第4章 矩阵的秩与n维向量空间
第4章 矩阵的秩与n 维向量空间
本章主要内容:n 维向量的概念与线性运算 向量组的线性相关 线性无关的
概念及其有关的重要理论 向量组的最大无关组 向量组的秩 矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 向量空间与子空间 基底与维数 向量的坐标与坐标变换公式 向量的内积 正交矩阵
教学目的及要求:理解n 维向量的概念,掌握向量的线性运算.理解向量组
的线性相关,线性无关的定义及有关的重要结论.理解向量组的最大无关组与向量组的秩,理解矩阵的秩与向量组的秩之间的关系,并掌握用初等变换求向量组的秩.理解基础解系的概念,了解n 维向量空间及子空间,基底,维数,坐标等概念.掌握向量的内积及其性质、向量的长度及其性质、正交向量、正交向量组及其性质、正交规范化方法以及正交矩阵及其性质.
教学重点:向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论;向量组
的正交规范化的方法;正交矩阵的概念及其性质.
教学难点:向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论;施密特
正交化方法及应用
教学方法:启发式 教学手段:讲解法 教学时间:8学时 教学过程:
4.1 矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征,是矩阵在初等变换下的一个不变量,它能表述线性代数变换的本质特性,矩阵的秩在研究n 维向量空间的空间结构及向量之间的相互关系中起着重要的作用.
定义4.1 设A 是一个m ⨯n 矩阵,任取A 的k 行与k 列(k ≤m , k ≤n ) ,位于这些行列交叉处的k 2个元素,按原来的次序所构成的k 阶行列式,称为矩阵A 的k 阶子式.
k
C n k 个. m ⨯n 矩阵A 的k 阶子式共有C m
定义4.2 设A 是一个m ⨯n 矩阵,如果A 中至少存在一个非零的r 阶子式D ,且所有r +1阶子式(如果存在的话)全为零,那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式,数r 称为矩阵A 的秩,记作R (A ) .
并规定零矩阵的秩等于0. 由上述定义可知:
(1)R (A ) 是A 的非零子式的最高阶数; (2)0≤R (A m ⨯n ) ≤m in{m , n };
(3)R (A T ) =R (A ) ;
(4) 对于n 阶方阵A ,有R (A ) =n ⇔A ≠0. 例4.1 求矩阵A 和B 的秩,其中
⎛2
A =0
0⎝
504
-1⎫⎛1⎪ 3,B =0⎪ ⎪ 0-2⎭⎝
2-10
3-10
-1⎫
⎪1. ⎪0⎪⎭
10
2-1
解 由于A ≠0,因此R (A ) =3.由于B 的所有3阶子式全为零,显然是B 的
一个二阶非零子式,因此R (B ) =2.
对于行、列数较多的矩阵A ,用秩的定义计算R (A ) ,有时要计算很多个行列式,工作量相当大.此时,通常用初等变换来计算R (A ) .下面介绍这种方法,为此,先证明一个很重要的定理.
定理4.1 若A ~B , 则R (A ) =R (B ) .
证 先证明:若A 经一次初等行变换变为B ,则R (A ) ≤R (B ) .
设R (A ) =r ,且A 的某个r 阶子式D ≠0.设 D 是由矩阵A 中的第i 1,i 2,…, i r 行与第j 1,j 2,…, j r 列交叉元组成的,A 经一次初等行变换变为B ,变换后的D 在B 中的位置为第i 1' ,i 2' ,…, i r ' 行与第j 1,j 2,…, j r 列,有这些行列交叉元组成的r 阶子式记作D 1,显然,D 1是由D 经过一次初等变换得到的, 从D ≠0可推出D 1≠0,从而由于B 亦可经一次初等变换变为A ,故也有R (B ) ≤R (A ) ,因此R (A ) =R (B ) . R (B ) ≥r .
r
从而,若A ~B ,则R (A ) =R (B ) .
于是,A ~B ,则A ~B T ,故R (A ) =R (A T ) =R (B T ) =R (B ) .
T
c
r
由此得证,若A ~B ,则R (A ) =R (B ) .证毕. 例4.2 设
⎛1
3
A =
2 ⎝-2
4-8-2-8
-1312
2612
2⎫⎪-1⎪ 0⎪⎪-3⎭
求R (A ) ,并求A 的一个最高阶非零子式.
解 由于
⎛1 3
A (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5) =
2 ⎝-2
r 2-r 1-r 3r 4+r 3r 3-2r 1r 4-r 2r 3-r 2
4-8-2-8
23-60
-1312
2612
2⎫⎪-1⎪ 0⎪⎪-3⎭
~
⎛1 0 0 ⎝0
4-1000
-1300
2⎫⎪-3
⎪ (b , b , b , b , b ) B ,
12345
-1⎪⎪0⎭
显然R (B ) =3,因此R (A ) =3.
可见,
⎛1 3
A 1 (a 1, a 2, a 4) =
2 ⎝-2
4-8-2-8
2⎫⎛1⎪ 6r 0⎪(b , b , b ) = ~124 01⎪⎪ 2⎭⎝0
4-1000
2⎫
⎪3
⎪ B ,
1
-6⎪⎪0⎭
显然,R (B 1) =3,所以R (A 1) =3,故A 1中必有3阶非零子式.A 1的前三行构成的子式:
142
3-86=60≠0 2
-2
1
也是A 的一个最高阶非零子式.
