非寿险精算课后习题答案(中精-主编 韩天雄)

第一章 1T

S = 2T

σ==5.6569 3T

=0.09811

E (R p ) =14%,σp =25%,βp =1.1, E (R m ) =12.5%,σm =20.2%,R F =2.6% Treynor 度量值=

E (R p ) -R F

βp σp

=0.1036=0.456

Sharpe 度量值=

E (R p ) -R F

Jensen 's alpha 度量值=E (R p ) -{R F +βp [E (R m ) -R F ]}=0.0051 4T

Treynor 度量值= Sharpe 度量值=

E (R m ) -R F

βm σm

=0.099=0.4091

E (R m ) -R F

Jensen 's alpha 度量值=E (R m ) -{R F +βm [E (R m ) -R F ]}=E (R m ) -E (R m ) =0 5T

Jensen 's alpha 度量值=E (R p ) -{R F +βp [E (R m ) -R F ]}=-1.2% 6T

ξ0.95=10, ξ0.9=10, ξ0.8=0

7T

P (X ≤ξ0.99) =0.99

⎛X -33ξ0.99-33⎫P ≤⎪=0.99

109⎭⎝109

⎛ξ-33⎫

Φ 0.99 ⎪=0.99

⎝109⎭ξ0.99-33

=2.326109

ξ0.99=286.53 8T

θ⎧

E (X ) ==33⎪r -1⎪⎨2

θr 2⎪Var (X ) ==109 ⎪ 2

(r -1) (r -2) ⎩

⎧θ=39.6599

⎨

⎩r =2.2018

⎛θ⎫

F (x ) =1- ⎪

⎝θ+x ⎭

r

r

⎛θ⎫1- ⎪=0.95⎝θ+Q 0.95⎭

Q 0.95=114.95

⎛θ⎫

1- ⎪=0.99

θ+Q 0.99⎭⎝

Q 0.99=281.48 9T

r

E (X ∧Q p )=⎰

Q p

[1-F (x ) ]dx =⎰0

⎫⎪⎪⎭

r -1

Q p

⎛θ⎫ ⎪dx θ+x ⎝⎭

r

⎛θθ⎡⎢=1-

r -1⎢ θ+Q p

⎣⎝⎤⎥⎥⎦

CTE p =Q p +

1

⎡E (X ) -E (X ∧Q p ) ⎤⎦1-p ⎣

⎫

⎪⎪⎭

r -1

⎧⎛θ1⎪θθ⎡⎢ =Q p +-1- ⎨

1-p ⎪r -1r -1⎢ θ+Q p

⎣⎝⎩

1θ⎛θ

=Q p +∙∙

1-p r -1 ⎝θ+Q p

⎫

⎪⎪⎭

r -1

⎤⎫⎥⎪⎬ ⎥⎪⎦⎭

θ=39.66, r =2.20, Q 0.95=114.95, Q 0.99=281.48 ∴CTE 0.95=243.60

CTE 0.99=548.70

15T

CTE p =E ⎡⎣X |X >Q p ⎤⎦=

11-p ⎰Q p +∞

1⎛x -μ⎫

- ⎪2⎝σ⎭

2

dx

2

1⎛x -μ⎫1⎛x -μ⎫⎤ - +∞⎪⎪1⎡+∞-2 σ2⎝σ⎭⎝⎭⎢⎰=dx +⎰dx ⎥

Q Q p p 1-p ⎢⎥⎣⎦

2

=

1⎛Q p -μ⎫

- ⎪⎪2 ⎝σ⎭

2

+

μ

1-p

(1-p )

P (X ≤Q 0.95) =0.95⎛Q -33⎫

Φ 0.95⎪=0.95

109⎝⎭Q -33 0.95 =1.645

109

Q 0.95=212.29

∴CTE 0.95=257.89

第二章 2T

（1）从表中可以得出索赔额组中值X i 和索赔频率f i

X =∑x i f i =1216

i =1

10

X 2=∑x i f i =1841600

2

i =1

-10

由题知X ~LN (u ，σ2) ，对数正态分布的期望和方差如下：

E (X )=

u +

σ2

22u +σ2

Var (X )=e

根据矩估计法可知：

∧

(e

)

