量子力学2-德布罗意

上节课回顾：20世纪初经典物理学的3朵乌 云

（1）黑体辐射问题 （2）光电效应 （3）氢原子线状光谱 + 原子核稳定问题

(1) 黑体辐射问题

 8π hν  1 ρν dν =   dν 3 C  exp(hν / kT ) − 1 

3

ρν dν = C1ν 3e −C ν / T dν

2

能量密度 0

ρν dν =

Planck 线 Wien 线 5 λ (104 cm)

8π 2 ν kT dν 3 C

En = n h v

 E = h ν = ω     E  hν  h    n = n = n = k p= n=  λ  C C    n h λ 其中 = = k= 2π 2π 

1 0

Einstein: 光是粒子，光子

把光子的波动性和粒子性 联系了起来

1 µV 2 = hν − A 2

(2) 光电效应

• •

临界频率v0 光电子动能只决定于光 子的频率

• 虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量 子概念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的 光子假设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普 鲁士科学院院士的推荐信中。 “ 总而言之，我们可以说，在近代物理学结出 硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱因 斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中，他 有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子 假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他 的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不 偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念 ”

（三）Compton 散射 -光的粒子性的进一步证实。



（1）

Compton 效应

X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下

2 个特点： 1 散射光中，除了原来X光的 波长λ外，增加了一个新的 波长为λ'的X光，且λ' >λ； 2 波长增量 Δλ=λ’ –λ 随散射角增大而增大。这一现象称为 Compton 效应。

经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认 为电磁波被散射后，波长不应该发生改变。但是如果把 X--射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过 程，则该效应很容易得到理解

（2）



定性解释

根据光量子理论，具有能量 E = h ν 的光子与电子碰撞后，光子 把部分能量传递给电子，光子的能量变为 E’= hν’ 显然有 E’

∆λ = 2λ 0 sin 2

θ

2

其中 称为电子的 Compton波长。

λ0 =

2π = 2.4 × 10 −10 cm m 0C

•该式首先由 Compton 提出，后被 Compton 和吴有训用实验证实，用量子 概念完全解释了Compton 效应。因为式右是一个恒大于或等于零的数，所 以散射波的波长λ'总是比入射波波长长（λ' >λ）且随散射角θ增大而 增大。 •式中也包含了 Planck 常数 h，经典物理学无法解释它，Compton 散射实验 是对光量子概念的一个直接的强有力的支持。

氢原子光谱 谱系 Lyman

Balmer Paschen Brackett Pfund m 1 2 3 4 5 n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,...... 区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外

1   1 − ν = RH C  2 2  n   m



n > m

经典物理学不能建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子 环绕原子核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子 的能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量损失 能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是，现实世界表 明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它实验现象在经典理 论看来是难以解释的，这里不再累述。

（四）波尔（Bohr）的量子论



   

Planck--Einstein 光量子概念必然会促进物理学其他重大疑难问 题的解决。1913年 Bohr 把这种概念运用到原子结构问题上，提 出了他的原子的量子论。该理论今天已为量子力学所代替，但是 它在历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动作用，而且该理 论的某些核心思想至今仍然是正确的，在量子力学中保留了下来 （1）波尔假定 （2）氢原子线光谱的解释 （3）量子化条件的推广 （4）波尔量子论的局限性

（1）波尔假定



Bohr 在他的量子论中提出了两个极为重要的概念，可以认为 是对大量实验事实的概括。

1.原子具有能量不连续 的定态的概念。

2.量子跃迁的概念.

原子处于定态时不辐射，但是因某种原因，电子可以从一个能级 En 跃迁到另一个较低（高）的能级 Em ，同时将发射（吸收）一个光子。光子的频率为：

ν mn = [ E n − E m ] h → 频率条件

而处于基态（能量最低态）的原子，则不放出光子而稳定的存在着 原子的稳定状态只可能是某些具有一定分立值能量 E1,E2,......, En 的状态。为了具体确定这些能 量数值，Bohr提出了量子化条件：

电子的角动量只能取的整数倍，即 L  L = n 其中 n = 1, 2, 3

（2）氢原子线光谱的解释



根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子的线光谱。

e

假设氢原子中的 电子绕核作圆周 运动 由量子 化条件

µv + r

Fc =

2

µv 2

r

Fc

e2 = 2 r

(1)

e2 = n2 2 µr ( 2)

e2 v = µr

r 2µ 2

角动量   L =| r × p |= rµv = n

2 r0 = µe 2

( rµ v ) 2 = n 2  2

n 2 2 r= µe 2

n=1

第一Bohr轨道半径

电子的能量

2

2 e v2 = µr

(1)

n 2 2 r= µe 2

1 e ( 2) 2 E = T + V = µv − 2 r 1 e2 e2 e2 µe 4 = µ − =− =− = En 2 2 2 µr r 2r 2n  n = 1,2,3, 

