高三第三次月考试题及答案

高三第三次月考 数 学试 卷

时量120分钟 总分150分

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1、在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则a 9-

A ．14

B ．15

C ．16

2、设锐角θ满足tan(θ+π) =3+22，则cos θ值是

4

A ．

1

a 11的值为（ ） 3

D . 17

（ ）

2 2

B ．

3 2

C ．

3 3

D ．

6 3

3、如图1所示四个图象：

与下列所给3件事吻合最好的图象顺序为 （ ） ①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学 ②我骑着车以常速行驶，在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间 ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速 A ．（1）（2）（3） B ．（2）（3）（4） C ．（3）（4）（1） D ．（4）（1）（2） 4、函数y =sin x 的定义域为[a , b ]，值域为[-1, ]，则b -a 的最大值和最小值之和为（ ）

1

2

4π8πA ． B ．2π C ． D ．4π

33

5、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9=-36，S 13=-104，等比数列{b n }中，b 5=a 5，

b 7=a 7，则b 6的值 （ ）

A ．42 B ．-42 C ．±42 D ．无法确定

6、使关于x 的不等式x ++k

A ．(-∞, -1) B ．(-∞, 1) C ．(-1, +∞) D ．(1, +∞)

7、已知函数y =-sin

π

3

x 在区间[0, t ]上至少取得2个最大值，则正整数t 的最小值是（ ）

B ．10

C ．11

D ．12

A ．9

8、已知函数y =f (x ) 满足：①y =f (x +1) 是偶函数；②在[1, +∞)上为增函数. 若x 10, 且x 1+x 2f (-x 2) B . f (-x 1)

C . f (-x 1) =f (-x 2) D . f (-x 1) 与f (-x 2) 的大小关系不能确定 3

9、已知定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x ) =-f (x +) ，且f (-2) =f (-1) =-1，f (0) =2，则

2

f (1) +f (2) + +f (2005) +f (2006) = （ ）

A . －2 B . －1 C . 0 D . 1

10、已知函数y =f (x ) 的定义域为R ，它的反函数为y =f -1(x ) ，且满足

f -1(x ) =f -1(x +1) +1, f (1)=1，则f (2)的值为 （ ）

A ．1

B ．0

C ．-1

D ．-2

二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11、已知全集I=R,

集合A ={x |y =

________________

B ={x |x 2-7x +12≤0},则A （C I B ）= 12、已知全集U ={0,1,2,3,4,5}，集合M ={0,3,5}, M

集合N 共有__________个。

([

U

N )={0,3}，则满足条件的

f (x 2) 1

13、已知函数y =f (x ) 的定义域是[0,2],且f () =-1, 那么函数g (x ) =的定义域是

1+f (x +1) 10

_________________

14、函数f (x ) =sin x +2|sin x |,x ∈[0, 2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，

则k 的取值范围是_________

15、数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足关系式S n =na n +2n -2n (n ∈N ) , 则

2

*

a 100-a 10=__________

三、解答题

16、（本小题满分12分）已知函数f (x ) =（1）化简f (x ) ，并求f (

sin 4

x x x x

+4cos 2-cos 4+4sin 2 2222

25π

) ； 6

（2）若0

α

2

17、（本小题满分12分）已知A =x x 2+2x -8≥0, B =x -3x ≤2x +19，

{}

{}

C =x x 2-4ax +3a 2≤0，若(A ⋂B ) ⊆C ，求实数a 的取值范围．

18、（本小题满分14分）某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当

1

(x -40) 2+100地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润P =-160万元。当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入

159119

(60-x ) 2+(60-x ) 万元。问从10年的累积利润看，该规划x 万元，可获利润Q =-1602方案是否可行？

{}

⎧2(1-x ) (0≤x ≤1)

19、（本小题满分14分）已知f (x ) =⎨．

x -1(1

记f 1(x )=f (x ),

*

f k +1(x )=f ⎡⎣f k (x )⎤⎦(k ∈N )

（1）解不等式：f (x ) ≤x ；

（2）设集合A ={0, 1, 2}，对任意

x ∈A ，证明：f 3(x ) =x ；

（3）求

8

f 2006() 的值；

9

（4）若集合B =x f 12(x ) =x , x ∈[0, 2]，证明：B 中至少包含有8个元素．

20、（本小题满分14分）已知函数f (t )=log2t , t ∈[2,8] (1)求f (t ) 的值域G ；

(2)若对于G 内的所有实数x ，不等式-x +2mx -m +2m ≤1恒成立，求实数m 的取值范围.

21、（本小题满分14分）已知数列{a n }与{b n }满足下列关系：

2

2

{}

a 1=2a (a >0), a n +1

a +a 1a 2

(n ∈N *) ． =(a n +) ，b n =n

a -a 2a n n

a n -a ；

a n +1-a

4

) a 是否有确定的大小关系？3

(1)求数列{b n }的通项公式，并化简

(2) 设S n 是数列{a n }的前n 项和，当n ≥2时，S n 与(n +若有，请并加以证明，若没有，请说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1、C 2、D 3、D 4、B 5、C 6、A 7、C 8、A 9、A 10、B 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11、（2，3） 12、8 13、 [-1, -三、解答题 16、解（1）f (x ) =

99

) (-, 1]. 14、 1

sin 4

x x x x

-4sin 2+4-cos 4-4cos 2+4„„„2分 2222

x x x x

-2|-|cos 2-2|=(2-sin 2) -(2-cos 2) „„„„„„„„„„„3分 2222x x

=cos 2-sin 2=cos x „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

22=|sin 2

∴f (

25π25ππ) =cos =cos =. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 6662

（2）由f (α) +f () =0得cos α+cos

αα

2

2

=0.

