浅谈采用聚点的概念定义多元函数极限的利弊
第14卷第3期 工 科 数 学V o l . 14,N o. 31998年6月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CS FO R T ECHNOLO GY Jun . 1997
浅谈采用聚点的概念定义多元函数极限的利弊
杨 访 顾 强
(中国药科大学, 南京210009)
极限的概念是微积分学的基础, 如何合理引入和定义这一概念对于《高等数学》的教学显得较为重要. 对于一元函数的极限而言, 通常可通过数列的极限问题引入直观的极限的概念, 并抽象出数列极限的“Ε2语言, 进而通过空心邻域的概念导出一元函数的极限的一般概念N ”
(Ε2∆语言) . 由于此时学生刚开始接触有关函数极限的理论, 且数直线上的点集相对较为简单, 在一元函数的极限理论中不引入聚点的概念是适合的. 目前国内的绝大多数高等数学教材均采用这一方法加以处理. 对于多元函数而言, 由于平面或空间的点集较数直线上的点集要复杂得多, 有关多元函数极限概念的讨论也相应地复杂了. 目前国内的教材基本上采用两种方法来定义多元函数的极限. 一种是沿用一元函数的方法采用空心邻域的概念加以定义, 另一种是采用聚点的概念加以定义.
为讨论方便, 以二元函数为例, 给出二元函数极限的两种定义如下:
定义1 设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某一邻域内有定义(点P 0可以除外) . 如果对于任意给定的正数Ε, 总存在正数∆, 使得对于适合不等式:
(x -x ) 2+(y -y 0) 2
的一切点P (x , y ) , 所对应的函数值f (x , y ) 都满足不等式:
f (x , y ) -A
定义2 设函数z =f (x , y ) 的定义域为D , 点P 0(x 0, y 0) 是D 的聚点. 如果对于任意给定的正数Ε, 总存在正数∆, 使得对于适合不等式:
0
的一切点P (x , y ) ∈D , 都有不等式:
f (x , y ) -A
成立, 则称A 为函数z =f (x , y ) 当x →x 0, y →y 0时的极限.
以下就我们在高等数学教学中的体会谈谈这两种定义的利弊.
一、在极限问题的讨论中
11定义1的好处在于它和一元函数极限的定义具有一致性. 因此由一元函数导出的一些极限运算的结果可方便地应用于多元函数中.
定义1的不足在于其对函数存在极限的前提条件要求较高. 因而给一些函数的极限的讨论造成不便.
例如:对于二元函数的极限计算问题:
(x -y ) sin li m x →0x -y y →0
第3期 杨访等:浅谈采用聚点的概念定义多元函数极限的利弊
由于二元函数f (x , y ) =(x -y ) sin 165在直线y =x 上无定义, 因而在点P 0(x 0, y 0) =x -y
(0, 0) 的任一空心邻域内总存在无意义的点. 由定义1不能讨论此二元函数的极限问题. 然而从运算角度看, 如作代换t =x -y , 则当x →0, y →0时, t →0, 从而有:
(x -y ) sin =li li m m t sin =0. x →0t →0x -y t y →0
可见此二元函数的极限是存在的. 而若采用定义2则不会出现这一问题. 此外, 由定义1也不便于定义函数在其定义域的边界点上的极限.
21定义2的好处在于它对函数存在极限的前提条件要求低. 它只要求函数f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的任一空心邻域内含有使得f (x , y ) 有意义的点就可以了. 这样其应用范围较定义1广得多. 由定义2可方便地讨论函数在其定义域的边界点处的极限问题. 此外, 利用定义2可将连续型变量的极限过程和离散型变量的极限过程以及多元函数的极限和一元函数的极限概念都统一起来, 从而加深对极限过程的理解.
定义2的不足在于需事先引入聚点这一较难理解的概念, 且在一元函数的极限问题的叙述中未采用这一概念, 从而会在概念的衔接上产生一些问题.
例如:对二元函数的极限计算问题:
(x 2+y 2) sin li m x →0
y →0sin 22x +y
显然, 点P 0(x 0, y 0) =(0, 0) 是二元函数f (x , y ) 的定义域D 的一个聚点. 由定义2, 讨论这一极限的计算问题是有意义的. 然而在计算时却需要用到一元函数中有关有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小这一结果, 令Θ=
(x 2+y 2) sin li m x →0
y →0x +y , 则当x →0, y →0时有, Θ→0, 且22sin 22x +y 2=li m Θsin Θ→0sin Θ(k =1, 2, 3, …) 处均无定义, 即在Θ=0的任一空心邻k sin Θ
域内总存在使此一元函数无意义的点. 因而依照一元函数的极限定义不能讨论这一函数极限2然而, 一元函数Θsin 在Θ=问题, 自然就不能确定其极限值为0.
此外, 在一元函数中所建立的极限四则运算法则并不能直接应用于由定义2所给出的二元函数的极限运算中.
例如:若li m f (x , y ) =A , li m g (x , y ) =B , 并不能保证总有:x →x x →x 0
y →y 00y →y 0
x →x 0
y →y 0li m [f (x , y ) ±g (x , y ) ]=x li m f (x , y ) ±x li m g (x , y ) =A ±B . →x →x 0y →y 00y →y 0
(x y >0) ; g (x , y ) =反例:取f (x , y ) =, (x y
P 0(x 0, y 0) =(0, 0) .
