高中数学经典函数知识点总结(重要)
高中数学函数知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如:集合A ={x |y =lg x },B ={y |y =lg x },C ={(x , y ) |y =lg x },A 、B 、C 中元素各表示什么?
A 表示函数y=lgx 的定义域,B 表示的是值域,而C 表示的却是函数上的点的轨迹
2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
2
如:集合A =x |x -2x -3=0,B ={x |ax =1}
{}
若B ⊂A ,则实数a 的值构成的集合为 (答:⎨-1,0,⎬)
⎧⎩
1⎫3⎭
显然,这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万小心,还有一个B 为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质:
(1)集合{a 1,a 2,„„,a n }的所有子集的个数是2n ;
要知道它的来历:若B 为A 的子集,则对于元素a 1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a 2, a3, „„a n , 都有2种选择,所以,总共有2种选择, 即集合A 有2个子集。 当然,我们也要注意到,这2种情况之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为2-1,非空真子集个数为2-2
n
n
n
n
n
(2)若A ⊆B ⇔A B =A ,A B =B ;
(3)德摩根定律:
C U (A B )=(C U A ) (C U B ),C U (A B )=(C U A ) (C U B )
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于x 的不等式的取值范围。
ax -5
x -a
(∵3∈M ,∴
a ·3-5
32-a a ·5-5
≥02
5-a
5⎫⎡
⇒a ∈⎢1,⎪ (9,25))
3⎭⎣
∵5∉M ,∴
注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过; 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在(-∞,1) 上单调递减,在(1,+∞) 上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想到m ,n 实际上就是方程 的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(∨) ,“且”(∧) 和“非”(⌝).
若p ∧q 为真,当且仅当p 、q 均为真
若p ∨q 为真,当且仅当p 、q 至少有一个为真 若⌝p 为真,当且仅当p 为假
命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)
A ={x |x 满足条件p },B ={x |x 满足条件q },
若 ;则p 是q 的充分非必要条件⇔A _____B ; 若 ;则p 是q 的必要非充分条件⇔A _____B ;
若 ;则p 是q 的充要条件⇔A _____B ;
若 ;则p 是q 的既非充分又非必要条件⇔___________;
7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。)
注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素,集合B 中有n 个元素,则从A 到B 的映射个数有n m 个。
如:若A ={1, 2, 3, 4},B ={a , b , c };问:A 到B 的映射有 个,B 到A 的映射有 个;A 到B 的函数有 个,若A ={1, 2, 3},则A 到B 的一一映射有 个。
函数y =ϕ(x ) 的图象与直线x =a 交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
例:函数y =
x 4-x lg (x -3)
2
的定义域是
(答:(0,2) (2,3) (3,4))
函数定义域求法:
● 分式中的分母不为零; ● 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ● 指数式的底数大于零且不等于一; ●
数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 ●
正切函数y =tan x ⎛x ∈R , 且x ≠k π+
π
⎝
2, k ∈Z⎫⎪⎭
● 余切函数y =cot x (x ∈R , 且x ≠k π, k ∈Z) ●
反三角函数的定义域
函数y =arcsinx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是,函数y =arccosx 的定义域是 [-
1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y =arctgx 的定义域是 R ,值域是. ,函数y =arcctgx
的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域?
