高三数学球教案1

球

4课时

●从容说课

本节在学生对圆的认识及掌握的基础上, 学习了球及球的性质, 理解并学会了求两点间的球面距离的方法, 利用“分割——求近似和——化为准确和”的思想方法推导出了球的体积公式和表面积公式, 从中体会到这种重要的数学思想在研究数学问题中的应用. 通过几个有关几何体的接切的简单问题, 启发学生归纳总结处理这类问题的方法和技巧; 通过几个与球有关的综合问题的分析, 使学生能够根据问题的特点, 真正体会其中的数学思想与方法, 进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.

学生学习的重点是球及球的性质、两点间的球面距离、球的体积公式及表面积公式的应用、几何体的接切问题和综合问题的分析与处理; 难点是对球上两点间的球面距离的定义的理解及其求法、“分割——求近似和——化为准确和”的思想方法的体会与领悟、与球有关的综合问题的方法和技巧. 教学中, 引导学生用联系的观点、类比的方法学习球的定义及性质、通过多媒体课件的动态演示帮助学生理解两点间的球面距离的本质, 指导学生体会在“分割——求近似和——化为准确和”的过程中所体现的这种重要的思想和方法, 将有利于学生进一步学习微积分知识和近代数学知识. 在对几何体相接切问题的分析与处理过程中, 启发学生归纳得出:一般情况下, 需要通过作一个适当的截面, 实现由立体几何问题转化为平面几何问题去解决. 通过与学生共同分析讨论几个综合问题, 逐步提高学生分析问题、解决问题的能力. ●课题

球（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1. 球的定义.

2. 球心、球的半径、球的直径的定义.

3. 球的性质.

4. 地球上某地点的经纬度.

5. 两点的球面距离.

（二）能力训练要求

1. 使学生具体直观地了解球的定义.

2. 使学生了解球的球心、球的半径、球的直径等定义.

3. 使学生熟练掌握球的性质.

4. 使学生掌握求两点的球面距离的方法.

（三）德育渗透目标

1. 体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点.

2. 培养学生用联系的观点、类比的思想分析解决问题.

3. 培养学生不断地认识世界、改造世界的探索精神.

●教学重点

1. 球的定义.

2. 球的性质.

●教学难点

球上两点的球面距离的求法.

●教学方法

指导学生自学法

在教学球的定义及其性质时，由于球是平面图形圆在空间的延伸，所以可以让学生通过回忆圆的定义与性质，结合三维空间的情况，在教师的指导下，用联系的观点、类比的思想归纳论证球的定义及性质.

在探讨两点的球面距离时，指导学生作以线段AB 为公共弦的若干个圆，观察这些圆中所对劣弧的长，发现较大圆中AB 弦所对的劣弧的长较小, 从而为更清楚地理解两点的球面距离的概念作准备.

●教具准备

多媒体课件三个.

第一个：作一半圆以它的直径为旋转轴，演示旋转成球面的过程，让学生可以直观形象地体会球的定义，接着作出课本P 65图9-89中的球心O ，球的半径OC ，球的直径AB . （让这些字母、线段闪动起来）（记作9.9.1 A)

第二个：在讲球的性质时，作课本P 65图9-90, 即用平面α去截球O ，得截面圆O ′, 此时学生可以直观地描述出球的性质，再进一步引导学生利用已知知识对这些球的性质一一推理论证. （随着学习的深入，师生共同利用课件的演示完成对这些性质的证明）（记作9.9.1 B)

第三个：用一个平面从过球面上的两点A 、B 的三个不同角度去切球，得到空间中的过

A 、B 两点的三个圆，然后把这三个圆以公共弦AB 为轴转到一个平面上，通过比较过A 、B 两点的劣弧的大小，发现圆越大，过A 、B 两点的劣弧长就越小，至此，将空间问题转化为平面问题. 即可得：过A 、B 两点的大圆在这两点间的劣弧最短. （记作9.9.1 C)

●教学过程

Ⅰ. 课题导入

［师］生活中我们常常见到许多形如球状的物体，例如：足球、乒乓球、滚球等，那么如何给球下定义？球具有哪些性质呢？今天，我们就来解决这些问题.

Ⅱ. 讲授新课

［师］初中，我们对圆进行了详细深入的学习，已掌握了圆的定义及其性质，那么，圆与球有什么联系呢？

（学生思考、体会，可能难于表达，教师应给予提示）

［生］球是平面图形圆在空间的延伸.