即2cos

2

α

2

+cos

α

2

-1=0。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

∴cos

1

=. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分

222

απα1

2222

απ2π∴=, α=. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 233

17、 解：A ={x |x ≥2或x ≤-4} 2分；B ={x |-2≤x ≤3} 4分；

A B ={x |2≤x ≤3} 6分；

C ={x |(x -a )(x -3a ) ≤0}且(A ⋂B ) ⊆C ∴a >0 ∴C ={x |a ≤x ≤3a } 10分 ⎧a ≤2

⇒1≤a ≤2 11分， 所以a 的范围是[1,2] 12分 ∴⎨

⎩3a ≥3

=-1, 或cos

18、解：在实施规划前，由题设P =-可获得最大利润100万元。

则10年的总利润为W 1=100×10=1000（万元）。 3分

1

(x -40) 2+100知，每年投入30万元时，有最实施规划后的前5年中，由题设P =-160大利润P max =

795

（万元）。 8

1

(x -40) 2+100（万元），知每年只须投入40万，即160

αα

前5年的利润和为

7953975

（万元）。 6分 ⨯5=

88

设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而用剩下的（60－x ）万元于外地区的销售投资，则其总利润为

11592119

W 2=[-(x -40) 2+100]⨯5+(-x +x ) ⨯5 =-5(x -30) 2+4950。 10分

1601602

当x =30时，W 2|max =4950（万元）。

3975

从而10年的总利润为。 13分 +4950（万元）

8

3975

+4950>1000，故该规划方案有极大实施价值。 14分 8

23

23

19、 解：（1）①当0≤x ≤1时，由2(1-x ) ≤x 得，x ≥．∴≤x ≤1． ②当1＜x ≤2时，因x -1≤x 恒成立．∴1＜x ≤2．

2

由①，②得，f (x ) ≤x 的解集为{x |≤x ≤2}．（3分）

3

（2）∵f (0) =2，f (1) =0，f (2) =1，

∴当x =0时，f 3(0) =f (f (f (0))) =f (f (2)) =f (1) =0； 当x =1时，f 3(1) =f (f (f (1))) =f (f (0)) =f (2) =1； 当x =2时，f 3(2) =f (f (f (2))) =f (f (1)) =f (0) =2． 即对任意x ∈A ，恒有f 3(x ) =x ．（6分） （3）f 1() =2(1-) =

8

9892， 9

888214

f (f 2() =f (f ()) =f () =，3)

99999

8

9

89

59

59

814145

=f (f 2()) =f () =-1=，

9999

8

，„„ 9

f 4() =f (f 3()) =f () =2(1-) =

88

一般地，f 4k +r () =f r () （k ，r ∈N ）．

99

8814

f 2006() =f 2() =(10分)

999

2222222

（4）由（1）知，f () =，∴f n () =．则f 12() =．∴∈B ．

3333333

∴

由（2）知，对x =0，或1，或2，恒有f 3(x ) =x ，∴f 12(x ) =f 4⨯3(x ) =x ． 则0，1，2∈B ．

由（3）知，对x =

82145

，，， ，恒有9999

f 12(x ) =f 4⨯3(x ) =x ，

∴，，

8929145

，∈B ． 99

82145

综上所述，2，0，1，2，，，，∈B ．

39999

∴B 中至少含有8个元素．（10分）

20、解：(1)∵f (t )=log2t 在t ∈[2, 8]上是单调递增的，∴log 22≤log 2t ≤log 28.

11

3］. ≤f (t ) ≤3. ∴f (t ) 的值域G 为［，

22

1

3］上恒成立 (2)由题知—x 2+2mx —m 2+2m ≤1在x ∈［，21

3］上恒成立. ⇔x 2-2mx +m 2-2m +1≥0在x ∈［，21

3］. 令g (x )=x 2-2mx +m 2-2m +1,x ∈［，2

即

只需g min (x ) ≥0即可.

„4分

„„5分

12

111

(1) 当m ≤时,g min (x )=g ()=-3m +m 2+1≥0. ∴4m 2－12m +5≥0.

22451

解得m ≥或m ≤.

221∴m ≤. „„8分

21

(2) 当

21

解得m ≤.

21

这与

23］. 而g (x )=(x -m ) 2-2m +1,x ∈［，

(3) 当m ≥3时，g min(x )=g (3)=10+m 2-8m ≥0. 解得m ≥4+6或m ≤4-6.

而m ≥3, ∴m ≥4+6.

„„13分 14分

综上，实数m 的取值范围是(-∞，

1

). ∪[4+，+∞] 2

a n +a 1a 2

21、解：（1）∵b n =(n ∈N *) ，a n +1=(a n +) ，

a n -a 2a n

∴ b n +1

1a 2

(a n +) +a

a n +1+a 2a n (a n +a ) 22====b >0， „„„ 3分 n 22

a n +1-a 1a (a n -a )

(a n +) -a 2a n

∴ lg b n +1=2lg b n ，又 b 1=

a 1+a n -12n -1

，∴ =3lg b n =(lg3) ⋅2⇒b n =3„ 6分

a 1-a

∴ a n =

33

2n -12n -1

+1-1

a ，∴

n -1a n -a 2a n

==b n +1=32+1 „„„ 8分

a n +1-a a n -a

（2）当n ≥2时，a n +1-a =∴ a 3-a ≤

a n -a 32

n -1

+1

≤

1

）„10分 (a n -a ) （当且仅当n =2时取“=”

10

111

(a 2-a ) , a 4-a

1

[S n -1-a 1-(n -2) a ]， ∴ S n -a 1-a 2-(n -2) a

5

∵ a 1=2a , a 2=a ，

465

a -10(n -2) a

6132+1251234

∴S n

2n -1

189(3-1) 189183

n -1