如:函数f (x ) 的定义域是[a ,b ]
,b >-a >0,则函数F(x) =f (x ) +f (-x ) 的定 义域是_____________。 (答:[a ,-a ]
)
复合函数定义域的求法:已知y =f (x ) 的定义域为[m , n ],求y =f [g (x ) ]的定义域,可由
m ≤g (x ) ≤n 解出x 的范围,即为y =f [g (x ) ]的定义域。
例 若函数y =f (x ) 的定义域为⎢⎡1, 2⎥⎤
⎣2⎦
,则f (log2x ) 的定义域为。
分析:由函数y =f (x ) 的定义域为⎢⎡1, 2⎥⎤可知:1
⎣2
⎦
2≤x ≤2;所以y =f (log2x ) 中有
对
1
≤log 2x ≤2。 2
解:依题意知: 解之,得
1
≤log 2x ≤2 2
2≤x ≤4
∴ f (log2x ) 的定义域为x |2≤x ≤4
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例 求函数y=
{}
1
的值域 x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x 2-2x+5,x ∈[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
b
型:直接用不等式性质2
k+x
bx
b. y=2型, 先化简,再用均值不等式
x +mx +n
x 11
例:y ==≤
121+x2
x+x
x 2+m 'x +n '
c .. y=2型 通常用判别式
x +mx +n x 2+mx +n
d. y=型
x +n
法一:用判别式a . y=
法二:用换元法,把分母替换掉
2
x 2+x +1(x+1)-(x+1)+1 1
例:y ===(x+1)+-1≥2-1=1
x +1x +1x +1
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=
3x +4
值域。
5x +6
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
e x -12sin θ-12sin θ-1
例 求函数y=x ,y =,y =的值域。
1+sin θ1+cos θe +1
e x -11+y
y =x ⇒e x =>0
1-y e +1
2sin θ-11+y y =⇒|sin θ|=||≤1,
1+sin θ2-y 2sin θ-1y =⇒2sin θ-1=y (1+cos θ)
1+cos θ
2sin θ-y cos θ=1+y
θ+x ) =1+y , 即sin(θ+x ) =
又由sin(θ+x ) ≤1≤1
解不等式,求出y ,就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=
2
x -5
+log 3
x -1(2≤x ≤10)的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。
例 求函数y=x+x -1的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
22
例:已知点P (x.y )在圆x +y=1上,
y
的取值范围x +2
(2)y-2x 的取值范围 (1)
解:(1)令
d≤R (d 为圆心到直线的距离,R 为半径)
(2)令y-2x =b , 即y -2x -b =0, 也是直线d d≤R
例求函数y=
y
=k , 则y =k (x +2), 是一条过(-2,0)的直线. x -2
(x -2)
2
+
x +8)
2
的值域。
解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P (x )到定点A (2),B (-8)间的距离之和。 由上图可知:当点P 在线段AB 上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB ∣=10 故所求函数的值域为:[10,+∞) 例求函数y=
x
2
-6x +13+
x
2
+4x +5的值域
2
2
解:原函数可变形为:y=
(x -3) +(0-2)
+
(x +2) +(0+1)
22
上式可看成x 轴上的点P (x ,0)到两定点A (3,2),B (-2,-1)的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时, y =
min
=∣AB ∣
3+2)
2
+(2+1) =43,
2
故所求函数的值域为[43,+∞)。 注:求两距离之和时,要将函数 9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2ab ,a+b+c≥33abc (a ,b ,c ∈
R
+
),求函数的最值,
其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例: 2
x 2+(x >0) x
2
1x 1 =x++≥x x 3 =x⋅x ⋅=1 (应用公式3者的乘积变成常数)a +b +c 3
(应用公式abc ≤() 时,应注意使3者之和变成常数)
3
2
倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况 例 求函数y=
x +2
的值域 x +3
x +2≠0时,1==y y =
x +2=0时,y =0∴0≤y ≤
1
2
≥2⇒0
1 2
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协
商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂 如:f 令t =
(
2
x +1=e x +x ,求f (x ).
)
x +1,则t ≥0
∴x =t -1 ∴f (t ) =e
t 2-1
+t 2-1 +x 2-1(x ≥0)
∴f (x ) =e x
2
-1
13. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x ;②互换x 、y ;③注明定义域) 如:求函数f (x ) =⎨
⎧⎪1+x
2-x ⎪⎩
(x ≥0)
的反函数
(x
⎧⎪x -1(x >1)(答:f (x ) =⎨) ⎪⎩--x (x
-1
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方
便。请看这个例题:
(2004.全国理) 函数y = A .y=x 2-2x +2(x
x -1+1(x ≥1) 的反函数是( B )
B .y=x 2-2x +2(x ≥1) D .y=x 2-2x (x ≥1)
当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想, 一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做出来的。可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。下面请看一下我的思路:
原函数定义域为 x 〉=1,那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D. 现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.
