弹性模量计算公式

文档可能在WAP 端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT ，或下载源文件到本机查看。 第三章 压弯构件的失稳 轴力偏心作用的构件或同时受轴力和横向荷载作用的构件称为压弯构件. 由于压弯构件兼有 受压和受弯的功能, 又普遍出现在框架结构中, 因此又称为梁柱. 钢结构中的压弯构件多数是截面至少有一个对称轴, 且偏心弯矩作用在对称平面的单向偏心 情况. 对单向偏心的压弯构件, 有可能在弯矩平面内失稳, 即发生弯曲失稳; 也有可能在弯矩作 用平面外失稳, 即弯扭失稳. 其弯曲失稳为第二类稳定问题, 即极值点失稳; 其弯扭失稳对理想 的无缺陷的压弯构件属于第一类稳定问题, 即分支点失稳, 但对实际构件则是极值点失稳. 对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件, 在两端作用有轴线压力 P 和使构件产生 同向曲率变形的弯矩 M, 如果在其侧向有足够的支撑 (如图 3.1(b)),构件将发生平面内的弯 曲失稳, 其荷载― 挠度曲线如图 3.2(a)中曲线 a, 失稳的极限荷载为 Pu, 属于极值点失稳. 图 3.1 两端简支理想压弯构件 图 3.2 压弯构件荷载变形曲线 如果在侧向没有设置支撑(如图 3.1(c),则构件在荷载 P 未达到平面内极限荷载 Pu 时, ) 可能发生弯扭失稳, 即在弯矩作用平面内产生挠度 v, 在平面外剪心产生位移u, 并绕纵轴产生 扭转角 (如图 3.1(d),其荷载-变形曲线如图 3.2(b)中曲线 b, 属于分支点失稳, 失稳 ) 的分荷载为 Pyw, ,且 Pyw 3. 1 压弯构件平面内失稳 对压弯构件, 当弯矩作用平面外有足够多支撑可以避免发生弯扭失稳时, 若失稳则只可能发 生平面内弯曲失稳. 当用弹性理论分析理想压弯构件的荷载挠度关系, 可以得到图 3. 3 中的二阶弹性曲线 b, 它 以轴心受压弯构件的分岔点荷载 PE 处引出的水平线 a 为渐近线. 实际压弯构件存在初始缺陷(残余应力、几何缺陷), 材料为弹塑性体. 如按弹塑性理论分析, 荷载挠度曲线将是图中曲线 OABC. 曲线上 A 点标志着杆件中点截面边缘开始屈服, 对应的荷 载为 Pe, 随后塑性向截面内部发展, 构件变形快速增加, 形成 OAB 上升段, 构件处于稳定平衡 状态;B 点为曲线的极值点, 对应的荷载 Pu 为构件在弯矩作用平面内失稳的极限荷载; 到达 B 点以后, 由于弹性区缩小到导致构件抵抗力矩的增加小于外力矩的增加程度, 出现下降段 BC, 52 构件处于不稳定平衡状态. 由失稳全过程可以看出实际压弯构件在弯矩作用平面内的弯曲失稳属 于二阶弹塑性分析的极值点失稳, 不能用弹性理论和平衡微分方程求解极限荷载 Pu, 而可用数 值积分法通过得出荷载挠度曲线后求得极限荷载. 压弯构件平面内弯曲失稳的