根据 Bohr 量子 跃迁的概念

4 µe 4 [ E n − E m ] = 1 [ − µe ] + ν = 2 2 2 2 2π 2n  2m  h

1 1 µe 4 [ 2 − 2] = 3 n 4π m

与氢原子线光谱 的经验公式比较

ν exp = RH c[

Rydberg 常数

RH

1 1 ] − 2 2 m n µe 4 = 与实验完全一致 4π

 3 c

（3）量子化条件的推广

由理论力学知，若将角动量 L 选为广义动量，则θ为广义坐标。考虑积分 并利用 Bohr 提出的量子化条件，有

∫ Ldθ

= n ∫ dθ = 2πn = nh

索末菲将 Bohr 量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，

∫ p dq

i

i

=ni h pi 是广义动量， qi 是相应的广义坐标。

其中

这样索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子 （Li，Na，K 等）的一些原子光谱也能很好的解释。

（4）

波尔量子论的局限性

波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取 得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题 也逐渐为人们所认识

   

1. 不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦 原子的光谱； 2. 不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； 3. Bohr 只能处理周期运动，不能处理非束缚态问 题，如散射问题； 4. 从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相 容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。

§3 实物粒子的波粒二象性

   

（一）L．De Broglie 关系 （二）de Broglie 波 （三）驻波条件 （四）de Broglie 波的实验验证

（一）L．De Broglie 关系

根据Planck-Einstein 光量子论，光具有波动粒子二重性， 以及Bohr量子论，启发了de. Broglie，他 （1）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史； （2）注意到了几何光学与经典力学的相似性，提出了实物粒子（静质 量 m 不等于 0 的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子和光一样也具 有波动-粒子二重性，二方面必有类似的关系相联系。

假定：与一定能量 E 和动量 p 的实物粒子相联系的波 （他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：

• •

E = hν P = h/λ

⇒ ⇒

ν= E/h λ= h/p

•该关系称为de. Broglie关系。

（二）de Broglie 波

因为自由粒子的能量 E 和动量 p 都是常量，所以由de Broglie 关系可知， 与自由粒子联系的波的频率ν和波矢k（或波长λ）都不变，即是一个单色 平面波。由力学可知，频率为ν，波长为λ，沿单位矢量 n 方向传播的平 面波可表为：

  Ψ = A cos[ k • r − ωt ]

写成复数形式

其中 ω = 2πν，

 2π  k = n。

λ

  Ψ = A exp[i ( k • r − ωt )]

de Broglie 关系： ν= E/h ⇒ ω = 2π ν= 2πE/h = E/ λ= h/p ⇒ k = 1/  = 2π /λ = p/

i    = A exp ( p • r − Et )  

这种波就是与自由粒子相联系的单色平面波，或称为描写自由粒子的平面 波，这种写成复数形式的波称为 de Broglie 波

（三）驻波条件

为了克服 Bohr 理论带有人为性质的缺陷， de Broglie 把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和 有限空间中驻波的

波长（或频率）的分立性联系起来。

例如：氢原子中作稳定圆 周运动的电子相应的驻波 示意图 要求圆周长是 波长的整数倍

2πr = nλ n = 1,2,3,  代

入

de Broglie 关系 r

p = h

λ

nh n h = = = 2πr 2πr r n

于是角动量：

L = rp = n

n = 1,2,3, 

•de Broglie 波在1924年提出后，在1927-1928年由 Davisson 和 Germer 以及 G.P.Thomson 的电子衍射实验所证实。

入射电子注

θ

法拉第 园筒 镍单晶

θ

衍射最大值公式

d

由于电子的动量较光子大得多，因而其波长也短得多。所以想使电子发生衍 射时就需要更微小的障碍物，实验上一般是采用晶体。另外，正是由于电子 比光子更难发生衍射，电子显微镜的分辨率比光学显微镜的更高

当电子波穿过晶体的时候，被晶体中的原子散射，散射的电子波互相之间干涉所产 生的现象就是电子衍射。晶体中每个原子均会对电子进行散射，使得波长和 方向发 生变化。并且部分电子会与晶体中的原子发生能量交换作用，若电子波长发生变化， 则称为非弹性散射；若没有波长变化，则称为弹性散射。 电子衍射的图像 一般，该图像呈现规则的斑点，衍射图像是由同心圆组成的。多晶 的是一系列规则的同心圆，而非晶的是由分散的同心圆组成的。 电子衍射的应用 电子衍射用来做物相鉴定、测定原子位置等。与X射线相比，电子 更容易被物体吸收，所以更加精确，适合于研究微薄膜、小晶体。

作 业

曾谨言《量子力学导论》：1.1-1.4

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

∞, x a V ( x) =  0, 0

试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为 a, b, c

1 2 2 = ω V ( x ) m x 1.3设质量为 的粒子在谐振子势 2

的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。

1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。