排列组合方法

一、相临问题——捆绑法

例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

二、不相临问题——选空插入法

例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

三、复杂问题——总体排除法

例3.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.

四、特殊元素——优先考虑法

例4 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种． 例5．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.

五、多元问题——分类讨论法

例6．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）

例7．如图， 一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答）

六、混合问题——先选后排法

例8． 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）

例9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）

A．24种 B．18种 C．12种 D．6种

七．相同元素分配——档板分隔法

例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？

1、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。

2、有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示)

3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．(用数字作答)

4、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

5、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

6、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？

7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（ ）

8．有四位司机、四个售票员组成四个小组，去开4辆公交车，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）

9．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）

10．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ）

11．5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有( )

12．电视台某段时间连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）

A．120种 B．48种 C．36种 D．18种

13．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a，b两种必须排在一起，而c，d两种不能排在一起，则不同排法共有（ ）

A.12种 B.20种 C.24种 D.48种

14．从0，l，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（ ）

A.20个 B.19个 C.25个 D.30个

15．甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在乙、丙两位前面。不同的安排方法共有（ ）

A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种

16．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法的种数是

17.A，B，C，D，E五个元素排成一列，若A在B 的前面且D在E的前面，则有_____种不同的排法.

18.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种

19.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，5人的名次排列共可能有多少种不同的情况?（用数字作答）

20.有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数.

（1）选其中5人排成一行；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一行，甲乙相邻，丙丁不相邻；

（4）全体排成一行，男生必须排在一起，女生必须排在一起，且男生甲和女生乙不能相邻；

（5）全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人，且甲在乙的左边

直接法

（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）

【例1】 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译

有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 ．

【例2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每

班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为

44C12

44314C12C8A．CCC B．CAA C． D．C12

14C12C8A3 3A[***********]8

【例3】 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，

⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？

【例4】 有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷．从

这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？

【例5】 从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽

取方法种数为______．

2225⋅C3A．C3 B．C6 C．C10 D．A36⋅C4 4 6⋅A4

【例6】 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？

⑴ A、B必须当选；

⑵ A、B都不当选；

⑶ A、B不全当选；

⑷ 至少有2名女生当选；

⑸ 选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．

【例7】 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名

同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）

【例8】 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法

的种数为（ ）

【例9】 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么

不同的选派方案种数为（ ）

【例10】 要从10个人中选出4个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少

种不同的选法？

【例11】 有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车

位上，共有多少种不同的停法？

【例12】 某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，

学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）

【例13】 用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数

的个数为（ ）

【例14】 某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，

要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）

【例15】 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，

要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_____种（用数字作答）．

【例16】 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名

同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）

【例17】 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有___

种

【例18】 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分

别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）

【例19】 2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相

邻，则不同排法的种数为 （ ）

【例20】 从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽

取方法种数为______．

2225A．C3 B．C6 C．C10 D．A3⋅C36⋅C4 4 6⋅A4

7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方【例21】

案共有 种（用数字作答）．

【例22】 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，

⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？ 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从【例23】

事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）

【例24】 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手

只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_______种．（用数字作答）

【例25】 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每

次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？

【例26】 从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有

（ ）

555555555A．C7种 B．A7种 D．C7A10A5C10P55种 C．C10C7A10

【例27】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共

有（ ）

444C12C8C4A．CCC种 B．3CCC种 C．CCA种 D．种 3A[***********]4833

【例28】 现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞

赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）

【例29】 将4个小球任意放入3个不同的盒子中，

⑴若4个小球各不相同，共有多少种放法？

⑵若要求每个盒子都不空，且4个小球完全相同，共有多少种不同的放法？ ⑶若要求每个盒子都不空，且4个小球互不相同，共有多少种不同的放法？

【例30】 将7个小球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，

⑴若7个小球完全相同，共有多少种不同的放法？

⑵若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？

【例31】 四个不同的小球，每球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中．

⑴ 随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？ ⑵ 四个盒都不空的放法有多少种？

⑶ 恰有一个空盒的放法有多少种？

⑷ 恰有两个空盒的放法有多少种？

⑸ 甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？ 间接法（直接求解类别比较大时）

【例32】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥．

【例33】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学

生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）

【例34】 在排成4 4的方阵的16个点中，中心4个点在某一个圆内，其余12个点在圆外，在16个点

中任选3个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（ ）

A．312个 B．328个 C．340个 D．264个

【例35】 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不

同的组队方案共有（ ）

【例36】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）

a，b，c，d，e共5个人，【例37】 从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（ ）

【例38】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学

生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）

【例39】 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成___ _个三角形．

【例40】 从5名奥运志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，

其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）

【例41】 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，

则不同的选派方案共有种（ ）