弹性分析虽然不能求出极限荷载, 但它是弹塑性分析的基础, 因 此有必要先研究压弯构件平面内弹性失稳. 图 3 .3 压弯构件荷载挠度曲线 3.1.1 压弯构件平面内弹性弯曲性能 在第二章讨论初始几何缺陷对轴心受压构件稳定性能的影响时, 对图 2.13 所示有偏心的轴 心受压杆已作过分析, 即当作偏心压弯构件得出了荷载 P 与构件中点挠度δ 之间的关系曲线. 从式(2.48)中可以看出, 若假设材料是无限弹性体, 则当δ →∞时,P→PE,即临界荷载 P 以欧 拉荷载 PE 为极值. 然而实际材料都是有限弹性的, 由于压弯构件平面内弯曲失稳时, 构件为弹 塑性工作状态, 因此弹性分析只有理论意义. 下面仅讨论两端铰接受轴向压力和平面内横向荷载共同作用的弹性压弯构件的内力与变形 性能. 1. 横向均布荷载作用的压弯构件 横向均布荷载作用的压弯构件 图 3.4(a)所示 为在均布荷载 q 作用下两端铰接的压弯构件. 假定材料完全弹性, 取图 3. 4(c) 所示隔离体, 在距左端 x 处截面的内力矩 M f = EIy ′′ ,外力矩 M e = Py + qx (l x ) 2 ,平衡方程 为 令 k = P EI ,则 2 EIy ′′ + Py = qx(l x ) 2 qx( x l ) 2 EI 2 方程 (3. 1)的特解可写作 y = c1 x + c 2 x + c 3 ,代入方程( 3. 1 ) ,有 y ′′ + k 2 y = (3.1) (Pc1 q 2)x 2 + (Pc 2 + ql 2)x + Pc3 + 2 EIc1 = 0 上式是恒等式, 故 53 c1=q∕(2P) ,c2= -q l ∕(2P) 2 ,c3= -EIq∕P 2 方程( 3. 1 )对应的齐次线性方程 y 〃+k y =0 的通解可写作 y =Asin kχ +Bcos kχ , 则方程 ( 3. 1 ) 的通解为 2 2 y= Asin kχ +Bcos kχ + qχ ∕(2P)-q l χ ∕(2P)-EIq/ P (3.2) 由边界条件 y(0) =0 , y( l )=0 得 A= EIq∕P tg (κ l ∕2) , 2 B=EIq∕P 2 则 q kl qx tg sin kx + cos kx 1 2 (l x ) k EI 2 2k EI 构件在 x = l 2 处有最大挠度 y max , 令 u = kl 2 ,可得 y= 4 (3.3) y max = ql 4 1 cos u ql 4 16 EIu 4 cos u 32 EIu 2 12(2 sec u u 2 2) = y0 5u 4 (3.4) 式中: y 0 = 5ql 4 (384 EI ) 是均布荷载作用下简支梁的最大挠度, 即当 P=0 时, 由式 ( 3. 4 ) 求得 的最大挠度. 式( 3. 4 ) 中括号内的值为考虑轴线压力后最大挠度的放大系数. 图 3.4 均布荷载作用的压弯构件 将 sec u 展开成幂级数, 有 sec u = 1 + 式中 1 2 5 4 61 6 277 8 u + u + u + u + 2 24 720 8064 u= kl l = 2 2 P π = EI 2 P PE 则式( 3. 4 )可写成 y max = y 0 1 + 1.034(P PE ) + 1.0038(P PE ) + ≈ y 0 2 [ ] 1 1 P PE (3.5) 式中 Am = 1 / (1 P / PE ) 是最大挠度的放大系数. 构件中点的最大弯矩为 = Am y0 54 1.028 P PE M max = ql 2 8 + Py max = M 0 1+ 1 P PE β mM = 1 P P = Am M 0 E (3.6) 式中 M 0 = ql 2 8 是均布荷载作用下简支梁跨中的最大弯矩; β m 为等效弯矩系数; Am 为弯矩放大 系数,