例4.3 设
⎛k 11⎫⎛1⎫A = 1
k 1⎪⎪,b = k ⎪
,B =(A , b ) ⎝
11
2⎪ ⎭ ⎪⎝2⎪⎭
问k 取何值,可使
(1)R (A ) =R (B ) =3;(2)R (A )
解 由于 ⎛k
111⎫r 1r 3122
⎫
r 3+r 2
r 122÷(-1)
⎛1B = ⎪r ⎛12-r 1 1
k 1k k -1-1k -2
⎪ 1-k 1 ⎪⎪-1) ⎝
11
2
2⎪r ~kr 0⎭3-1 ⎝0
1-k
1-2k
1-2k ⎪r ~ 0⎭3÷(
⎝0
2k
因此
(1) 当k ≠0且k ≠1时,R (A ) =R (B ) =3;
(2) 当k =0时,R (A ) =2, R (B ) =3, R (A )
122
⎫⎛1122⎫r -2r ⎛11232
(3) 当k =1时,
1-k 12-k ⎪⎪=
011⎪ ⎪~ 001⎝
00
2k
k +1⎪⎭ ⎝00
2
2⎪⎭ ⎝
00
R (A ) =R (B ) =2
矩阵的秩的性质:
① 0≤R (A m ⨯n ) ≤m in{m , n }. ② R (A T
) =R (A ) .
2
⎫2-k ⎪⎪
k +1⎪⎭
2⎫
1⎪⎪, 0⎪⎭
③ 若A ~B ,则R (A ) =R (B ) . ④ 若P 、Q 可逆,则R (PAQ ) =R (A ) .
⑤ max{R (A ), R (B )}≤R (A , B ) ≤R (A ) +R (B ) .特别地,当B =b 为列向量时,有
R (A ) ≤R (A , b ) ≤R (A ) +1.
证 由于A 的最高阶非零子式也是(A , B ) 的非零子式,所以R (A ) ≤R (A , B ) .同理有
R (B ) ≤R (A , B ) .从而
max{R (A ), R (B )}≤R (A , B ) .
设R (A ) =r , R (B ) =s .则A 和B 列阶梯形A 0和B 0中分别含有r 个和s 个非零列.因
c
c
c
为A ~A 0, B ~B 0,所以(A , B ) ~(A 0, B 0) .由于(A 0, B 0) 中只含有r +s 个非零列, 所以
R (A 0, B 0) ≤r +s ,而R (A , B ) =R (A 0, B 0) ,故R (A , B ) ≤r +s ,即
R (A , B ) ≤R (A ) +R (B ) .
⑥ R (A +B ) ≤R (A ) +R (B ) .
c
证 显然(A +B , B ) ~(A , B ) ,故
R (A +B ) ≤R (A +B , B ) ≤R (A , B ) ≤R (A ) +R (B )
⑦ R (AB ) ≤min{R (A ), R (B )}.
证 设R (A ) =r , R (B ) =s .又设A 的行阶梯形为A 0,B 的列阶梯形为B 0,则存在可逆矩阵P 和Q 使A =PA 0, B =B 0Q .因为AB =PA 0B 0Q ,所以
R (AB ) =R (A 0B 0) .
由于A 0有r 个非零行,B 0有s 个非零列,因此A 0B 0至多有r 个非零行和s 个非零列.故
R (A 0B 0) ≤min{r , s }=min{R (A ), R (B )},
即 R (AB ) ≤min{R (A ), R (B )}. ⑧ 若A m ⨯n B n ⨯l =O ,则R (A ) +R (B ) ≤n .
证 设矩阵 A m ⨯n 秩为r , 显然r ≤n ,对矩阵 A m ⨯n 存在可逆矩阵P m 和Q n 使
⎡E r
P m A m ⨯n Q n =⎢
⎣O
-1
O ⎤⎥ O ⎦
-1
P m A m ⨯n Q n Q n B nl =P m A m ⨯n B nl =O ,R (Q n B nl ) =R (B nl ) ,
设Q B nl =C n ⨯l
-1n
⎡C r ⨯l ⎤=⎢⎥,则 C ⎣n -r ⨯l ⎦
O ⎤⎡C r ⨯l ⎤⎡E r C r ⨯l
=⎥⎥⎢⎢
O ⎦⎣C n -r ⨯l ⎦⎣O
O ⎤
⎥=O O ⎦
⎡E r -1
P m A m ⨯n Q n Q n B nl =⎢
⎣O
所以Q B nl =C n ⨯l
-1n
⎡O ⎤=⎢⎥,C n ⨯l 至多有n 行不全为零, C ⎣n -r ⨯l ⎦
R (C n ⨯l ) =R (B ) ≤n -r
R (A ) +R (B ) =r +R (B ) ≤r +n -r =n
例4.4 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位阵, 证明:
R (A ) +R (A -E ) =n
证 由A 2=A ,知 A (A -E ) =O ,由性质8,有
R (A ) +R (A -E ) ≤n
由于A +(E -A ) =E ,由性质6,有
R (A ) +R (E -A ) ≥R (E ) =n
而R (A -E ) =R (E -A ) ,所以R (A ) +R (A -E ) =n .
