圆锥曲线第二定义学案
圆锥曲线第二定义练习学案
1.过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),若x1x26,求|AB|的长。
x2y2
2. 设椭圆22=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于x轴的弦的ab
长度等于F1到准线l1的距离,求椭圆的离心率。
y2
1的右支上一点P,到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2:1,求3. 双曲线x3
点P的坐标。 2
4.点P在椭圆
标为_______
5. 抛物线上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为
6. 椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使 之值最小,则点M的坐标为_______
x2y2
7. 已知椭圆221(ab0),F1、F2分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠ab
F1PF2=90°,求椭圆的离心率e的取值范围。
x2y2
1的右焦点,点M为椭圆上一动点,求8. 已知点A(2),设点F为椭圆1612
|MA|2|MF|的最小值,并求此时点M的坐标。
9.椭圆x/25+y/9=1上有一点P,如果它到左准线的距离为5/2,那么P到右焦点的距离是 。
222210. F2是椭圆x/a+y/b=1(a>b>0)的右焦点,P(x0,y0)是椭圆上任一点,则|PF2|的值为:
A. ex0-a B. a-ex0 C. ex0-a D.e-ax0
11.过抛物线y=4x的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点,若线段的中点的横坐标为3,则|AB|= 。
222212. 已知椭圆方程为x/b+y/a=1(a>b>0),求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它
们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标。
13. 已知椭圆x/4+y/3=1内有一点P(1,-1),F为右焦点,椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|值最小,求点M的坐标 22222
14. 已知双曲线x/25-y/144=1的左右焦点分别为F1和F2,能否在双曲线的左支上找到一点P,使|PF1|是P到左准线的距离d与|PF2|的等比中项?若能,求出P的坐标,若不能,说明理由。
1.解:设AB的中点为E,点A、E、B在抛物线准线l:x1上的射影分别为G、H、M。由第二定义知: 22
|AB||AF||BF||AG||BM|2|EH|2
。 x1x2(1)82
2. 解:如图,AB是过F1垂直于x轴的弦,|F1C|
为F1到准线l1的距离,AD⊥l1于D,则|AD|=|F1C|,由题意知|AF1|1|AB|。 2
由椭圆的第二定义知:
11|AB||AB||AF1|1e |AD||F1C||AB|2
3. 解:设点P(x0,y0)(x00),双曲线的左准线为l1:x
则点P到l1、l2的距离分别为d1x011,右准线为l2:x,2211,d2x0。 22
1
PF1d22,解得x3。 1所以,011PF2d22x02x0
将其代入原方程,得y03。 。因此,点P的坐标为,222
4.
a2aex0,7. 解:设点P(x0,y0),则由第二定义得|PF1|ex0c
a2|PF2|ex0aex0。
c
222因为PF1F2为直角三角形,所以|PF1||PF2||F1F2|。
即(aex0)2(aex0)2(2c)24c2 2解得x02c2a222,由椭圆方程中x的范围知。 0xa0e2
22c2a22e1。 0a,解得22e
8. 解:如图,过点A作右准线l的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M。
∵椭圆的离心率e1 2
∴由第二定义得2|MF||MN|
∴|AM|2|MF|的最小值为|AN|的长,且|AN|2810
∴|AM|2|MF|的最小值为10,此时点M的坐标为(2,)
9. [解]设P到左准线距离为|PM|
由椭圆第二定义|PF1|/|PM|=e
∴|PF1|=e|PM|=4/5×5/2=2
又∵|PF1|+|PF2|=2a=10
∴|PF2|=8
2210. [解]设点P(x0,y0)到椭圆右准线x=a/c的距离为|PN|,则|PN|=a/c-x0 根据椭圆第二定
义
|PF2|=e|PN|=e(a/c-x0)=a-ex0,故选B
11. [解]过A、B两点向准线引垂线AM、BN
设AB中点为C(3,y0),过C向准线引垂线CH,
则CH是直角梯形ABNM的中位线。
∴|AM|+|BN|=2|CH|
2 抛物线y=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1
所以有|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|CH|=2(3+1)=8
222212. [解]设所求双曲线为x/α-y/β=-1,
22222依题意c=a-b=α+β(c为半焦距),两个焦点为F1、F2, 2
则|PF1|是椭圆的焦半径,又是双曲线的焦半径。
设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P(x1,y1),则
|PF1|=e |PK|=e1 |PK1|
22 ∴|PF1|=c/a|a/c-y1|=c/β|y1-β/c|
∴a-cy1/a=cy1/β-β => y1=aβ/c
代入椭圆或双曲线方程得x1=bα/c,
于是以它们四个交点为顶点的四边形面积为:
2222 S=4(abαβ/c)≤2ab (α+β) /c=2ab
22 当且仅当α=β=c/ 2 = 2(a-b)/2时,Smax=2ab
2222 故所求双曲线方程为x-y= -(a-b)/2
由对称性,四个顶点的坐标分别为:( 2b/2, 2a/2),(- 2b/2, 2a/2),(- 2b/2, -2a/2), (2b/2,- 2a/2)
13. [分析]按常规思路,设M(x,y)求出右焦点F(1,0)
2222则|MP|+2|MF|= (x-1)+(y+1)+ 2 (x-1)+y
由此表达式求最小值是比较困难的,联想椭圆方程中隐含的特征量,发现式中的2即1/e,故2|MF|即为1/e|MF|
[解]由椭圆第二定义|MF|/|MN|= e
|MN|= |MF|/e
2当MN与PM共线,即过P作准线x=a/c的垂线
这条线与椭圆的交点就是所求的点M
此时M(2 6/3,-1)
214. [解]根据题意:|PF1|=d|PF2|,即|PF2|/|PF1|=|PF1|/d= e
∴|PF2|= e|PF1|
∵|PF2|-|PF1|=2a=10 c=13 e=13/5
∴13|PF1|/5-|PF1|=10 |PF1|=25/4 |PF2|=65/4
∴|PF1|+|PF2|=45/2 又|F1F2|=26
从而|PF1|+|PF2|
∴符合条件的点P不存在。