我题目已经做完了, 好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢? 14. 反函数的性质有哪些? 反函数性质: 1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y ) 2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ) 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y )和点(y ,x )关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y =x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设y =f(x)的定义域为A ,值域为C ,a ∈A ,b ∈C ,则f(a)=b ⇔f (b ) =a ∴f
-1
-1
[f (a ) ]=f -1(b ) =a ,f [f -1(b ) ]=f (a ) =b
4
+2) ,则方程f -1(x ) =4的解x =__________. x
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如 (04. 上海春季高考)已知函数f (x ) =log 3(
15 . 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法:
根据定义,设任意得x 1,x 2,找出f(x1),f(x2) 之间的大小关系
可以变形为求
f (x 1) -f (x 2) f (x 1)
的正负号或者与1的关系
x 1-x 2f (x 2)
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b) 对称,函数f(x)在关于点(a,0) 的对称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x =a 对称,则函数f(x)在关于点(a,0) 的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数) 是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数) ,当c >0时,它们是同向变化的;当c <0时,它们是反向变化的。
③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;(函数相加) ④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘) ⑤函数f(x)与
1
f (x )
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u =φ(x),x[α,β]与函数y =F(u),u ∈[φ(α) ,φ(β)]或u ∈[φ(β), φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y =F[φ(x)]是递增的;若函数u =φ(x),x[α,β]与函数y =F(u),u ∈[φ(α) ,φ(β)]或u ∈[φ(β) ,φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y =F[φ(x)]是递减的。(同增异减)
-1
⑦若函数y =f(x)是严格单调的,则其反函数x =f (y)也是严格单调的,而且,它们的
如:求y =log 1-x 2+2x
2
()
(设u =-x 2+2x ,由u >
且log 1u ↓,u =-(x -1)+1,如图:
2
2
当x ∈(0,1]时,u ↑,又log 1u ↓,∴y ↓
2
当x ∈[1,2) 时,u ↓,又log 1u ↓,∴y ↑
2
∴„„)
16. 如何利用导数判断函数的单调性?
在区间a ,b 内,若总有f '(x ) ≥0则f (x ) 为增函数。(在个别点上导数等于
()
零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '(x ) ≤0呢?
如:已知a >0,函数f (x ) =x -ax 在1,+∞上是单调增函数,则a 的最大 值是( ) A. 0
(令f '(x ) =3x -a =3 x +
2
3
[)
⎛⎝a ⎛a ⎫⎪ x -⎪≥0 3⎭⎝3⎭
则x ≤-
a a
或x ≥ 33
a
≤1,即a ≤3 3
由已知f (x ) 在[1,+∞) 上为增函数,则
∴a 的最大值为3)
17. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)
若f (-x ) =-f (x ) 总成立⇔f (x ) 为奇函数⇔函数图象关于原点对称 若f (-x ) =f (x ) 总成立⇔f (x ) 为偶函数⇔函数图象关于y 轴对称
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)=0。
a ·2x +a -2
为奇函数,则实数a = 如:若f (x ) =x
2+1
(∵f (x ) 为奇函数,x ∈R ,又0∈R ,∴f (0) =0
a ·20+a -2
=0,∴a =1) 即
20+1
2x
, 又如:f (x ) 为定义在(-1,1) 上的奇函数,当x ∈(0,1) 时,f (x ) =x
4+1
求f (x ) 在(-1,1)上的解析式。
2-x
(令x ∈(-1,0),则-x ∈(0,1),f (-x ) =-x
4+12-x 2x
=- 又f (x ) 为奇函数,∴f (x ) =--x x
4+11+4
⎧2x
⎪-x
⎪4+1
又f (0) =0,∴f (x ) =⎨
x
⎪2⎪⎩4x +1
判断函数奇偶性的方法
x ∈(-1,0)
x =0x ∈(0,1)
)
一、 定义域法
一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算f (-x ) ,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数 f(x)
=1 偶函数 f(-x)f(x)
=-1 奇函数f(-x)
三、 复合函数奇偶性
18. 你
熟悉周期函数的定义吗?
