC 、AD 转移到同一三角形的边上，运用勾股逆定理寻找直角三角形来解决．延长中线AD 一倍至E ，连CE ，知△CDE ≌△BDA （SAS ），从而CE=AB=5．这样，就把已知线段AB 、AC 、AD 全部集中在△ACE 中了，因为CE +AE=5+12=13=AC，所以△ACE 是直角三角形且∠E 为直角，然后在Rt △CDE 中易求得CD
的长为
18+2
二、求面积
例2 如图⑵ 是一块三角形空地，现从中征用一块三角形土地（△ACD ）用于建房，经测量AB=250m，BC=240m，AC=70m，CD=50m，且∠ADC=90．请你计算一下剩余空地的面积是多少（精确到1m ）． ． ，从而求得△ABC 的周长为
解析：因为AC +BC=70+240=62500=250=AB，所以△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90，因为△ABC 的面积为AC ×BC=70×240=8400（m ）；△ACD 的面积为
CD ×AD =
8400－500×50×≈7150（m ）． =25=500，所以剩余空地的面积为
三、求角度
例3 如图3，△ABC 中，∠ACB=90，AC=BC，P 是△ABC 内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC 的度数．
解析：注意到PA=6，PB=2，PC=4，因它们不是同一三角形的三边长，也不是一组勾股数，所以须以这些线段长为依据寻找新的直角三角形，运用勾股逆定理求出问题的答案．由于△ACB 是等腰直角三角形，将△CPB 绕点C 顺时针旋转90至△CQA ，则△CQA ≌△CPB （SSS ），且△PCQ 也是等腰直角三形．连PQ ，因CQ=CP=4，∠QCP=90，知PQ= 4
这样，在△APQ 中，因为AQ +PQ=2+（4；）= 36 = PA，所以△APQ 是直角三角形且∠AQP=90，所以∠BPC=∠AQC=∠AQP+CQP=90+45=135．
四、判形状
例4 如图4，已知，∠ABE=30，∠A=∠EBC=60，设AB 长为m ，BC 长为n,CD 长为p ，且m 、n 、p 满足关系式|m－
4| +(n－2边形BCDE 是何种特殊四边形？为什么？ ) += 0，若DE=3，试问：四
解析：因为|m－
4| +(n－2) += 0 ，所以m=4，n=2，P=，即AB=4，BC=2，CD=，由∠ABE=30，∠A=∠EBC =60，知BE ⊥AD ，所以AE=AB=2，从而BE= BC =2
形），所以CE=2，所以△BCE 是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角，在△CDE 中，因为CD +DE=（）+3=12 =（2）= EC，所以∠CDE=90，从而CD ∥BE ，又DE 不平行于BC ，故四边形BCDE 是直角梯形．