4.2
n
维向量
定义4.3 n 个有次序的数a 1, a 2, , a n 所组成的数组称为n 维向量,记为
⎛a 1 a 2 a = ⎝a n
⎫⎪
⎪ 或 a T =(a , a , , a )
12n
⎪⎪⎭
其中a i (i =1, 2, , n ) 称为向量a 或a T 的第i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量. ⎛a 1 a 2
向量a =
⎝a n
⎫⎪
⎪称为列向量,向量a T =(a , a , , a ) 称为行向量.列向量用黑体小写
12n
⎪⎪⎭
字母a , b , α, β等表示,行向量则用a T , b T , αT , βT 等表示.如无特别声明,向量都当作列向量.
n 维向量可以看作矩阵,按矩阵的运算规则进行运算.
n 维向量的全体所组成的集合
R ={x =(x 1, x 2, , x n ) |x 1, x 2, , x n ∈R }
n
T
叫做n 维向量空间.
n 维向量的集合
{x =(x 1, x 2, , x n ) |a 1x 1+a 2x 2+ +a n x n =b }
T
叫做n 维向量空间R n 中的n -1维超平面.
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.
矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组;反之,一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵,例如,n 个m 维列向量所组成的向量组a 1, a 2, , a n 构成一个m ⨯n 矩阵
A m ⨯n =(a 1, a 2, , a n )
m 个n 维行向量所组成的向量组β1, β2, , βm 构成一个m ⨯n 矩阵
⎛β1T
T β2= βT ⎝m
⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎭
T T T
B m ⨯n
综上所述,含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应.
定义4.4 给定向量组A :a 1, a 2, , a m ,对于任何一组实数k 1, k 2, , k m ,表达式
k 1a 1+k 2a 2+ +k m a m
称为向量组A 的一个线性组合,k 1, k 2, , k m 称为其系数.
给定向量组A :a 1, a 2, , a m 和向量b ,如果存在一组数λ1, λ2, , λm ,使
b =λ1a 1+λ2a 2+ +λm a m ,
则称向量b 可由向量组A 线性表示.
向量b 可由向量组A 线性表示,也就是方程组
x 1a 1+x 2a 2+ +x m a m =b
有解.
例4.5 向量组
e 1=(1,0, , 0) , e 2=(0,1, , 0) , , e n =(0,0, ,1)
T
称为n 维单位坐标向量.对任一n 维向量a =(a 1, a 2, , a n ) ,有
T
T
T
a =a 1e 1+a 2e 2+ +a n e n
例4.6 设
α1=(1,2, ,1) , α2=(2,1,-1) , α3=(2,-2, -4) , β=(1,-2, -3)
T
T
T
T
证明:向量β可由向量组α1, α2, α3线性表示,并求出表示式.
证 由于
⎛1
(α1, α2, α3, β) =2
1⎝
21-1
2-2-5
1⎫⎛1⎪r -2~0⎪
-4⎪⎭⎝0
010
001
1/3⎫
⎪-2/3
⎪1⎪⎭
所以向量β可由向量组α1, α2, α3线性表示,且表示式为
β=
13
α1-
23
α2+α3
定义4.5 设有两个向量组A :a 1, a 2, , a m 及B :b 1, b 2, , b l ,若B 组中的每个向量都可由向量组A 线性表示,则称向量组B 可由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 可相互线性表示,则称这两个向量组等价.
4.3 向量组的线性相关性
定义4.6 给定向量组A :a 1, a 2, , a m ,如果存在不全为零的数k 1, k 2, , k m ,使
k 1a 1+k 2a 2+ +k m a m =0
则称向量组A 是线性相关的,否则称为线性无关.
向量组A :a 1, a 2, , a m 构成矩阵A =(a 1, a 2, , a m ) ,向量组A 线性相关,就是齐次线性方程组
x 1a 1+x 2a 2+ +x m a m =0
即A x =0有非零解.
例4.7 n 维单位坐标向量组e 1, e 2, , e n 线性无关.
证 设有数 x 1,x 2, ,x n 使 x 1e 1+x 2e 2+ +x n e n =0,即
(x 1,x 2, ,x n )=0
T
e 2, ,e n 线性无关. =x 2= =x n =0,所以e 1,故x 1,
例4.8 设β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α4, β4=α4+α1,证明:向量组 β1, β2, β3, β4线性相关.
证 由于β1+β3=β2+β4,所以向量组β1, β2, β3, β4线性相关.
例4.9 设n 维向量组A :a 1, a 2, , a m 线性无关,P 为n 阶可逆矩阵,证明:
Pa 1, Pa 2, , Pa m 也线性无关.
证 用反证法.如若不然,假设Pa 1, Pa 2, , Pa m 线性相关,则齐次方程组
x 1Pa 1+x 2Pa 2+ +x m Pa m =0
有非零解.上式两边左乘P -1可得
x 1a 1+x 2a 2+ +x m a m =0
也有非零解,于是a 1, a 2, , a m 线性相关, 这与题设相矛盾.因此Pa 1, Pa 2, , Pa m 线性无关.
下面给出线性相关和线性无关的一些重要结论.
定理4.2 向量组A :a 1, a 2, , a m (m ≥2) 线性相关的充要条件是在向量组A 中至少有一个向量可由其余m -1个向量线性表示.
