等价无穷小的公式与运用+实例
06-29
无穷小就是以数零为极限的变量。
确切地说，当自变量x 无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数) 时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(1/x)=0)，则称f(x)为当x →x0时的无穷小量。
从无穷小的比较里可以知道，如果lim b/a^n=常数，就说b 是a 的n 阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即lim b/a=1，则称a 和b 是等价无穷小的关系，记作a ～b
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
1-cosx~(1/2)*（x^2）~ secx-1
(a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
(e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
loga(1+x)~x/lna
(1+x)^a-1~ax(a≠0)
等价无穷小替换的替换条件:
两个因式一定要是相乘的关系，加减不可换，因为无穷小与无穷小之和不一定是无穷小.
用泰勒公式的好处是可以迅速的确定一个式子大概的阶数是多少，就是求出主项和高阶项，用这个方法可以迅速确定极限的值，比如:
e^x=1+x+O(x^2)
limx→0{(1-e^x-x)/((2+x)sinx)}
=limx→0{(1-[1+x+O(x^2)]-x)/(x+O(x^2))*limx→0[1/(2+x)] =limx→0[-2+O(x^2)/x]/(1+O(x^2)/x]*limx→0[1/(2+x)]
limx→0O(x^2)/x=0
*左边极限为-2，右边极限为1/2
原式极限为-1.