(若存在实数T (T ≠0),在定义域内总有f (x +T )=f (x ) ,则f (x ) 为周期 函数,T 是一个周期。)
如:若f (x +a )=-f (x ) ,则
(答:f (x ) 是周期函数,T =2a 为f (x ) 的一个周期)
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这
f (x ) +f (x +t ) =0⎫
时说这个函数周期2t. 推导:f (x +t ) +f (x +2t ) =0⎬=>f (x ) =f (x +2t ) ,
⎭
同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函数f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
又如:若f (x ) 图象有两条对称轴x =a ,x =b 即f (a +x ) =f (a -x ) ,f (b +x ) =f (b -x )
⎧f (x ) =f (2a -x ) ⎫=>⎨⎬=>f (2a -x ) =f (2b -x ) ⎩f (x ) =f (2b -x ) ⎭
令t =2a -x , 则2b -x =t +2b -2a , f (t ) =f (t +2b -2a ) 即f (x ) =f (x +2b -2a )
所以, 函数f (x ) 以2|b -a |为周期(因不知道a , b 的大小关系, 为保守起见, 我加了一个绝对值
如:
19. 你掌握常用的图象变换了吗?
f (x ) 与f (-x ) 的图象关于y 轴对称 联想点(x,y ),(-x,y) f (x ) 与-f (x ) 的图象关于x 轴对称 联想点(x,y ),(x,-y) f (x ) 与-f (-x ) 的图象关于原点对称 联想点(x,y ),(-x,-y) f (x ) 与f -1(x ) 的图象关于直线y =x 对称 联想点(x,y ),(y,x) f (x ) 与f (2a -x ) 的图象关于直线x =a 对称 联想点(x,y ),(2a-x,y) f (x ) 与-f (2a -x ) 的图象关于点(a ,0) 对称 联想点(x,y )
,(2a-x,0)
y =f (x +a ) 左移a (a >0) 个单位 将y =f (x ) 图象−−−−−−−− −→y =f (x -a ) 右移a (a >0) 个单位上移b (b >0) 个单位y =f (x +a ) +b
−−−−−−−−−→
下移b (b >0) 个单位y =f (x +a ) -b
(这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写出来吧。对于这种题目,其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。) 注意如下“翻折”变换:
f (x ) −−→|f (x 把) |轴下方的图像翻到上面x
f (x ) −− →f (|x 把|) 轴右方的图像翻到上面y 如:f (x ) =log 2(x +1)
作出y =log 2(x +1)及y =log 2x +的图象
y=log2x
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(1)一次函数:y =kx +b (k ≠0) (2)反比例函数:y =的双曲线。
(k为斜率,b 为直线与y 轴的交点)
k k (k ≠0)推广为y =b +(k ≠0)是中心O '(a ,b ) x x -a
b ⎫4ac -b 2⎛
(3)二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)=a x +图象为抛物线 ⎪+
⎝⎭2a 4a
2
2
⎛b 4ac -b 2⎫b
顶点坐标为 -,⎪,对称轴x =-
4a ⎭2a ⎝2a
开口方向:a >0,向上,函数y min
4ac -b 2
=
4a
a
4ac -b 2=
4a
根的关系:x =
b c x 1+x 2=-, x 1⨯x 2=,|x 1-x 2|=
a a 二次函数的几种表达形式:f (x ) =ax 2+bx +c (一般式)
f (x ) =a (x -m ) 2+n (顶点式,(m ,n )为顶点f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(x 1, x 2是方程的2个根)f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2) +h (函数经过点(x 1, h )(x 2, h )
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
ax 2+bx +c =0,∆>0时,两根x 1、x 2为二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2+bx +c >0(
②求闭区间[m ,n ]上的最值。
b
) f m a x =f (m ) , f m =i n f n () 2a b
区间在对称轴右边(m >-) f m a x =f (n ) , f m =i n f m ()
2a b
区间在对称轴2边 (n
2a
4a c -b 2
f m i n =f , m a =x m f a m x (f (n ) , () )
4a
也可以比较m , n 和对称轴的关系,距离越远,值越大 区间在对称轴左边(n 0的情况)
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
⎧∆≥0⎪⎪b 2
如:二次方程ax +bx +c =0的两根都大于k ⇔⎨->k
2a ⎪⎪⎩f (k ) >0
一根大于k ,一根小于k ⇔f (k )
⎧∆≥0⎪b ⎪
在区间(m ,n )内有2根⇔⎨2a
⎪f (m ) >0⎪⎪⎩f (n ) >0
在区间(m ,n )内有1根⇔f (m ) f (n )
(4)指数函数:y =a x (a >0,a ≠1)
(5)对数函数y =log a x a >0,a ≠1 由图象记性质! (注意底数的限定!)