证 必要性.设向量组A :a 1, a 2, , a m 线性相关,则有不全为0的数k 1, k 2, , k m (不妨设k 1≠0),使
k 1a 1+k 2a 2+ +k m a m =0
从而
a 1=-
k 2k 1
a 2- -
k m k 1
a m
即a 1可由a 2, , a m 线性表示.
充分性.设向量组A 中有某个向量可由其余m -1个向量线性表示,不妨设a m 可由
a 1, , a m -1线性表示,即有λ1, λ2, , λm -1,使
a m =λ1a 1+λ2a 2+ +λm -1a m -1
于是
λ1a 1+λ2a 2+ +λm -1a m -1+(-1) a m =0
因为λ1, λ2, , λm -1, -1这m 个数不全为0,所以向量组A 线性相关.
定理4.3 若向量组A :a 1, a 2, , a r 线性相关,则向量组B :a 1, a 2, , a r , a r +1也线性相关.换言之,若向量组B 线性无关,则向量组A 也线性无关.
证 由于向量组a 1, a 2, , a r 线性相关,所以存在不全为零的r 个数k 1, k 2, , k r ,使
k 1a 1+k 2a 2+ +k r a r =0
+k r a r +0⋅a r +=01 从而 k 1a 1+k a 2+ 2
且k 1, k 2, , k r , 0这r +1个数不全为零.因此,a 1, a 2, , a r , a r +1线性相关.
定理4.4 设向量组A :a 1, a 2, , a r 线性无关,而向量组B :a 1, a 2, , a r , b 线性相关,则向量b 必可由向量组A 唯一地线性表示.
证 由于向量组B :a 1, a 2, , a r , b 线性相关,所以存在不全为零的r +1个数
k 1, k 2, , k r , k ,使
k 1a 1+k 2a 2+ +k r a r +kb =0
如k =0,则k 1, k 2, , k r 必不全为零,于是
k 1a 1+k 2a 2+ +k r a r =0
这与向量组A :a 1, a 2, , a r 线性无关矛盾,所以k ≠0.故
b =-
k 1k a 1-
k 2k
a 2- -
k r k a r
设有b =λ1a 1+λ2a 2+ +λr a r ,b =μ1a 1+μ1a 1+ +μ1a 1两式相减,则有
(λ1-μ1) a 1+(λ2-μ2) a 2+ +(λr -μr ) a r =0
由向量组A :a 1, a 2, , a r 线性无关,λi -μi =0(i =1, 2, , r ) .即λi =μi (i =1, 2, , r ) . 所以,向量b 可由向量组A 唯一地线性表示.
定理4.5 向量组A :a 1, a 2, , a r 线性相关⇔R (A )
A :a 1, a 2, , a r 线性无关⇔R (A ) =r .
证 必要性.设向量组A :a 1, a 2, , a r 线性相关,则存在不全为零的r 个数 ,使 k 1, k 2, , k r (不妨设k r ≠0)
k 1a 1+k 2a 2+ +k r a r =0
即
a r =-
k 1k r
a 1-
k 2k r
a 2- -
k r -1k r
a r -1
对A =(a 1, a 2, , a r ) 施行初等列变换
c r +
c
k 1k r
c 1+
k 2k r
c 2+ +
k r -1k r
c r -1
可将A 的第r 列变成0,故A ~(a 1, a 2, , a r -1, 0) ,所以
R (A ) =R (a 1, a 2, , a r -1)
充分性.设R (A ) =s
a n 线性相关. (C n ⨯s ,0)使得AQ =,矩阵A 的列向量组a 1,a 2,
定理4.6 若向量组a 1, a 2, , a r 线性相关,向量组b 1, b 2, , b r 可由向量组a 1, a 2, , a r
线性表示,则向量组b 1, b 2, , b r 也线性相关.
证 向量组B :b 1, b 2, , b r 可由向量组A :a 1, a 2, , a r 线性表示,则有
B =(b 1, b 2, , b r ) =(k 11a 1+k 12a 2+ +k 1r a r , k r 1a 1+k r 2a 2+ +k rr a r )
即
⎡k 11
⎢k 12
B =(a 1, a 2, , a r ) ⎢
⎢ ⎢⎣k 1r
k 21k 22 k 2r
k r 1⎤⎥k r 2
⎥=AK ⎥⎥k rr ⎦
因为矩阵A 的列向量组线性相关,所以R (A )
R (B )=R (AK )≤R (A )〈r
故B 的列向量组 b 1, b 2, , b r 线性相关.
推论1 若向量组B :b 1, b 2, , b r , b r +s 可由向量组A :a 1, a 2, , a r 线性表示,则向量组
B :b 1, b 2, , b r , b r +s 线性相关.
'
证 显然,向量组B :b 1, b 2, , b r , b r +1可由向量组A :a 1, a 2, , a r , 0,…,0(s 个零
向量)线性表示,而向量组A ' 线性相关,由定理4.6,B :b 1, b 2, , b r , b r +s 线性相关.
推论2 n +1个n 维向量一定线性相关. 证 n +1个n 维向量组A 一定可由
e 1=(1,0, , 0) , e 2=(0,1, , 0) , , e n =(0,0, ,1)
T
T
T
线性表示,由推论1立即可的结论.