σ2

-1

)

e

u +

σ2

2

2

=1216

e 2u +σe σ

由此可以求得：

(

2

2n

-1=(X -X 2) =605. 482

n -1

u =6. 99

σ=0. 47

⎛ln x -u 4000-u ⎫

⎪（2）P ln >4000=P =1-φ(2. 748)=0. 27% σ>⎪σ⎝⎭

∧

(

x

)

3T

每份保单赔款次数X 服从泊松分布，X 的概率密度函数为： f (x )=e

-λ

λk

k !

(k =0，1, 2，3)

n

由极大似然估计可以得到：λ=

n

∧

∑X

i =1

i

n

=X

而且X =∑x i f i =0. 1965

i =1

所以λ=0. 1965 5T

∧

韦伯分布的分布函数为：F (X )=1-e -cx

r

令

1-e -cx =0. 21-e

-cx r

r

=0. 7

1r

解得韦伯分布的20%和70%分位数：

⎛-ln (0. 8)⎫x 0. 2= ⎪

c ⎝⎭⎛-ln (0. 3)⎫

x 0. 7= ⎪

c ⎝⎭

1

r

根据观测数据可以知道 ：

x 0. 2=0. 2x 0. 7=0. 8

1r

令

⎛-ln (0. 8)⎫ ⎪=0. 2

c ⎝⎭⎛-ln (0. 3)⎫ ⎪=0. 8

c ⎝⎭

1

r

解得

c =1. 35

r =1. 12

7T

指数分布的概率密度函数为f (x )=λe

-λx

，由极大似然估计得到λ=

∧

11= 2200X

1

的指数分布 22001

H 1：赔款额分布不服从参数λ=的指数分布

2200x 2分布检验的检验假设：H 0：赔款额分布服从参数λ=

显著水平α=0. 005，查自由度为n -k -1=6-1-1=4的x 2分布表， 得到分位数14.86，所以拒绝域为x 2≥14. 86 赔款额落在0~100的理论概论为：P (0≤X ≤1000)=

1000

⎰

1-2200

dx =0. 3653 2200

x

同理可得E 2=231. 8 E 3=147. 2 E 4=93. 4 E 5=59. 3 E 6=103

x 2=∑

i =1

6

(Q i -E i )2

E i

=331. 89≥14. 86

在拒绝域范围内，所以拒绝原假设H 0，不能用指数分布模拟个别理赔分布。

8T

假设实际赔款平均额为u 0=1200美元，正态分布假设检验：

H 0：u 0≤1200

H 1：u 0≤1200

量为：Z =σ2 未知的大样本检验统计

X -u

，假定α=0. 05 则Z a =1. 645，拒绝域为Z >1. 645

. 7 根据样本数据得到： n=1243 u=1200 s=1497.31 X

=1283

Z =

1283.7-1200

=1.971>1.645

即拒绝原假设，实际赔款额大于假定的平均赔款额，也就是说有证据说明该公司假定的平均赔款额太低了。 9T

θ的先验分布为Bate(2,200)，损失随机变量的分布服从参数为θ的二项分布 则θ的后验分布为：

Bate (∑X i +a ，nm -∑X i +β) ， 即Bate (5，300-3+200)

θ的后验分布均值为参数θ的贝叶斯估计：

θ=E (θX ) =

10T

∧

a +∑x i a +β+nm

=

5 502

(α, β) 由此可得： X i ~P (λ) λ~Gamma

E (λ)=0. 6=

αβαβ2

解得

Var (λ)=0. 02=

α=18

β=30

λ的后验分布为Gamma (∑X i +α, n +β) =Gamma (36, 70) 平方损失下λ的贝叶斯估计为后验分布的数学期望E (λX ) = 11T

k k

()f x =C （1）赔款次数服从二项分布： n θ(1-θ)

n -k

36

=0. 514370

因为θ~U (0, 1) 所以π(θ)=1

33

因为f (θ|x ) =∏f (x i |θ)=C 8θ(1-θ)