a x(a>1)
()
(6)“对勾函数”y =x +
k
(k >0) x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?(均值不等式一定要注
x
20. 你在基本运算上常出现错误吗?
0-p
指数运算:a =1(a ≠0) ,a =
1
(a ≠0) a p
a
m n
=a
m
(a ≥0) ,a
-
m n
=
1
a
m
(a >0)
对数运算:l o g (⨯N =) a M l o g a
l a o g M +
l N N >) (g M >,0a o
M 1=l o g M -l o g N ,l o g M =l o g a a a a M N n
log a x
对数恒等式:a =x
l o g n n c b ⇒l o g b =m
a
l o g m c a
l b g a o
对数换底公式:l o g a b =
1
l o g x =a
l o g x a
21. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
如:(1)x ∈R ,f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ,证明f (x ) 为奇函数。 (先令x =y =0⇒f (0) =0再令y =-x ,„„)
(2)x ∈R ,f (x ) 满足f (xy ) =f (x ) +f (y ) ,证明f (x ) 是偶函数。 (先令x =y =-t ⇒f [(-t )(-t ) ]=f (t ·t ) ∴f (-t ) +f (-t ) =f (t ) +f (t ) ∴f (-t ) =f (t ) „„)
(3)证明单调性:f (x 2) =f (x 2-x 1)+x 2=„„
(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
[]
1、
2、 3、 代y=x,
令x=0或1来求出f(0)或f(1)
求奇偶性,令y=—x ;求单调性:令x+y=x1
几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数
f (x )=kx (k ≠0)---------------f (x ±y )=f (x )±f (y ) 2. 幂函数型的抽象函数
f (x )=x a ----------------f (xy )= f (x )f (y );f (3.
指数函数型的抽象函数
f (x )=a x ------------------- f (x +y )=f (x )f (y );f (x -y )=4.
对数函数型的抽象函数
x f (x )
)= y f (y )
f (x )
f (y )
f (x )=lo g a x (a >0且a ≠1)-----f (x ·y )=f (x )+f (y );f (5.
三角函数型的抽象函数
f (x )=t gx-------------------------- f (x +y )=
x
)= f (x )-f (y ) y
f (x ) +f (y )
1-f (x ) f (y )
f (x )=cot x------------------------ f (x +y )=
f (x ) f (y ) -1
f (x ) +f (y )
例1已知函数f (x )对任意实数x 、y 均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )>0,f (-1) = -2求f (x ) 在区间[-2,1]上的值域.
分析:先证明函数f (x )在R 上是增函数(注意到f (x 2)=f [(x 2-x 1)+x 1]=f (x 2-x 1)+f (x 1));再根据区间求其值域.
例2已知函数f (x )对任意实数x 、y 均有f (x +y )+2=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )>2,f (3)= 5,求不等式 f (a 2-2a -2)
例3已知函数f (x )对任意实数x 、y 都有f (xy )=f (x )f (y ),且f (-1)=1,f (27)=9,当0≤x <1时,f (x )∈[0,1]. (1) 判断f (x )的奇偶性; (2) 判断f (x )在[0,+∞]上的单调性,并给出证明; (3)
若a ≥0且f (a +1)≤9,求a 的取值范围.