［师］请大家对初中圆的定义进行回忆.

［生］平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一端点随之旋转所形成的图形叫做圆.

［师］能结合三维空间的情况猜想出球的定义吗？

［生］半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球.

（教师演示课件9.9.1 A,指出球心O 、球半径OC 、球直径AB ，并板书球的定义） ［师］用集合的观点理解圆，又可表述为（拉长声音„）

［生］平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.

［师］好，请同学们判断：在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合，就是球. （大多数学生能找出以上命题的错误之处，但也有一部分同学对球概念掌握得不好，教师应及时强调球与球面的区别，讲清：球面仅仅指球的表面，而球即球体不仅包括球的表面同时还包括球面所包围的空间，因此应改为“球面是在空间到定点的距离等于定长的所有点的集合”）

［师］圆具有哪些性质呢？请同学们试归纳总结出来.

（学生思考、归纳、总结以下性质，若写不够，教师加以补充）

①同圆或等圆的半径相等，直径是半径的两倍.

②与弦垂直的直径过弦的中点.

③连结圆心和弦中点的直线垂直于弦.

④圆半径的平方=圆心到弦的距离平方+弦长一半的平方.

⑤不过圆心的弦小于直径，经过圆心的弦是直径，且直径是最大的弦.

（教师板书以上圆的性质）

［师］怎样将圆的这些性质与球联系起来呢？

（学生若有困难，教师适当点拨）

［生］对于任一球O 来说，用一平面α去截这个球O ，则截面是圆面，就可以将圆与球的性质联系起来了.

（教师演示课件9.9.1 B)

［师］结合圆的性质，请同学们互相讨论，用联系的观点、类比的思想归纳出球所具有的性质. （学生思考，可写出以下性质）

①′同球或等球的半径相等，直径是半径的两倍.

②′与截面垂直的直径过截面圆的圆心.

③′连结球心和截面圆心的直线垂直于截面.

④′球半径的平方=球心到截面圆的距离的平方+截面圆的半径的平方.

⑤′不过球心的截面截得的是球的小圆；经过球心的截面截得的是球的大圆，且大圆是最大的截面圆.

（教师板书以上球的性质）

［师］以上归纳球的性质的过程中，我们发现只要将圆性质中的“圆”改成“球”，将“弦”改成“截面”就可以将圆性质变为球性质了. 这些性质虽然很直观，但大家一定要从理论上能熟练地进行推理论证.

下面，就性质③′，即“连结球心和截面圆心的直线垂直于截面”进行论证.

（教师查看，学生观察课件9.9.1 B,进行思考）

［生］设截面圆O ′的半径为r , 作截面圆O ′的两条直径AB 、CD .

∵OA =OB ，AO ′=BO ′=r ,

∴OO ′⊥AB .

同理，得OO ′⊥CD .

∴OO ′⊥平面ABC .

对于性质④′，若设球半径为R ，球心到截面圆的距离为d , 截面圆的半径为r , 则有R 2=d 2+r 2, 即r =R 2 d 2.

当d =0时，截面过球心，此时截面面积最大，此圆叫球的大圆.

当0

［生］相切.

［师］好，对于性质④′常常是解决有关球问题的关键，希望同学们要牢牢掌握r 、R 及d 之间的这种关系.

现在，请大家观察课下预备的地球仪，可以得到：当我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆，赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆. 请同学们思考：如何理解地球上某一地点的经纬度？

（学生思考，教师作出示意图）

［生］某点的经度是指经过这点的经线与地轴确定的半平面与0°经线和地轴确定的半平面所成的二面角度数.

某点的纬度是指经过这点的球半径与赤道面所成角的度数.

［师］如图（1）中P 点的经度是∠AOB 的度数或

是∠POA 的度数或的度数.

的度数. 如图（2）中P 点的纬度

(1) (2)

下面，请同学们翻开课本P 66的例1，自己学习. （学生自学，教师查看、指导） ［师］刚才同学们自学了例1，解决这个问题的关键是准确找出北纬40°的那个角. 在日常生活中，常常见到的飞机总是尽可能以大圆弧为航线航行，这是为什么呢？ （学生思考、讨论，可能有以下回答，教师应加以引导）

［生甲］飞机在绕远道.

［生乙］飞机应该没有绕远道，因为这样浪费燃料.

［生丙］因受到气流的影响.

