第3节 判断三角形的形状
第3节 判断三角形的形状
【基础知识】
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．
【规律技巧】
注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【典例讲解】
例1、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形 D ．不确定
【解析】依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B
π＋C ) ＝sin 2A ，从而sin(B ＋C ) ＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A B. 2
【答案】B
【变式探究】
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc .
(1)求角A 的大小；
(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．
【针对训练】
1．在 ABC 中，A , B , C 为内角，且sin A cos A sin B cos B ，则 ABC 是（ ）
A ．等腰三角形 B．直角三角形
C ．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
11sin 2A =sin 2B 2试题分析：因为sin A cos A =sin B cos B ，所以2，因此sin 2A =sin 2B ，
A +B =
又因为A 和B 是三角形内角，所以2A =2B 或者2A +2B =π，即A =B 或
所以∆ABC 是等腰或直角三角形. 故选D. π2，
考点：1、二倍角公式；2、诱导公式.
2．设∆ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C +c cos B =a sin A ，则∆ABC 的形状为（ ）
A ．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】
试题分析：因为b cos C +c cos B =a sin A ，所以sinBcos C +sin C cos B =sin 2A ， 即sin(B +C ) =sin A ，即sin A =0（舍）或sin A =1，所以A =2π
2，即三角形为直角三
角形；故选B ．
考点：1．正弦定理；2．两角和的正弦公式；3．三角形的内角和定理．
3．在△ABC 中，a , b , c 分别为角A , B , C 所对的边，若a =2b cos C ，则此三角形一定是 （ ）
A ．正三角形 B．直角三角形
C ．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】
试题分析：a =2b cos C ∴sin A =2sin B cos C ∴sin (B +C )=2sin B cos C
∴sin B cos C +cos B sin C =2sin B cos C
∴sin B cos C -cos B sin C =0∴sin (B -C )=0∴B =C , 三角形为等腰三角形 考点：1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式
【练习巩固】
1．在∆ABC 中, 若b cos B -a cos A =0, 且b cos A -a cos b ≠0, 则∆ABC 是（ ）
A ．等腰三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．直角三角形
【答案】D
【解析】
试题分析：b cos B -a cos A =0∴sin B cos B -sin A cos A =0∴sin 2A =sin 2B ∴A =B 或A +B =π
2
b cos A -a cos b ≠0∴sin B cos A -cos B sin A ≠0∴sin (B -A )≠0∴A ≠B ，因此三角形为直角三角形
考点：1．正弦定理；2．三角函数基本公式
2．（2012•惠州模拟）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】
试题分析：根据a=2bcosC得到bcosC=，然后根据三角函数定义，得到bcosC=CD=，得到D 为BC 的中点，根据全等得到三角形ABC 为等腰三角形．
解：过A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，
在直角三角形ACD 中，cosC=得CD=bcosC，
而a=2bcosC得bcosC=，所以CD=
AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，
BD=CD得到三角形ABD ≌三角形ACD ，
所以b=c，三角形ABC 为等腰三角形．
故选C
考点：三角形的形状判断；同角三角函数间的基本关系；正弦定理．
3．（2015秋•宁德校级期中）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．
222（Ⅰ）若b +c=a+bc，求角A 的大小；
（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC 的形状．
【答案】（Ⅰ）A=；（Ⅱ）△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosA=，又结合∠A 是△ABC 的内角，即可求A 的值．
（Ⅱ）由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．利用正弦函数的图象和性质可得2A=2B或2A+2B=π，即可得解．
解：（Ⅰ）∵由已知得cosA=又∵∠A 是△ABC 的内角，
∴A=． ==，
（Ⅱ）在△ABC 中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B．
∴2A=2B或2A+2B=π．
∴A=B或
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
考点：正弦定理．
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若acos B ＝bcos A ，则△ABC 是（ ）
A ．等腰三角形 B．直角三角形
C ．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】
试题分析：根据正弦定理，边化角，得到2R sin A cos B =2R sin B cos A ，整理为sin (A -B )=0，得到A -B =0，即A =B ，所以∆ABC 是等腰三角形．
考点：三角函数恒等变换的应用；三角形形状的判定．
5．设∆ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，若b cos C +c cos B =a sin A ，则∆ABC 的形状为
A ．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】A
【解析】
试题分析：b cos C +c cos B =a sin A ∴sin B cos C +sin C cos B =sin 2A ∴sin (B +C )=sin 2A ∴sin A =1∴A =π
2，三角形为直角三角形
考点：1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式
226．（2014秋•九原区校级期中）在△ABC中，已知a tanB=btanA ，则△ABC该的形状为（ ）
A ．等腰三角形 B．直角三角形
C ．正三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
22试题分析：利用正弦定理将a tanB=btanA 中的边转化为所对角的正弦，再利用二倍角的正
弦及诱导公式判断即可．
22解：∵△ABC中，b tanA=atanB ， ∴由正弦定理得：
在三角形中，sinA≠0，sinB≠0， ，
∴，
∴sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B，
则sin2B=sin2A，
∴A=B或2A=π﹣2B ，
∴A=B或A+B=，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 故选：D ．
考点：正弦定理；余弦定理．