4.4 向量组的秩
矩阵的秩在讨论向量组的线性组合和线性相关性时,起了十分关键的作用.向量组的秩也是一个很重要的概念,它在向量组的线性相关性问题中同样起到十分重要的作用. 定义4.7 给定向量组A ,如果存在A 0⊂A ,满足 (1)A 0:a 1, a 2, , a r 线性无关;
(2)向量组A 中任意r +1个向量(如果A 中有r +1个向量的话) 都线性相关. 那么称向量组A 0是向量组A 的一个极大线性无关向量组(简称极大无关组),r 称为向量组
A 的秩,记作R A .
规定:只含零向量的向量组的秩为0.
极大无关组的一个基本性质是,向量组A 的任意一个极大无关组A 0:a 1, a 2, , a r 与A 是等价的.
事实上,显然A 0组可由A 组线性表示(α=α) .而由定义4.7的条件(2)知,对于A 中任一向量a , r +1个向量a 1, a 2, , a r , a 线性相关,而a 1, a 2, , a r 线性无关,由定理4.4知a 可由a 1, a 2, , a r 线性表示,即A 组可由A 0组线性表示.所以A 0组与A 组等价.
定理4.7 矩阵的秩等于其列向量组的秩,也等于其行向量组的秩.
证 设A =(a 1, a 2, , a m ) , R (A ) =r ,并设r 阶子式D r ≠0.根据定理4.5,由D r ≠0 知D r 所在的r 个列向量线性无关;又由A 中所有r +1阶子式全为零,知A 中任意r +1个列向量都线性相关.因此D r 所在的r 个列向量是A 的列向量组的一个极大无关组,所以列向量组的秩等于r .
类似可证矩阵A 的行向量组的秩也等于R (A ) .
例4.10 E :e 1, e 2, , e n 是n 维向量空间R n 的一个极大无关组,R n 的秩等于n . 极大无关组有如下的等价定义:
推论 设向量组A 0:a 1, a 2, , a r 是向量组A 的一个部分组,且满足 (1)A 0线性无关;
(2)A 中任一向量都可由A 0线性表示. 那么A 0是A 的一个极大无关组.
证 任取b 1, b 2, , b r +1∈A ,由条件(ⅱ)知这r +1个向量可由向量组A 0线性表示,从而根据定理4.6推论1,知b 1, b 2, , b r +1线性相关. 因此,A 0是A 的一个极大无关组. 设向量组A :a 1, a 2, , a m 构成矩阵A =(a 1, a 2, , a m ) ,根据向量组的秩的定义及定理
4.7,有
R A =R (a 1, a 2, , a m ) =R (A )
因此,R (a 1, a 2, , a m ) 既可理解为矩阵的秩, 也可理解成向量组的秩.
定理4.8 如向量组A 可以被和向量组B 线性表示,则R A ≤R B .
证 设向量组A 和向量组B 的极大无关组分别是a 1, a 2, , a s 与b 1, b 2, , b t ,显然
a 1, a 2, , a s 可以被b 1, b 2, , b t 线性表示,如s >t ,由定理4.6的推论1,a 1, a 2, , a s 线
性相关,与a 1, a 2, , a s 是极大无关组矛盾,所以s ≤t ,即R A ≤R B .
定理4.9 设有两个同维数的向量组A 和向量组B ,向量组C 由向量组A 和向量组B 合并而成,则向量组B 可由向量组A 线性表示的充要条件是R A =R C .
特别地,向量b 可由向量组A :a 1, a 2, , a m 线性表示的充要条件是
R (a 1, a 2, , a m ) =R (a 1, a 2, , a m , b )
证 设R (A ) =r ,并设是A 0:a 1, a 2, , a r 是A 组的一个极大无关组.
必要性. C 组由A 组和B 组合并而成,由于B 组可由A 组表示,所以C 组可由A 组表示,由定理4.8,R C ≤R A ,显然A 组可由C 组表示,所以R A ≤R C ,因此,R A =R C .
充分性.任取b ∈B .由于r =R (a 1, a 2, , a r ) ≤R (a 1, a 2, , a r , b ) ≤R C =R A =r ,故
R (a 1, a 2, , a r , b ) =r ,知向量组a 1, a 2, , a r , b 线性相关,而向量组A 0:a 1, a 2, , a r 线性
无关,由定理4.8,知b 可由A 0组表示,所以b 可由A 组表示.由b 的任意性,于是B 组可由A 组表示.
推论 设A 和B 是两个同维数的向量组,向量组C 由向量组A 和向量组B 合并而成,则向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是 R A =R B =R C .
例4.11 设n 维向量组A :a 1, a 2, , a m 构成n ⨯m 矩阵A =(a 1, a 2, , a m ) . 证明:任一n 维向量可由向量组A 线性表示的充要条件是R (A ) =n .
证 必要性.由于任一n 维向量可由向量组A 线性表示,故向量组e 1, e 2, , e n 可由向量组A 线性表示,从而根据定理4.9有R (A ) =R (A , E ) .而
n ≤R (E ) ≤R (A , E ) ≤n ,
所以R (A , E ) =n ,因此R (A ) =n .
充分性.设β是任一n 维向量,由于n =R (A ) ≤R (A , β) ≤n , 故R (A ) =R (A , β) ,所以由定理4.9知β可由向量组A 线性表示.
