高二数学知识点总结大大全(必修)

高二数学知识点总结大全(必修)

第1章 空间几何体1

1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图

11 三视图：

正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤：

（1）. 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）. 平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）. 画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

2 圆柱的表面积 S =2πrl +2πr

2

3 圆锥的表面积S =πrl +πr 2

4 圆台的表面积S =πrl +πr 2

+πRl +πR 2

5 球的表面积S =4πR 2

（二）空间几何体的体积 1柱体的体积 V =S 底⨯h 2锥体的体积 V =

1

3S 底⨯h

3台体的体积 V =1

S 上+S 上S 下+S 下) ⨯h

34球体的体积 V =43

πR 3

第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1

1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450

，且横边画成邻边的2倍长（如D C

图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面A

B

α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个

顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

- 1 -

符号表示为

A ∈L

B ∈

α A ∈α B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A

、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2

作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：

P

∈α∩β =>α∩β=L，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

A

B

简便，点O 一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；

L

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

· C ·

·

a α a∩α=A a∥α

2.2. 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：

a α

b β∥α a ∥b

- 2 -

共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线

a ∥b c ∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：

① a'与b' 所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了

=>a∥c

2

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a β b β

a ∩

∥α a ∥α

b ∥α

2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：

a ∥α

a βb α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：

α∥β

α∩γb

- 3 -

β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义

如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L ⊥α，直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点P 叫做垂足。

L

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭

β

B

α

2α-l-β或α-AB-β

线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 特别地, 当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.

当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°) 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母k 表示, 也就是 k = tanα

⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在, 但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2, 用两点的坐标来表示直线P1P2的斜3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

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第三章 直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直

3.3.1两直线的交点坐标

3.2.1 直线的点斜式方程

1、给出例题：两直线交点坐标

L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0

1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点P 0(x 0, y 0) ，且斜率为k

y -y 0=k (x -x 0)

2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0, b )

y =kx +b

3.2.2 直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点P 1(x 1, x 2), P 2(x 2, y 2) 其中

(x 1≠x 2, y 1≠y 2)

y -y 1y =x -x 1≠x 2, y 1≠y 2)

2-y 1

x (x 12-x 1

2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A (a , 0) ，与y 轴的交点为B (0, b ) ，其中a ≠0, b ≠0

3.2.3 直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于x , y 的二元一次方程Ax +By +C =0（A ，B 不同时为0）

2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式

解：解方程组 ⎧3x +4y -2=0

⎨

⎩

2x +2y +2=0 得 x=-2，y=2

所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2）

3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式

P 1P 2=

3.3.3 点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：

点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离为：d =Ax 0+By

+C

A 2

+B

2

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：Ax +By +C 1=0，l C 1-C 22：Ax +By +C 2=0，则l 1与l 2的距离为d =

A 2

+B

2

第四章

圆与方程

4.1.1 圆的标准方程

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1、圆的标准方程：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2

圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程

2、点M (x 222

0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的关系的判断方法： （1）(x 2

2

2

0-a ) +(y 0-b ) >r ，点在圆外 （2）(x 2

2

2

0-a ) +(y 0-b ) =r ，点在圆上 （3）(x 2

2

0-a ) +(y 0-b ) 2

1、圆的一般方程：x 2+y 2

+Dx +Ey +F =0

2、圆的一般方程的特点：

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线l ：ax +by +c =0，圆C ：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，圆的半径为r ，圆心(-D ) 2, -E 2

到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几

点：

（1）当d >r 时，直线l 与圆C 相离； （2）当d =r 时，直线l 与圆C 相切； （3）当d

4.2.2 圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当l >r 1+r 2时，圆C 1与圆C 2相离；

（2）当l =r 1+r 2时，圆C 1与圆C 2外切；

（3）当|r 1-r 2|

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将

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平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1空间直角坐标系

1、点M 对应着唯一确定的有序实数组(x , y , z ) ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标

2、有序实数组(x , y , z ) ，对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组(x , y , z ) 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M (x , y , z ) ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。 4.3.2空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点P 1(x 1, y 1, z 1) 到点P 2(x 2, y 2, z 2) 之间的距离公式

y

x

P 1P 2=(x 21-x 2) +(y 1-y 2) 2+(z 1-z 2

2)

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