嘉庚微积分答案
习题6.2
1求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1
）z=
解:
定义域为⎧⎪⎨
x≥0⎧⎧x2
≥y
⎪⇒⎪⎩y≥0⎨x≥⎪⎪⇒⎩y≥0
⎨y≥0 ⎪⎩
x≥0 即
{(x,y)x
2
≥y,x≥0,y≥0}
，如图所示
（2
）z=
解:定义域为⎨⎧x−y>0
+y>0
⇒−x
⎩x 即
{(x,y)−x
（3
）z=ln(R2
−x2
−y2
)−
r
解:定义域为⎧⎪⎨R2−x2−y2>0⎪+y−r≥0
⇒r2≤x2+y2≤R2
⎩x222
即
{(x,y)r
2
≤x2+y2≤R2}
，
如图所示 （4
）z=
+arcsin
1
x2+y2
⎧⎪4
x2+y2≥1解：定义域为⎪
⎨⇒1≤x2+y2≤4
⎪⎪⎩
−1≤1x2+y2≤1 即
{(x,y)1≤x
2
+y2≤4}
，如图所示
2．由已知条件确定函数表达式f(x,y). （1）f(x+y,x−y)=2(
x2
+y
2
)ex
2
−y2
;
⎧
u+v解：令⎧⎨u=x+y⎪⎪x=2⎩v=x−y,⇒⎨,x2−y2=x+yx−y=⎪u−v()()
uv，
⎪⎩y=
2
1
x
x
22
⎛u+v⎞⎛u−v⎞u+v22
x+y=⎜ ⎟+⎜⎟=
222⎝⎠⎝⎠
22
f(x+y,x−y)=f(u,v)
（2）f⎜x+y,
u(=2
2
+v2)2
euv⇒f(x,y)=(x2+y2)exy
⎛⎝y⎞22
=x−y. ⎟x⎠
u⎧⎧u=x+y⎪x=
u(1−v)uuv⎪⎪1+v
， 而x−y=−=， 解：令⎨⇒⎨x
v=uvvvv+++111⎪⎪y=y⎩⎪1+v⎩u(1−v)x2(1−y)y⎞⎛
f⎜x+y,⎟=(x+y)(x−y)⇒f(u,v)=u ⇒f(x,y)=
1+1+xvy⎝⎠
x2+y2
3．设函数f(x,y)=,求f(2,1),f(x,1),f(2,y),
xy
⎛x⎞f⎜1,⎟. ⎝y⎠
2
⎛x⎞1+⎜y⎟
22+154+y2⎛x⎞x2+1x2+y2⎝⎠,f(2,y)=,f⎜1,⎟==,f(x,1)== 解：f(2,1)=
x2×122yxxy⎝y⎠
y
4．求下列极限： （1）
1−xy
;
(x,y)→(0,1)x2+y2lim
解：原式=1 （2）
(x,y)→(
0,0lim
=lim
(x,y)→(
0,0解：原式=
(x,y)→(
0,0lim
−1
1
=
(x,y)→(0,0)
lim
+1=2
)
（3）
sinxy
;
(x,y)→(0,0)xlim
sinxy
⋅y=1⋅0=0
(x,y)→(0,0)xylim
解：原式=
（4）
(x,y)→(0,0)
lim
(x2+y2)sin
2
1. x2y2
1
≤1，原式=0 x2y2
2
解：
(x,y)→(0,0
lim
(x)
+y2)=0,sin
（5）
(x,y)→(0,0)
lim(1+xe)
1
2y1−cosx
21
⎡⎤2eyx22yx22yx2ey
解：x→0,1−cosx∼，原式=lim(1+xe)=lim⎢(1+xe)=e2 ⎥(x,y)→(0,0)(x,y)→(0,0)2⎣⎦
x2y5．讨论极限lim是否存在.
(x,y)→(0,0)x4+y2
x2(kx2)x2yk2
=lim=，所以极限不存在。 解：取y=kx，lim222(x,y)→(0,0)x4+y2(x,y)→(0,0)4
x+(kx)1+k
2
6．讨论下列函数在哪些点不连续：
y2+2x
; （1）f(x,y)=2
y−2x
解：不连续点
{(x,y)y
2
=2x
}
（2）f(x,y)=
1
sinxsiny
解：不连续点
{(x,y)x=nπ,y∈R}∪{(x,y)y=nπ,x∈R}
14
34
7．设某商品的生产函数为Q(K,L)=30KL,试求（1）当资本K投入10 000 元，劳动力L投入625小时的产量；（2）验证当K与L都扩大2倍时，产量也扩大2倍. 解：（1）Q(10000,625)=30×10（2）Q(2K,2L)=30(2K)
1
44×13
4×44
5=37500
⎛13⎞
⎜+⎟⎝44⎠
(2L)
34
=30×2
K=2Q(K,L)
1434
8*．证明
(x,y)→lim
=0.
证明：令x=rcosθ,y=
rsinθ=r (用极坐标代换)
rcosθ(rsinθ)
=limrcosθsinθ=0 原式=lim
r→0r→0r
3