一元二次方程的整数整数解(含答案)-
竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解
在数学课外活动中,在各类数学竞赛中,一元二次方程的整数解问题一直是个热点,它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合,涉及面广,解法灵活,综合性强,备受关注,解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有:
从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解;
从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△=k 2) ,通过穷举,逼近求解;
从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解;
从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解.
注:一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关.
【例题求解】
【例1】若关于x 的方程(6-k )(9-k ) x 2-(117-15k ) x +54=0的解都是整数,则符合条件的整数是的值有 个.
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型未指明,故须按一次方程、二次方程两种情形讨论,这样确定是的值才能全面而准确.
注:系数含参数的方程问题,在没有指明是二次方程时,要注意有可能是一次方程,根据问题的题设条件,看是否要分类讨论.
【例2】 已知a 、b 为质数且是方程x 2-13x +c =0的根,那么
A .[1**********]1 B . C . D . 22222222b a +的值是( ) a b
思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式,结合整数性质求出a 、b 、c 的值.
【例3】 试确定一切有理数r ,使得关于x 的方程rx 2+(r +2) x +r -1=0有根且只有整数根. 思路点拨 由于方程的类型未确定,所以应分类讨论.当r ≠0时,由根与系数关系得到关于r 的两个等式,消去r ,利用因式(数) 分解先求出方程两整数根.
【例4】 当m 为整数时,关于x 的方程(2m -1) x 2-(2m +1) x +1=0是否有有理根? 如果有,求出m 的值;如果没有,请说明理由.
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数.
设△=(2m +1) 2-4(2m -1) =4m 2-4m +5=(2m -1) 2+4=n 2(n 为整数) 解不定方程,讨论m 的存在性.
注:一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a≠0) 而言,方程的根为整数必为有理数,而△=b 2-4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件.
【例5】 若关于x 的方程ax 2-2(a -3) x +(a -13) =0至少有一个整数根,求非负整数a 的值. 思路点拨 因根的表示式复杂,从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难,又因a 的次数低于x 的次数,故可将原方程变形为关于a 的一次方程.
学历训练
1.已知关于x 的方程(a -1) x 2+2x -a -1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a 有.
2.已知方程x 2-1999x +m =0有两个质数解,则m =.
3.给出四个命题:①整系数方程ax 2+bx +c =0(a≠0) 中,若△为一个完全平方数,则方程必有有理根;②整系数方程ax 2+bx +c =0(a≠0) 中,若方程有有理数根,则△为完全平方数;③无理数系数方程ax 2+bx +c =0(a≠0) 的根只能是无理数;④若a 、b 、c 均为奇数,则方程ax 2+bx +c =0没有有理数根,其中真命题是.
4.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2a -1) x +a 2=0 (a 为整数) 的两个实数根是x 1 、x 2,则x 1-x 2
5.设rn 为整数,且4
6.已知方程ax 2-(3a 2-8a ) x +2a 2-13a +15=0 (a≠0) 至少有一个整数根,求a 的值.
7.求使关于x 的方程kx 2+(k +1) x +k -1=0的根都是整数的k 值.
8.当n 为正整数时,关于x 的方程2x 2-8nx +10x -n 2+35n -76=0的两根均为质数,试解此方程.
9.设关于x 的二次方程(k 2-6k +8) x 2+(2k 2-6k -4) x +k 2=4的两根都是整数,试求满足条件的所有实数k 的值.
10.试求所有这样的正整数a ,使得方程ax 2+2(2a -1) x +4(a -3) =0至少有一个整数解.
11.已知p 为质数,使二次方程x 2-2px +p 2-5p -1=0的两根都是整数,求出p 的所有可能值.
'、x 2',且12.已知方程x 2+bx +c =0及x 2+cx +b =0分别各有两个整数根x 1、x 2及x 1
'x 2' >0. x 1x 2 >0,x 1
'
13.如果直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程mx 2-2x -m +1=0的根(m 为整数) ,这样的直角三角形是否存在? 若存在,求出满足条件的所有三角形的三边长;若不存在,请说明理由.
参考答案