显然, P 0(x 0, y 0) 是函数f (x , y ) , g (x , y ) 的定义域的聚点. 且有
li m f (x , y ) =li m x →0x →0
y →0y →0xy =li m x →0
y →0xy xy =0,
166 工科数学 第14卷
li m g (x , y ) =li m x →0x →0
y →0y →0=li m →0-xy x
y →0
-xy =0, -xy -xy 但P 0(x 0, y 0) =(0, 0) 并不是函数f (x , y ) ±g (x , y ) =sin xy xy ±
的聚点. 因而
li m [f (x , y ) ±g (x , y ) ]=li m sin xy x →0x →0
y →0y →0xy ±-xy
不存在. 自然不会有:
li m x →0y →0xy ±=li ±li m =0. m x →0x →0-xy xy -xy y →0y →0
显然, 欲保证这一极限运算法则在定义2下的多元函数的极限运算中仍成立, 还需加上P 0(x 0, y 0) 仍是函数f (x , y ) ±g (x , y ) 的聚点才行. 而对积和商的极限运算法则也需作相应的补充说明, 在叙述上常常是不方便的.
二、在函数的连续性的理论中
多元函数的连续性的概念是由多元函数的极限的概念来定义的. 对应于多元函数的极限二种不同的定义, 其连续性的定义也相应不同.
由定义1可相应地给出二元函数的连续性的定义为:
定义3 设函数z =f (x , y ) 在开区域D 内有定义, 点P 0(x 0, y 0) 是D 的内点. 如果:
li m f (x , y ) =f (x 0, y 0) , x →x 0y →y 0
则称函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处连续.
由定义2可相应地给出二元函数的连续性定义为:
定义4 设函数z =f (x , y ) 的定义域为D , 点P 0(x 0, y 0) ∈D 是D 的聚点. 如果:
li m f (x , y ) =f (x 0, y 0) , x →x 0y →y 0
则称函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处连续.
11定义3的好处在于它和一元函数的连续性的定义是一致的, 因而不易造成概念上的矛盾和漏洞. 故一些在一元函数中所导出的结果(如连续函数的四则运算性质等) 可方便地平移至多元函数中来.
定义3的不足在于其不能解释函数在闭区域的边界点上的连续性, 也不便于说明函数在其定义域上的连续性, 这样在讨论具体问题时会发生解释上的麻烦. 例如:对于函数
(x -y ) sin , x 2+y 2≠0, x -
y f (x , y ) =
220, x +y =0,
其定义域为D ={(x , y ) , (0, 0) x -y ≠0}
因为点(0, 0) 是D 的边界点而非内点, 因而依据定义3无法讨论该函数在点(0, 0) 处的连续性. 若补充函数在边界点上的连续性的定义(视相应的点的邻域为定义域D 与该邻域的交集) , 则可确认(0, 0) 是该函数的一个连续点. 然而这种补充定义并非总是无可挑剔的. 例如, 考
第3期 杨访等:浅谈采用聚点的概念定义多元函数极限的利弊虑函数
f (x , y ) =167co s (x 2+y 2) -1,
其定义域为D ={(x , y ) x 2+y 2=2k Π, k 为正整数}.
显然依据定义3无法讨论这一函数在其定义域D 上的任何一点的连续性, 而若依据其在边界点上的补充定义, 此函数f (x , y ) 在其定义域上的每一点都是连续的. 但此时这一补充定义已近乎将定义3转化为定义4. 这样, 多元函数在闭区域上的连续性实际上为双重定义. 即在闭区域的内点上采用定义3, 而在边界点上采用定义4, 这显然是不合适的.
21定义4的好处在于它可以一般性定义函数在一点集E 上的连续性, 从而对函数在闭区域的边界上的连续性及定义域上的连续性都可方便地加以解释.
定义4的不足在于它和一元函数的连续性的定义不完全对应. 因而会在一些问题的讨论中造成矛盾. 例如, 对于函数:
(x 2+y 2) sin , x 2+y
2≠0, sin () , =22f x y x +y
0, x +y =0. 22
依据定义4, 该函数在点P 0(x 0, y 0) =(0, 0) 处是连续的. 而由二元函数的连续性的概念知道:此函数在点(0, 0) 处必然关于单个变量x , y 也是连续的. 然而关于单变量连续的概念只能依据一元函数的连续的定义, 这样便产生了矛盾. 因为当x =0时, 一元函数
2y sin , y ≠0, sin f (0, y ) =2y
0, y =0
在y =0处并不是连续的, 且进一步可知, 只要P 0(x 0, y 0) 仅是f (x , y ) 的定义域内的聚点而非内点时, 这种矛盾时常是要发生的.
三、在微分学理论中
偏导数的概念对应于连续型变量均匀变化的极限过程, 因而偏导数的概念只能通过点的邻域进行定义, 而不能采用聚点的概念进行定义. 即对于偏导数这一极限过程不涉及两种定义方法的问题. 但是若已采用了聚点的概念定义了多元函数的极限和连续性, 则在涉及函数f (x , y ) 的偏导函数f x (x , y ) , f y (x , y ) 在一点P 0(x 0, y 0) 处的连续性时, 需约定它们在点P 0(x 0,
. 否则, 由聚点所定义的f x (x , y ) , f y (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处的y 0) 的某个邻域内总是有定义的
连续性, 将不能导出f x (x , y ) , f y (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某个邻域内的存在性, 这样势必导出一些错谬的结果. (由于有关这一问题的例子篇幅较大, 这里略去了) .