用以考虑轴压力 P 产生的二阶效应. 2. 横向集中荷载作用的压弯构件 由图

3.5(c)知, 当 0

A = sec (kl 2), 则通解 2 Pk Q kl y= sec sec kx kx 2 Pk 2 令 u = kl 2, 当 x = l 2 时, 跨中最大挠度为 ymax = (3.8) tgu = u + u 3 3 + 2u 5 15 +17u 7 315 + 将 u = kl 2 = π 2 P PE 代入, 则式( 3. 9 )可改写为 y max = y 0 1 + 0.987(P PE ) + 0.986(P PE ) + ≈ y 0 2 [ 图 3.5 跨中集中荷载作用的压弯构件 ] 式中 1 (1 P / PE ) 为最大挠度放大系数. 跨中最大弯矩为 1 1 P PE (3.10) M max = Ql 4 + Py max = Ql Pl 2 1 + 4 12 EI (1 P PE ) 55 1 0.178 P PE β m M 0 = =M0 (3.11) 1 P P 1 P P = Am M 0 E E 式中 M 0 = Ql 4 是集中荷载作用下简支梁最大弯矩; β m 为等效弯矩系数; 弯矩放大系 数 1 0.2 P PE . Am ≈ 1 P PE 对于弹性压弯构件, 根据各种荷载作用和支撑情况, 可以计算出跨中弯矩 M max 的表达通式 β mM (3.12) M max = 1 P PE 再考虑初始缺陷的影响, 假定各种缺陷的等效初弯曲呈跨中挠度为ν 0 的正弦曲线, 则在任意横 向荷载或端弯矩作用下跨中总弯矩应为 β M + Pν 0 (3.13) M max = m 1 P PE 当压弯构件长度中点截面边缘纤维达到屈服时, 其应满足 P β m M + Pν 0 + = fy A (1 P PE )W 令( 3. 14)中 M = 0 ,则得到有初始缺陷的轴心压杆边缘纤维屈服时的表达式 P0 P0ν 0 + = fy A (1 P0 PE )W 因为 P0 = Af y ( 为轴心压杆稳定系数) ,则由式( 3. 15 )得 (3.14) (3.15) ν 0 = 11 PE A 将式( 3. 16 )代入( 3. 14 ),整理得由边缘纤维屈服导出的相关公式 β mM P + = fy A W (1 P PE ) 其中等效弯矩系数 β m 取值见表 3.1. 3.1.2 压弯构件平面内弹塑性弯曲失稳 从图

3.3 可以看出, 当压弯构件截面边缘纤维开 始屈服, 构件进入弹塑性阶段后, 随着外荷载的增加, 截面弹性区越来越小, 构件抗弯刚度降低, 变形加快, 以至构件抗弯能力增加小于外力作用效应的增加, 达 到极限状态时(图 3.3 极值点 B) ,内外力开始无法 平衡, 构件发生平面内弹塑性整体失稳. 由于压弯构件的截面形状, 尺寸和外力作用方式 等不同, 弯曲失稳时构件塑性发展的范围可能只出现 在图 3.6 (a) 所示的阴影区, 即弯曲凹面受压的一侧; 也可能如图 3.6(b)所示,

在受压凹面和受拉凸面同 时出现塑性区; 对单轴对称截面压弯构件, 塑性区也 可能只出现在受拉凸面的一侧, 图 3.6(c)所示. 1 Af y W (3.16) (3.17) 图 3.6 压弯构件弯曲失稳的塑性区分布 压弯构件的极限荷载求解比较困难, 一般情况下可用数值积分法得到数值解, 但如果截面形 状比较简单, 不考虑初弯曲和较复杂的残余应力分布影响时, 经简化后也可用解析法得到近似解. 56 表 3.1 等效弯矩系数 β m 值 1. 解析法 对于轴压力 P 和两端相同弯矩 M 共同作用的两端简支压弯构件 (图 3.7) 用 Jezek 解析法[18] , 求解可以求出精确度比较高的极限荷载. 其假设为: (1) 材料为理想的弹塑性体; (2) 构件的变形曲线为正弦曲线的一个半波. 图 3.7a 是矩形截面的压弯构件, 在轴力 P 和端弯矩 M 共同作用下, 平面内弹塑性弯曲失稳 时构件截面的塑性有两种类型: 只出现在受压区, 如图