［师］试想飞机选择航线的主要标准是什么？

［生］行程（距离）尽可能短.

［师］那么怎样的航线距离最短或尽可能最短呢？这就是有关地球上两点间的最短距离问题.

（学生沉思„„，教师要不失时机地引导学生回忆有关的距离问题）

［师］以前我们提到的有关“距离”有哪些？

［生］两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线的距离、平行直线间的距离、平行于平面的直线与平面间的距离、平行平面间的距离.

［师］它们的共同特点是什么？

［生丁］都是一条线段的长.

［生戊］最小性.

［生己］唯一性.

［师］生丁、生戊、生己说得都很好，那么球面上两点间的距离是否与前面的距离相 同呢？

（学生经过思考会找出不同点，即球面上两点间的距离不是线段）

那么“绕远道”，即球面距离到底是怎么一回事呢？现在请同学们以线段AB 为弦作出若干圆，观察这些图中AB 弦所对的劣弧的长，会发现什么呢？

（学生动手做，教师巡视）

［生］较大的圆中AB 弦所对的劣弧的长较小.

［师］好，请继续观察以下这一课件，进一步体会两点间的球面距离的含义.

（演示课件9.9.1 C)

［生］从课件的演示中发现：在地球上过A 、B 两点的大圆在这两个点间的劣弧最短. ［师］至此，同学们可以猜想两点间的球面距离的本质了，请尝试叙述.

［生］在球面上，两点之间的最短距离是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度. 这条弧长叫做两点间的球面距离.

［师］清楚了两点间的球面距离，那么我们就可以去求地球上任两点间的球面距离了.

根据两点的球面距离概念可知：若设球面上两点之间的球心角为α弧度，球半径为R ，则球面上两点间的距离为|α|·R .

请同学们思考以下问题：

1. 请你在地球仪上任意地找出两个地点，再想办法求出它们之间的球面距离.

2. 由问题1，你能归纳出求两点球面距离的关键是什么吗？

（学生观察地球仪，寻找两地点并计算，教师巡视）

［师］对于问题1中的“任意两地点”如何理解呢？

［生］ 这两地点可以是经度相同纬度不同，可以是纬度相同经度不同，还可以是经度不同纬度也不同三种情况.

［师］很好，哪位同学具体地叙述一下上面三种情况的求法呢？

［生］对于求经度相同纬度不同的两地间的球面距离的方法是将纬度差的绝对值乘以地球半径. 对于求纬度相同经度不同的两地间的球面距离的方法是先求纬度圈（小圆）中的弦长，再在大圆中求出这两点的球心角，化为弧度，利用l =|α|·r 可求得. 对于求经纬度都不同的两地间的球面距离的方法是用异面直线上两点间的距离公式求出弦长，再求出这两点的球心角，化为弧度，利用l =|α|·r 可求得. （板书）

［师］通过自己动手计算推理分别得到了三种不同情况的两点球面距离的求法，对于前两种即经度相同纬度不同或纬度相同经度不同的两点球面距离的求法，要求大家熟练掌握. 第三种情况即求经纬度都不相同的两点球面距离不作硬性要求.

由问题1的分析解决，对于问题2已很简单明显了，请同学们总结.

［生］求两点球面距离的关键是先求出过此两点的大圆的劣弧所对的圆心角（球心角）. ［师］下面我们继续练习思考.

Ⅲ. 课堂练习

课本Ｐ62练习1、2.

1. 设球半径为R ，用一个平面截球，使截面圆的半径为R , 截面与球心的距离是多少？ 2

R 2

答案：d =R =R . 242

2. 赤道上有A 、B 两点，它们的经度相差60°，求它们的球面距离（地球半径约6370 km,精确到1 km）.

答案：l =ππ·R =·6370≈6667 km. 33

Ⅳ. 课时小结

本节课我们认识了球，讨论了它的性质，并重新了解了我们的地球，发现了地球上任两地点间的球面距离的本质，也学会了解决地球上任两点间的球面距离问题. 希望同学们在掌握这些知识的同时，要注重学习方法的归纳与积累.

Ⅴ. 课后作业

（一）课本P 67习题9.9 2、3、4.

（二）1. 预习内容

课本P 63～P 64

2. 预习提纲

（1）体会“分割—求和（近似和）—化为准确和”的重要数学思想方法.

（2）在球的体积公式中体会V 与R 之间的关系.

●板书设计