例4.12 设矩阵
⎛1 4A =
3 ⎝2
-24-75
1-84-7
07-36
-2⎫⎪7⎪ 0⎪⎪5⎭
求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.
解 由于
⎛1 r 0 A (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5) ~ 0 ⎝0
0100
-1-100
0010
4⎫⎪3
⎪ (b , b , b , b , b ) B
12345
-3⎪⎪0⎭
而方程A x =0与B x =0同解,即方程
x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3+x 4a 4+x 5a 5=0 与x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3+x 4a 4+x 5a 5=0
同解,因此向量a 1, a 2, a 3, a 4, a 5之间与向量b 1, b 2, b 3, b 4, b 5之间有相同的线性关系.而
b 1, b 2, b 4是b 1, b 2, b 3, b 4, b 5的一个极大无关组,且
b 3=-b 1-b 2, b 5=4b 1+3b 2-3b 4
所以a 1, a 2, a 4是a 1, a 2, a 3, a 4, a 5的一个极大无关组,且
a 3=-a 1-a 2, a 5=4a 1+3a 2-3a 4
4.5 向 量 空 间
前面把n 维向量的全体所构成的集合R n 称为n 维向量空间.本节介绍向量空间的一般概念.
定义4.8 设V 为n 维向量的集合,若V 非空,且对于加法及数乘两种运算封闭,即:
∀α, β∈V , ∀λ∈R 有α+β∈V , λα∈V .则称V 为向量空间.
定义4.9 设有向量空间V 1及V 2,若V 1⊂V 2,就称V 1是V 2的子空间. 例4.13 R n 是一个向量空间.
例4.14 集合V ={x =(x 1, x 2, , x n -1, 0) T |x 1, x 2, , x n -1∈R }是一个向量空间.它是R n 的一个子空间.
例4.15 集合V ={x =(x 1, x 2, , x n -1, 2) T |x 1, x 2, , x n -1∈R }不是一个向量空间. 定义4.10 设V 为向量空间,如果α1, α2, , αr ∈V 满足 (1)α1, α2, , αr 线性无关;
(2)V 中任一向量都可由α1, α2, , αr 线性表示.
那么,向量组α1, α2, , αr 就称为向量空间V 的一个基,r 称为向量空间V 的维数,并称V 为r 维向量空间.
例4.16 设有n 维向量组α1, α2, , αm ,集合
V ={x =λ1α1+λ2α2+ +λm αm |λ1, λ2, , λm ∈R }
是一个向量空间.α1, α2, , αm 的任一最大无关组是V 的一个基.向量空间V 称为由向量组α1, α2, , αm 所生成的向量空间.
例4.17 设向量组A :α1, α2, , αm 与向量组B :β1, β2, , βs 等价, 记
V 1={x =λ1α1+λ2α2+ +λm αm |λ1, λ2, , λm ∈R } V 2={x =μ1β1+μ2β2+ +μs βs |μ1, μ2, , μs ∈R }
则V 1=V 2.
容易得出如下结论:
(1)若向量空间V 没有基,则V 的维数为0.0维向量空间只含一个零向量.
V =R . (2)若向量空间V ⊂R ,则V 的维数不会超过n ,并且,当V 的维数为n 时,
n
n
(3)若向量组α1, α2, , αr 是向量空间V 的一个基,则
V ={x =λ1α1+λ2α2+ +λr αr |λ1, λ2, , λr ∈R }
⎛1 3
例4.18 设A =(α1, α2, α3) =
2 ⎝2
3746
4⎫⎪9
⎪,求由向量组α, α, α所生成的向量空
123
5⎪⎪8⎭
间的一个基和维数,并将α1, α2, α3中的非基向量用这个基线性表示.
解 由于
⎛1 3A =
2 ⎝2
3746
4⎫⎛1⎪ 9r 0⎪ ~5⎪ 0⎪ 8⎭⎝0
0100
-1/2⎫
⎪3/2
⎪ 0⎪
⎪0⎭
所以α1, α2, α3所生成的向量空间的维数是2,α1, α2是这个向量空间的一个基,且有
α3=-
12
α1+
32
α2
例4.19 在R n 中取定一个基α1, α2, , αn ,再取一个新基β1, β2, , βn ,设
A =(α1, α2, , αn ) , B =(β1, β2, , βn )
求用α1, α2, , αn 表示β1, β2, , βn 的表示式(基变换公式),并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).
解 由
(α1, α2, , αn ) =(e 1, e 2, , e n ) A
得
(e 1, e 2, , e n ) =(α1, α2, , αn ) A
-1
故
(β1, β2, , βn ) =(e 1, e 2, , e n ) B =(α1, α2, , αn ) A B
-1
即基变换公式为
(β1, β2, , βn ) =(α1, α2, , αn ) P
其中:表示式的系数矩阵P =A -1B 称为从旧基到新基的过渡矩阵.
设向量γ在旧基和新基中的坐标分别为a 1, a 2, , a n 和b 1, b 2, , b n ,即
⎛a 1
a 2
γ=(α1, α2, , εn )
⎝a n
⎫⎛b 1⎪
b
⎪,γ=(β, β, , β) 2
12n
⎪ ⎪ ⎭⎝b n
⎫
⎪⎪ ⎪⎪⎭
则
⎛a 1 a 2 A ⎝a n ⎫⎛b 1⎫⎪ ⎪
b 2
⎪=B ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
b ⎭⎝n ⎭
于是
⎛b 1
b 2 ⎝b n
⎫⎛a 1⎪
a -1⎪=B A 2
⎪ ⎪ ⎭⎝a n
⎫
⎪⎪, ⎪⎪⎭
即
⎛b 1 b 2 ⎝b n
⎫⎛a 1⎪
a
⎪=P -1 2⎪ ⎪ ⎭⎝a n
⎫
⎪⎪ ⎪⎪⎭
这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式.