3.7b 阴影部分所示, 截面弹性区高度为 he , 细长构件常属此类; 另一类为受压, 受拉区均出现塑性区, 图 3.7e 所示, 短粗构件常属此类. 下面分别加以讨论: 1) 第一种情况:塑性区仅出现在受压区(图 3.7b) 图 3.7c 、图 3.7d 分别为第 1 种情况截面的应变和应力图. 由应力图可以分别得出轴线方向 力和力矩的平衡方程: 2 Py P 1 P = δ y A δ y + δ t bhe 或 δ y + δ t = (3.18) 2 bhe ( ) ( ) 57 图 3.7 矩形截面压弯构件中央截面的应变和应力 M + Pv = 由上式可解出弹性区高度 1 (δ y + δ t )bhe h he 2 2 3 3h 3(M + Pν ) 2 Py P (3.19) he = (3.20) 式中, Py = Aδ y ,表示轴心受压时全截面屈服压力. 由应变图知曲率 Φ= ε y + ε t he = δ y +δ t Ehe = 2(Py P ) Ebhe2 (3.21) 根据变形曲线假定, 挠曲线为 y = ν sin (π x l ) 中央截面处的曲率为 由式(3.21)式( 3. 22 )知 (3.22) (3.23) Φ = y ′′(l 2 ) = vπ 2 / l 2 l Ebhe2 将( 3. 20 )代入( 3. 22 )后, 得到构件压力 P 与挠度 v 的函数关系 h P ν 1 2 Py 由极值条件 ν π 2 2 = 2(Py P ) (3.24) M + Pν 2l 2 Py 1 P = 2 Py 9bπ E Py 2 3 (3.25) dP dν = 0 ,得 ν = 将式( 3. 26 )代入( 3. 25)后, 得 1 Py h P M 1 3 P 2 Py Py (3.26) 58 1 2M P = 2 × bh 3 1 (3.27) 12 l hPy (1 P Py ) 1 1 由于 P = 0 时, 截面边缘纤维开始屈服时的弯矩 M y = bh 2δ y = Py h ,且全截面的惯性矩 6 6 1 I x = bh 3 ,则构件在平面内弯曲失稳的弹塑性极值荷载 12 π 2E 3 M (3.28) Pu = 1 l 2 3M y (1 Pu Py ) 将式( 3. 26 )代入( 3. 20),得情况 1 的弹性区高度 M he = h 1 (3.29) 3M y (1 Pu Py ) 则( 3. 28 )可以写成 3 π 2 EI x he π 2 EI ex (3.30) Pu = = l2 h l2 式中, I ex 是弹性区截面惯性矩, 说明塑性发展使构件抗弯刚度下降至 EI ex , 极限荷载与以弹性 区

为截面的轴心受压构件的欧拉临界力相当. 塑性区出现第一种情况的条件是图

3.7 d 中截面受拉侧的应力 δ t ≤δ y , 由式( 3. 18 )可以得出 π 2 EI x 3 he ≥ (1 Pu Py )h (3.31) 也可写作 Pu Py ≥ M 3M y 1 Pu Py ( ) (3.32) 2) 第 2 种情况:塑性区同时出现在受压, 受拉区(图 3.7 e) 出现第 2 种情况的条件为 M Pu Py

3.9(a)表示划分为很多单元的工形截面, 单元的面积为 Ai , 截面任一点的应变 ε i 是轴 向应变 ε 0 、弯曲应变 Φz i 和残余应变 ε ri = δ ri E 三部分的代数和(如图 3.9(b)、(c)所示) , 即 ε i = ε 0 + Φz i + ε ri (a) 60 图 3.9 截面的应变 当截面处

于弹性状态时, 应力 δ i = Eε i ,根据内力平衡条件 M = ∫A δ i z i dA = ∫A E (ε 0 + Φz i + ε ri )z i dA = EΦ ∫A z i2 dA = EI x y ′′ P = ∫A δ i dA = ∫A E (ε 0 + Φz i + ε ri )dA = Eε 0 A (b) (c) 由式(c)可知, 当截面处于弹性状态时, 压弯构件和受弯构件一样, 弯矩 M 与曲率 Φ 成正比, 而与轴线压力 P 无关. 但在弹塑性状态, 因各截面塑性发展程度不同, M P Φ 相关. 在弹塑性状态时, 若以 ε y = δ y E 表示屈服应变, 任一单元面积 Ai 上的应力均取平均值, 则有 δ i = Eε i δ i =δ y δ i = δ y 当 ε y ≤ ε i ≤ ε y 时 当 当 ε i >ε y 时 ε i