5

i =1n

则π(θ|x ) =

f (θ|x ) π(θ)

⎰

1

f (θ|x ) π(θ)d θ

=

33

C 8θ(1-θ)10

38

3

5

⎰C θ(1-θ)d θ

5

=

θ3(1-θ)5

⎰θ(1-θ)d θ

3

5

1

=Beta (4，6)

（2）当θ~f (θ)=2(1-θ) 1

π(θ|x ) =

f (θ|x ) π(θ)

⎰

1

f (θ|x ) π(θ)d θ

=

33

2C 8θ(1-θ)(1-θ)

5

⎰2C θ(1-θ)d θ

3

8

3

6

1

=

θ3(1-θ)6

⎰θ(1-θ)d θ

3

6

1

=Beta (4，7)

第三章 非寿险费率厘定 1T

该保单期限为6个月，所以所投保的车辆是0.5个危险单位。由于该保单是在2009年签订的，所以2010年的已签危险量为0。2009年10月1日参加保险则在2010年的有效期间为3/6=0.5，因此2010年已承担危险量为0.5*0.5=0.25。另外，该保单到2010年仍然有效，因而有效危险量为0.5。 2T

（1）2006年至2008年在2009年7月1日费率下各年均衡已赚保费分别为： 2006年：1.9×3570+3.2×1620+1.2×5820+2.3×1280=21895元 2007年：1.9×4230+3.2×1910+1.2×6320+2.3×1320=24769元 2008年：1.9×5100+3.2×2200+1.2×6930+2.3×1500=28496元 则均衡已赚保费之和为：21895+24769+28496=75160元 （2）依题意可知：W=L/ER=54867/75160=0.73 而T=0.6 则调整因子为A=W/T=0.73/0.6=1.2167 3T

费率水平相对值： 2006年之前：1

2006年10月1日至2007年10月1日：1.1 2007年10月1日至2008年10月1日：1.188 2008年10月1日以后：1.3068

20469×1.30273+23543×1.2161+28300×1.11983=86987.39元 4T

将相邻年间的进展因子求算术平均，即为选定因子

5T

6T

G=40000/500000=0.08

V=(200000+20000+50000)/1000000+45000/900000=0.32 Q=0.05

则目标损失率T=(1-V-G)/(1+G)=(1-0.32-0.05)/(1+0.08)=0.5833

7T

1.42868/1.65)=1.0526

冲销因子为1/f=1/1.0526=0.9500285 (2)各级别下的新费率

级别1 1.2×1.15×1.0526=1.452588 级别2 1.452588×1.28915=1.8726 级别1 1.452588×1.4287=2.07528

第四章 非寿险费率校正

2T

由E （X3）=β+βE(X1)+βE(X2) 012

Cov (X1,X3)= βCov (X1,X1)+ β Cov (X1,X2) 12

Cov (X2,X3)= β Cov (X1,X2)+ βCov (X2,X2) 12

可得：4=β+β+2β ① 012

2=β+ β ② 12

3=β1+2β2 ③

联立以上各式，求得β0=β1=β2=1

所以第三年的信度保费为1+X1+X2

3T

依题意可设X1、X2分别为两份保单的赔款的随机变量，则由它们三年的观测值可计算得到：

X 1=(3+5+7)/3=5 X 2=(6+12+9)/3=9

结构参数的估计

μ =(5+9)/2=7

ν=((3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(6-9)^2+(12-9)^2+(9-9)^2)/((3-1) ×2)=6.5 a=((5-7)^2+(9-7)^2)/(2-1)-6.5/3=35/6