4.6 向量的内积 正交矩阵
定义 4.11 设有n 维向量x =(x 1, x 2, , x n ) T ,y =(y 1, y 2, , y n ) T ,令
[x , y ]=x 1y 1+x 2y 2+ +x n y n
称[x , y ]为向量x 与y 的内积.
当x 与y 都是列向量时,有[x , y ]=x T y .
内积具有下列性质(其中x , y , z 为n 维向量,λ为实数): (1)[x , y ]=[y , x ] ; (2)[λx , y ]=λ[x , y ] ; (3)[x +y , z ]=[x , z ]+[y , z ];
(4)当x =0时,[x , x ]=0;当x ≠0时,[x , x ]>0.
这些性质可根据内积定义直接证明. 定义4.12 令
||x ||=x , x ]=
22
x 12+x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n
称x 为n 维向量x 的长度(或范数). 当x =1时, 称x 为单位向量. 向量的长度具有下述性质:
(1)非负性 当x ≠0时,x >0;当x =0时,x =0; (2)齐次性 λx =λ⋅x ; (3)三角不等式 x +y ≤.
证 (1)与(2)是显然的,只需证明(3).因为
x +y
2
=[x +y , x +y ]=[x , x ]+2[x , y ]+[y , y ]≤x
2
+2x ⋅y +y
2
=(x +y )
2
所以
x +y ≤x +y
上面证明中用到了许瓦兹不等式.即当x ≠0,y ≠0时,
[x , y ]||x ||⋅||y ||
≤1
事实上,由于
ϕ(t ) [tx +y , tx +y ]=t [x , x ]+2t [x , y ]+[y , y ]≥0
2
因此
∆=4([x , y ]-[x , x ][y , y ])≤0
2
而x ≠0,y ≠0,所以
[x , y ]||x ||⋅||y ||
≤1.
由上述可得如下的定义:
(1) 当x ≠0,y ≠0时,θ=arccos
[x , y ]||x ||⋅||y ||
称为n 维向量x 与y 的夹角.
(2)当[x , y ]=0时,称向量x 与y 正交.显然,若x =0,则x 与任何向量都正交. 定理4.10 若n 维向量α1, α2, , αr 是一组两两正交的非零向量,则α1, α2, , αr 线性无关.
证 设有λ1, λ2, , λr ,使
λ1α1+λ2α2+ +λr αr =0
以αi T 左乘上式两端,得λi αi T αi =0,因αi ≠0,故
αi αi =i
T
2
≠0
从而必有λi =0(i =1, 2, , r ) .于是向量组α1, α2, , αr 线性无关.
定义4.13 设n 维向量e 1, e 2, , e r 是向量空间V (V ⊂R n ) 的一个基,如果e 1, e 2, , e r
两两正交,且都是单位向量,则称e 1, e 2, , e r 是V 的一个规范正交基. ⎛1⎫⎛2⎫⎛2⎫
1 1 1 ⎪⎪⎪
例如,e 1= -2⎪, e 2= -1⎪, e 3= 2⎪就是R 3的一个规范正交基.
3 3 3 ⎪⎪⎪-22⎝⎭⎝⎭⎝-1⎭
为了计算方便,我们常常需要从向量空间V 的一个基α1, α2, , αr 出发,找出V 的一个规范正交基e 1, e 2, , e r , 使e 1, e 2, , e r 与α1, α2, , αr 等价.这样一个问题,称为把α1, α2, , αr 这个基规范正交化.
施密特正交化 设α1, α2, , αr 是向量空间V 中的一个基,首先将α1, α2, , αr 正交化:
β1=α1 β2=α2-
[β1, α2][β1, β1]
β1
, βr =αr -
[β1, α r [β1, β
1
β1-
]
]
β[2α, r β[2β, 2
β2- -
]
]β
-r 1
[α, r
βr -[1βr -, 1
β
-r
1
]]
然后将β1, β2, , βr 单位化:
e 1=
1||β1||
β1, e 2=
1||β2||
β2, , e r =
1||βr ||
βr
容易验证,e 1, e 2, , e r 是V 的一个规范正交基,且与α1, α2, , αr 等价.
上述从线性无关向量组α1, α2, , αr 导出正交向量组β1, β2, , βr 的过程称为施密特正交化过程.它满足:对任何k (1≤k ≤r ) ,向量组β1, β2, , βk 与α1, α2, , αk 等价.
例4.20 试用施密特正交化过程将线性无关向量组
α1=(1,1,1), α2=(1,2, 3) , α3=(1,4, 9)
T
T
T
规范正交化. 解 取
⎛1⎫⎛-1⎫
[β, α2] ⎪ ⎪
β1=α1=1, β2=α2-1β1=0,
⎪ ⎪[β1, β1] 1⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎛1⎫
1 ⎪
β3=α3-β1-β2=-2
⎪[β1, β1][β2, β2]3 1⎪⎝⎭
[β1, α3]
[β2, α3]
再取
⎛1⎫⎛-1⎫⎛1⎫β3β1β2⎪⎪⎪
e 1==1,e 2==0,e 3==-2
⎪⎪⎪||β1||||β2||||β3||1⎪1⎪1⎪⎭
⎭
⎭
e 1, e 2, e 3即为所求.