3.11(b)所示 的 P ν m 曲线, 其极限点 B 对应的 P 即为极限荷载 Pu . 对不同的荷载作用, 数值积分的思路相同, 但具体计算细节有所不同. 通过理论求解和试验 分析压弯构件在平面内的极限荷载, 才可以推演出压弯构件的稳定设计公式. 62 图 3.12 压弯构件极限荷载电算框图 3.1.3 压弯构件弯矩作用平面内的稳定理论在设计中的应用 压弯构件在弯矩作用平面内的整体稳定计算通常采用两个计算准则, 即边缘纤维屈服准则和 极限承载力准则. 1. 边缘纤维屈服准则 边缘纤维屈服准则以弹性分析为基础, 以弯矩最大截面边缘纤维屈服作为计算准则. 这一准 63 则比较适用于冷弯薄壁型钢压弯构件, 因为这类构件的边缘纤维屈服荷载非常接近于构件的极限 荷载; 该准则也用于格构式压弯构件绕虚轴弯曲的稳定计算. 参照式(3.17) , 给合压弯构件弯矩作用平面内的稳定概念, 可以得到按边缘纤维屈服准则 导出的相关公式 β mx M x P + = fy (3.42) x A P W1x 1 x

PEx 式中 x 为弯矩作用平面内轴心受压构件的整体稳定系数; W1x 为受压最大纤维的毛截面抵抗矩; β mx 为等效弯矩系数, 参见表 3.1. 将式(3.42)写成设计公式, 即 β mx M x P + ≤f (3.43) x A P W x 1 x PEx 式中 f 为钢材屈服强度设计值.

2. 极限承载力准则 一般钢结构中的压弯构件当截面最大纤维刚开始屈服时尚有较大的强度储备, 即可以容许截 面塑性有一定发展, 因此应该以 弹塑性稳定理论为基础, 以失稳时的极限荷载为计算准则. 压弯构件的初偏心和初弯曲对构件的影响性质上相同, 因此在制定规范时考虑构件存在 l 1000 的初弯曲(即初弯曲的矢高为构件长度 l 的 1/1000) , 考虑实测的残余应力分布, 用数值方 法计算出近 200 条压弯构件的极限承载力曲线. 将用数值方法得到的压弯构件极限承载力 Pu 与 用边缘纤维屈服准则导出的相关公式(3.42)中的轴心压力 P 比较后发现, 对于短粗实腹杆, 式 (3.42)偏于安全; 而对细长实腹杆, 式(3.42)偏于不安全. 因此, 规范借用了弹性压弯构件 边缘纤维屈服准则计算公式的形式, 同时考虑截面塑性发展和二阶弯矩, 最后提出了一近似相关 公式, 即规范所采用的实腹式压弯构件弯矩作用平面内的稳定计算公式 β mx M x P + ≤ f (3.44) xA γ RP γ xW1x 1 0.8 PEx 式中 P ——所计算构件段范围内的轴向压力; M x ——所计算构件段范围内的最大弯矩; x ——弯矩作用平面内的轴心受压构件的稳定系数; W1x ——弯矩作用平面内较大受压纤维的毛截面抵抗矩; PEx——欧拉临界力; γ R — —抗力分项系数, 对 Q235 钢,γ R = 1.087 ,对 Q345,Q390,Q420 钢,γ R = 1.111 ; β mx ——等效弯矩系数, 参见表 3.1. 对于 T 型钢, 双角钢 T 形等单轴对称截面压弯构件, 当弯矩作用于对称轴平面且使较大翼 缘受压时, 构件失稳时出现的塑性区除存在受压区屈服和受压, 受拉区同时屈服两种情况外, 还 可能在受拉区首先屈服而导致构件失去承载能力, 因此除了按式(3.44)计算外, 还应按下式计 算: 64 P A 式中 β mx M x γ P γ xW2 x 1 1.25 R PEx ≤ f (3.45) W2 x ——受拉侧最外纤维的毛截面抵抗矩; γ x ——与 W2 x 相应的截面塑性发展系数. 其余符号同式(3.44) , 上式第二项分母中的 1.25 也是经过与理论计算结果比较后引进的修 正系数. 3.2 压弯构件平面外失稳 如图 3.1(c)所示, 当压弯构件没有设置侧向支撑时, 在外荷载 P 尚未达到平面内弯曲失稳的 临界荷载 Pu 之前, 就可能导致压弯构件发生空间的弯扭失稳, 也称平面外弯扭屈曲. 当构件长 细比较大时, 有可能在弹性阶段失稳; 在长细比较小等情况下也有可能在弹塑性阶段失稳. 对于外力