信度因子z=n/(n+v/a)=3/(3+6.5×6/35)=0.729

则两份保单的Buhlmann 保费的估计值分别为：

P1=(1-0.729)×7+0.729×5=5.542

P2=(1-0.729)×7+0.729×9=8.458

5T

设X1、X2分别为两份保单赔款次数的随机变量，则

X 1= (7+13+11+9)/4=10 X 2= (14+17+16+17)/4=16

结构参数的估计

μ =(10+16)/2=13

ν=((7-10)^2+(13-10)^2+(11-10)^2+(9-10)^2+(14-16)^2+(17-16)^2+(16-16)^2+(17-16)^2)/((4-1)×2)=13/3

a=((10-13)^2+(16-13)^2)/(2-1)-13/3/4=203/12

信度因子z=n/(n+v/a)=4/(4+13×12/(203×3))=0.9398

则两份保单的信度保费的估计值分别为：

P1=1000×((1-0.9398)×13+0.9398×10)=10180.6

P2=1000×((1-0.9398)×13+0.9398×16)=15819.1

7T

r=2,n1=n2=3

x11=9000/30=300 x12=12000/50=240 x13=18200/70=260

m11=30 m12=50 m13=70 m1=m11+m12+m13=150

X 1=（9000+12000+18200）/150=261.33

x21=25000/100=250 x22=26000/130=200 x23=30000/120=250 m21=100 m22=130 m23=120 m2=m21+m22+m23=350

X 2=(25000+26000+30000)/350=231.43

结构参数的估计

μ =(261.33×150+231.43×350)/(150+350)=240.4

ν=(-261.33)^2+50*(240-261.33)^2+70*(260-261.33)^2+100*(250-231.43)^2+130*(200-231.43)^2+120*(250-231.43)^2)/((3-1)+(3-1))=68004.7625

a=(150*(261.33-240.4)^2+350*(231.43-240.4)^2-(2-1)*68004.7625)/(500-(150^2+350^2)/500) =123.1728

则第一组的信度因子和第四年的信度保费分别为：

Z1=m1/(m1+v/a)=150/(150+68004.7625/123.1728)=0.2136

P1=80×((1-0.2136)×240.4+0.2136×261.33)=19589.65

第二组的信度因子和第四年的信度保费分别为：

Z2=m2/(m2+v/a)=350/(350+68004.7625/123.1728)=0.388

P1=100×((1-0.388)×240.4+0.388×231.43)=23691.964

10T

转移概率矩阵：

一年后等级

0% 30% 50%

初始0% 1-p 0

0p 0 0 等级30% 1-p 0 p

p 0

50% 0 1-

p 0 0

11T

无赔款发生的概率P0=P(X=0|=λ=0. 05) = -0. 05=0.9512

若有10000个投保人投保，且全部享受最高折扣率优待，则一年后仍然享有50%折扣率的人数为10000⨯0. 9512=9512人，在30%折扣率上的人数有10000-9512=488人。

若都续保，则一年后各个折扣率等级的人数分别为：

0%折扣率：488⨯（1-0.9512）=24人

30%折扣率：9512⨯（1-0.9512）=464人

50%折扣率：9512×0.9512+488×0.9512=9512人

从该NCD 系统的转移矩阵可得方程组如下：

π1=(π1+π2)(1-

103p ) 0π=πp +π2(1-

0p ) 0π=(π+π) p π+π+π=1323123

求得稳定分布：π1=1+p -2p 1-p +p 0

0002 p p

1-p +p p =π1-+p p π2=30-020202 02

00

则若10000投保人年年续保，则在0%、30%、50%折扣率等级上的稳定人数为25人、487人和9488人。

假设全额保费为100元，则人均保费为：

（25×100+487×70+9488×50）/10000=51.099元

所享受的折扣率为：（100-51.099）/100=48.901%

12T

无赔款发生的概率

将p 0=P(X=0|=λ=0. 15) = -0. 15=0.861 p 0带入练习11求得的稳定分布中，可得在0%、30%和50%折扣率上的稳定人

数为219人、1360人和8421人。

人均保费为：（219×100+1360×70+8421×50）/10000=53.815元

所享受的折扣率为：（100-53.815）/100=46.185%