分析:(1)令y =-1;
(2)利用f (x 1)=f (
x 1x
·x 2)=f (1)f (x 2); x 2x 2
(3)0≤a ≤2.
例4设函数f (x )的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在x 1≠x 2,使得f (x 1)≠f (x 2);对任何x 和y ,f (x +y )=f (x )f (y )成立. 求: (1) f (0); (2) 对任意值x ,判断f (x )值的符号.
分析:(1)令x= y =0;(2)令y =x ≠0.
例5是否存在函数f (x ),使下列三个条件:①f (x )>0,x ∈N ;②f (a +b )= f (a )f (b ),a 、b ∈N ;③f (2)=4. 同时成立?若存在,求出f (x )的解析式,若不存在,说明理由.
分析:先猜出f (x )=2x ;再用数学归纳法证明.
例6设f (x )是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f (x ·y )=f (x )+f (y ),f (3)=1,求: (1) f (1); (2) 若f (x )+f (x -8)≤2,求x 的取值范围. 分析:(1)利用3=1×3;
(2)利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y = f (x )的反函数是y =g (x ). 如果f (a b )=f (a )+f (b ),那么g (a +b )=g (a )·g (b )是否正确,试说明理由.
分析:设f (a )=m ,f (b )=n ,则g (m )=a ,g (n )=b , 进而m +n =f (a )+f (b )= f (a b )=f [g (m )g (n )]„.
例8已知函数f (x )的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件: ①
x 1、x 2是定义域中的数时,有f (x 1-x 2)=
f (x 1) f (x 2) +1
;
f (x 2) -f (x 1)
② f (a )= -1(a >0,a 是定义域中的一个数); ③ 当0<x <2a 时,f (x )<0. 试问: (1) f (x )的奇偶性如何?说明理由; (2) 在(0,4a )上,f (x )的单调性如何?说明理由. 分析:(1)利用f [-(x 1-x 2)]= -f [(x 1-x 2)],判定f (x )是奇函数; (3) 先证明f (x )在(0,2a )上是增函数,再证明其在(2a ,4a )上也是增函数.
对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意. 有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数. 因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f (x )(x ≠0)满足f (xy )=f (x )+f (y ),
(1) (2) (3)
求证:f (1)=f (-1)=0; 求证:f (x )为偶函数;
若f (x )在(0,+∞)上是增函数,解不等式f (x )+f (x -
1
)≤0. 2
分析:函数模型为:f (x )=lo g a |x |(a >0) (1) 先令x =y =1,再令x =y = -1; (2) 令y = -1; (3) 由f (x )为偶函数,则f (x )=f (|x |).
例10已知函数f (x )对一切实数x 、y 满足f (0)≠0,f (x +y )=f (x )·f (y ),且当x <0时,f (x )>1,求证: (1) 当x >0时,0<f (x )<1; (2) f (x )在x ∈R 上是减函数. 分析:(1)先令x =y =0得f (0)=1,再令y =-x ; (3) 受指数函数单调性的启发: 由f (x +y )=f (x )f (y )可得f (x -y )=
f (x )
, f (y )
进而由x 1<x 2,有
f (x 1)
=f (x 1-x 2)>1. f (x 2)
练习题:
1. 已知:f (x +y )=f (x )+f (y )对任意实数x 、y 都成立,则( ) (A )f (0)=0 (B )f (0)=1 (C )f (0)=0或1 (D )以上都不对 2. 若对任意实数x 、y 总有f (xy )=f (x )+f (y ),则下列各式中错误的是( ) (A )f (1)=0 (B )f (
1
)= f (x ) x
(C )f (
x
)= f (x )-f (y ) (D )f (x n )=nf (x )(n ∈N ) y
3. 已知函数f (x )对一切实数x 、y 满足:f (0)≠0,f (x +y )=f (x )f (y ),且当x <0时,f (x )>1,则当x >0时,f (x )的取值范围是( ) (A )(1,+∞) (B )(-∞,1) (C )(0,1) (D )(-1,+∞)
4. 函数f (x )定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x 1、x 2都有 f (x 1-x 2)=
f (x 1) -f (x 2)
,则f (x )为( )
1+f (x 1) f (x 2)
(A )奇函数非偶函数 (B )偶函数非奇函数 (C )既是奇函数又是偶函数 (D )非奇非偶函数
5. 已知不恒为零的函数f (x )对任意实数x 、y 满足f (x +y )+f (x -y )=2[f (x )+f (y )],则函数f (x )是( )
(A )奇函数非偶函数 (B )偶函数非奇函数
(C )既是奇函数又是偶函数 (D )非奇非偶函数 参考答案:
1.A 2.B 3 .C 4.A
5.B
23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R 的
弧长公式和扇形面积公式吗?