作用和端部支撑条件较简单的压弯构件, 可以用平衡法求解弯扭屈曲荷载的精确 解; 如果外力作用或端部支撑条件较复杂, 可以用能量法求解. 在弹塑性阶段发生弯扭屈曲的压 弯构件, 采用数值法可以获得较高的求解精度. 3.2.1 压弯构件的弹性弯扭失稳 压弯构件的弹性弯扭失稳 1. 平衡法求解单轴对称截面压弯构件的弹性弯扭屈曲荷载 以两端简支单轴对称截面压弯构件(图 3.13) 为例, 说明平衡法求解弹性弯扭屈曲荷载的过 程. 图 3.13 压弯构件弯扭变形及受力 65 分析中采用两个坐标系, 即截面的固定坐标系 oxyz 和移动坐标系 o ′ ξ (图

3.13) , 且 采用如下假设: ① 构件为弹性体; ② 发生弯曲与扭转变形时, 截面的形状不变; ③ 弯曲与扭转变形微小; ④ 构件是无缺陷的等截面直杆; ⑤ 在弯矩作用平面内抗弯刚度很大, 屈曲前平面内的弯曲变形对弯扭屈曲的影响可以忽略. 参考第二章 2.4 节中单轴对称截面轴心受压构件弹性弯扭失稳建立平衡微分方程的过程, 可 以分别得到绕ξ 轴和 轴 的弯矩平衡方程. EI xν ′′ + Pν + M x = 0 (3.46) EI y u ′′ + Pu + (M x + Py 0 ) = 0 (3.47) 由图 3.13a 所示受力条件和坐标系, 如以压应力为正值, 则构件截面上任一点的正应力 P M y (3.48) δ = x A Ix Wagner 效应系数为 M P 2 2 K = ∫A (δ + δ r )ρ 2 dA = ∫A x 2 + ( y y 0 ) dA x ∫A y x 2 + ( y y 0 ) dA + ∫A δ r x 2 + y 2 dA A Ix [ ] [ ] ( ) = 式中 : M P 2 I x + I y + Ay 0 x A Ix ( ) [∫ y(x A 2 + y 2 )dA 2 I x y 0 + ∫A δ r (x 2 + y 2 )dA = ρ i 0 2 β y M x + R 2 ] 2I x 是截面的几何性质参数, β y 为不对称截面常数, 对于单轴对称工形截面, β y 中前一项数值常比 y 0 小得多, 对图 3.13c 所示坐标系, 剪心矩 y 0 是正值, 则 β y 将是负值. 外弯矩 M x 在纵轴 方向的分量为 i0 2 = (I x + Iy ) A+ y , 2 0 β y ∫ y (x = A 2 + y 2 )dA y 0 , R = ∫A δ r (x 2 + y 2 )dA . i 0 和 β y 都 M x sin ≈ M x = M x u ′ 切力 Pu ′ 产生的扭矩从图 3.13c 知为 则在 方向总的非均匀扭矩 扭矩平衡方程为 Pu ′ y 0 cos ≈ Py 0 u ′ 2 M = Pi 0 2 β y M x + R ′ + M x u ′ + Py 0 u ′ EI w ′′′ + Pi0 2 β y M x GI t + R ′ + (M x + Py 0 )u ′ = 0 2 ( ) (3.49) (3.50) ( ) 联立方程(3.46)(3.47)和(3.50) , ,得到适合任何边界条件的压弯构件微分方程组 EI x ν IV + Pν ′′ = 0 (3.51) EI w IV + Pi0 2 β y M x GI t + R ′′ + (M x + Py 0 )u′′ = 0 2 ( EI y u IV + Pu′′ + (M x + Py0 ) ′′ = 0 ) (3.52) (3.53) 由于忽略了屈曲前