定义4.14 若n 阶方阵A 满足A T A =E (即A -1=A T ), 则称A 为正交矩阵,简称正交阵.
正交阵有下述性质:
(1)若A 为正交阵,则A -1=A T 也是正交阵,且A =±1;
(2)若A 和B 都是正交阵,则A B 也是正交阵;
(3)方阵A 为正交阵的充要条件是A 的n 个列(行)向量构成向量空间R n 的一个规范正交基.
证 性质(1)、(2)显然成立.下面证明性质(3). 只就列向量加以证明.设A =(a 1, a 2, , a n ) ,因为
⎛a 1T T a 2T
A A =
a T ⎝n
⎫⎪
⎪(a , a , ⋅⋅⋅, a )
n
⎪12⎪⎪⎭
所以
A A =E ⇔(a i a j ) =(δij )
T
T
即A 为正交阵的充要条件是A 的n 个列向量构成向量空间R n 的一个规范正交基. 定义4.15 若P 为正交阵,则线性变换y =Px 称为正交变换. 设y =Px 为正交变换,则有
||y ||=
=
=
=||x ||
由此可知,经正交变换两点间的距离保持不变,这是正交变换的优良特性.
4.7 秩的计算、向量的正交化实验
1.矩阵秩的计算
矩阵秩的计算是调用函数rank ()
>> A=[-10,4,-6,8;4,-1,6,-2;5,7,9,-6;0,9,6,-2] A =
-10 4 -6 8 4 -1 6 -2 5 7 9 -6 0 9 6 -2
>> rank(A ) ans = 3
向量组 a ,b ,c ,d 的秩可用下列语句求出: >> rank([a b c d])
2.向量组的线性相关性与最大无关组
对于一个m 个向量组A 是否线性相关,我们可以通过求向量组的秩来判断,如果rank(A)=m,则线性无关,如果rank(A)
例如,键入a ,b ,c ,d 四个向量 >>a=[1 -1 2 4]'; >>b=[0 3 1 2]'; >>c=[-3 3 7 14]'; >>d=[4 -1 9 18]';
将a ,b ,c ,d 并为一个矩阵u : >>u=[a b c d] >>rank(u) ans =
3
u 的秩为3,所以组a ,b ,c ,d 线性相关.
而使用下列语句,不仅可以求出u 的行标准阶梯矩阵,还给出了线性无关向量组在原矩
阵中的列数,这实际上就是最大无关组.
[uip]=rref(t ) u=
1 0 0 4 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
ip =
1 2 3
这表明u 中第1,2,3列向量线性无关,即向量a ,b ,c 线性无关 3.向量的内积与正交性
(1)求两个向量a ,b 的内积,可把a 设为行向量,将b 设为列向量,a 与b 作矩阵乘法求出a 与b 的内积.
>>a=[1 2 -3 4]'; >>b=[2,-3 4 8]'; >>p =
16
(2)求向量a 的模可调用函数 norm () >> norm(a) ans = 5.4772
(3)求向量 a 和b 之间的交角 >>thita=acos((a*b')/(norm(a)*norm(b))) thita =
1.2630
要将线性无关的向量组 a ,b ,c ,d 化为标准正交基,可先将向量组并为一个矩阵u ,再调用正交分解程序 [Q,R]=qr(),结果将矩阵u 分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵的乘积.Q 中前4个行向量,相当于施密特正交化方法得到的标准正交向量,加上最后一行补充的标准正交向量,构成五维线性空间的标准正交基.
例如将线性无关的向量组a ,b ,c ,d 正交化,先对a ,b ,c ,d 赋值:
>>a=[1 -1 -1 1 1]'; >>b=[2 1 4 -4 2]'; >>c=[5 -4 -3 7 1]'; >>d=[3,2 4 6 -1]’;
再补充一个与a ,b ,c ,d 线性无关的向量e : >>e=[2 3 1 5 6]’;
合并个向量,再调用语句[Q,R]=qr[u] >>u=[a b c d e] >>[Q,R]=qr(u) u =
1 2 5 1 3 -1 1 -4 2 3 -1 4 -3 -2 3 1 -4 7 3 -1 1 2 1 3 -1 Q =
-0.4472 -0.5000 -0.5000 -0.0245 -0.5472
0.4472 -0.0000 0.0000 -0.8320 -0.3283 0.4472 -0.5000 -0.5000 0.0245 0.5472 -0.4472 0.5000 -0.5000 -0.3915 0.3830 -0.4472 -0.5000 0.5000 -0.3915 0.3830 R =
-2.2361 2.2361 -8.9443 -3.1305 2.2361 0 -6.0000 2.0000 0.5000 -3.0000 0 0 -4.0000 0.5000 -3.0000 0 0 0 -4.0866 -1.7129 0 0 0 0 -1.7510 验证:Q ⋅Q =E >> Q'*Q
T
ans =
1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 1.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0 1.0000