112
(l =α·R ,S =l ·R =α·R ) (和 扇
22
三角形的面积公式很相似, 可以比较记忆. 要知道圆锥展开图面积的求法)
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
1. 用心感受数学,欣赏数学,掌握数学思想。有位数学家曾说过:数学是用最小的空间集中了最大的理想。
2. 要重视数学概念的理解。高一数学与初中数学最大的区别是概念多并且较抽象,学起来“味道”同以往很不一样,解题方法通常就来自概念本身。学习概念时,仅仅知道概念在字面上的含义是不够的,还须理解其隐含着的深层次的含义并掌握各种等价的表达方式。例如,为什么函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,而y=f(x)与x=f-1(y)却有相同的图象;又如,为什么当f(x-1)=f(1-x) 时,函数y=f(x)的图象关于y 轴对称,而y=f(x-1) 与y=f(1-x) 的图象却关于直线x=1对称,不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别,两者很容易混淆。
3. 对数学学习应抱着二个词——“严谨,创新”,所谓严谨,就是在平时训练的时候,不能一丝马虎,是对就是对,错了就一定要承认,要找原因,要改正,万不可以抱着“好像是对的”的心态,蒙混过关。至于创新呢,要求就高一点了,要求在你会解决此问题的情况下,你还会不会用另一种更简单,更有效的方法,这就需要扎实的基本功。平时,我们看到一些人,做题时从不用常规方法,总爱自己创造一些方法以“偏方”解题,虽然有时候也能让他撞上一些好的方法,但我认为是不可取的。因为你首先必须学会用常规的方法,在此基础上你才能创新,你的创新才有意义,而那些总是片面“追求”新方法的人,他们的思维有如空中楼阁,必然是昙花一现。当然我们要有创新意识,但是,创新是有条件的,必须有扎实的基础,因此我想劝一下那些基础不牢,而平时总爱用“偏方”的同学们,该是清醒一下的时候了,千万不要继续钻那可怜的牛角尖啊!
4. 建立良好的学习数学习惯,习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯,会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是:多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间,以便加宽知识面和培养自己再学习能力。
5. 多听、多作、多想、多问:此“四多”乃培养数学能力的要诀,“听”就是在“学”,作是“练习”(作课本上的习题或其它问题) ,也就是把您所学的,应用到解决问题上。“听”与“作”难免会碰到疑难,那就要靠“想”的功夫去打通它,假如还想不通,解不来就要“问”——问同学、问老师或参考书,务必将疑难解决为止。这就是所谓的学问:既学又问。
6. 要有毅力、要有恒心:基本上要有一个认识:数学能力乃是长期努力累积的结果,而不是一朝一夕之功所能达到的。您可能花一天或一个晚上的功夫把某课文背得滚瓜烂熟,第二天考背诵时对答如流而获高分,也有可能花了一两个礼拜的时间拼命学数学,但到头来数学可能还考不好,这时候您可不能气馁,也不必为花掉的时间惋惜,因为种什么“因”必能得什么“果”,只要继续努力,
持之有恒,最后必能证明您的努力没有白费!
最后祝各位考生: