偏导数与全导数-偏微分与全微分的关系
1。偏导数
代数意义
偏导数是对一个变量求导, 另一个变量当做数
对x 求偏导的话y 就看作一个数,描述的是x 方向上的变化率
对y 求偏导的话x 就看作一个数,描述的是y 方向上的变化率
几何意义
对x 求偏导是曲面z=f(x,y)在x 方向上的切线
对y 求偏导是曲面z=f(x,y)在x 方向上的切线
这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x 方向或y 方向上的变化情况,但是我们要了解各个方向上的情况,所以后面有方向导数的概念。
2。微分
偏增量:x 增加时f(x,y)增量或y 增加时f(x,y)
偏微分:在detax 趋进于0时偏增量的线性主要部分
detaz=fx(x,y )detax+o(detax)
右边等式第一项就是线性主要部分,就叫做在(x ,y )点对x 的偏微分 这个等式也给出了求偏微分的方法,就是用求x 的偏导数求偏微分
全增量:x,y 都增加时f(x,y)的增量
全微分:根号(detax方+detay方)趋于0时,全增量的线性主要部分 同样也有求全微分公式,也建立了全微分和偏导数的关系
dz=Adx+Bdy 其中A 就是对x 求偏导,B 就是对y 求偏导
希望楼主注意的是导数和微分是两个概念,他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数,再有微分,然后有了导数和微分的关系公式,公式同时也
指明了求微分的方法。
3. 全导数
全导数是在复合函数中的概念,和上面的概念不是一个系统,要分开。 u=a(t),v=b(t)
z=f[a(t),b(t)]
dz/dt 就是全导数,这是复合函数求导中的一种情况,只有这时才有全导数的概念。
dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt)
建议楼主在复合函数求导这里好好看看书,这里分为3种情况。1. 中间变量一元就是上面的情况,才有全导数的概念。2. 中间变量有多元,只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元,还是求偏导。
对于你的题能求对x 的偏导数,对y 的偏导数,z 的全微分,不能求全导数
如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数!
偏导数就是
在一个范围里导数,如在(x0,y0) 处导数。
全导数就是定义域为R 的导数,如在实数内都是可导的
在数学中,一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数,而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
函数f 关于变量x 的偏导数写为或。偏导数符号是圆体字母,区别于全导数符号的正体d 。 这个符号是阿德里安-马里·勒让德介入的并在雅可比的重新介入后
得到普遍接受。
偏导数z=xy+y
对x 求偏导z'=y
对y 求偏导z'=x+1
全导数y=x^2
对x 求偏导 y'=2x
求偏导时就把其它变量看作常数, 字母代号即可, 如Z=X^2+Y^2, 对X 求偏导,Zx=2X,
对Y 求偏导,Zy=2Y,
全导时对所有变量分别求导, 如对Z 求全导dZ=2Xdx+2Ydy