平面内弯曲变形对弯扭屈曲的影响, 因此方程(3.51)与后面两方程解耦, 只能用于描述平面内荷载—挠度弹性曲线. 后两个方程是耦联的, 引入边界条件, 可联立求解得 到构件的弹性弯扭屈曲荷载 Pyw . 对两端简支的压弯构件, 满足边界条件的变形函数为 π z π z = c 2 sin u = c1 sin , l l 66 将它们代入方程(3.52)(3.53) , ,得 (M x + Py 0 )c 2 = 0 Py P c1 2 2 (M x + Py 0 )c1 + i0 Pw i0 P 2 β y M x c 2 = 0 ( )

[ ( )] (3.54) 式中: p y = π 2 EI y l 2 , Pw = 2 1 π EI w + GI t R . 2 2 i0 l 由 c1 和 c 2 有非零解的条件为系数行列式为零, 可以得到屈曲方程 (P y P ) i 02 Pw (i 02 P 2 β y M x ) (M x + Py 0 ) = 0 2 [ ] (3.55) 方程(3.55)中的 M x 以弯矩使形心以上的负方向受压时为正, 受拉时为负; 而偏心矩 e y 符号与 y 轴正负一致, 由图

3.13a 知 M x = Pe y ,代入方程(3.55) ,则有 (P y P ) i02 Pw P (i02 + 2 β y e y ) ( y 0 e y ) P 2 = 0 2 [ ] (3.56) 2 解之得弹性弯扭屈曲荷载 Pyw = i 02 (Py + Pw ) + 2 β y e y Py [i (P 2 0 2 i02 + 2 β y e y ( y 0 e y ) y [ + Pw ) + 2 β y e y Py ] 2 4i02 Py Pw i 02 + 2 β y e y ( y 0 e y ) 2 ] [ ] (3.57) 相应的弯扭屈曲应力 δ yw = Pyw A = π 2E λ 2 yw (3.58) 式中 λ yw 为计算弯扭屈曲应力的换算长细化 λ yw = λ y 其中 w = 2 2 w 2 + i0 + 2β y e y 2w 2 2 w 2 + i0 + 2β y e y + 2w 2 i 2 + 2β y e y y 0 e y 0 w2 2

( ) ( 2 ) 2 (3.59) A l2 对双轴对称截面压弯构件, 因 y 0 = 0, β y = 0, i02 = (I x + I y )

A ,则方程(3.55)为 λ 2y I ω + GI t R . π 2E (P y P )(Pw P ) M x2 i02 = 0 (3.60) 解出弯扭屈曲荷载 1 Pyw = Py + Pw 2 (P y + Pw ) 2 2 2 4 Py Pw M x l 0 ( ) (3.61) 对无对称轴截面压弯构件, 开始施加压力 P, 构件就产生双向弯曲变形和扭转, 因此属于极 值点失稳问题. 对此类问题用平衡法求解析解较困难, 一般采用能量法[19]或数值法求解其极限 荷载. 【例题 3.1】 已知两端简支的单轴对称 T 形截面压弯构件的长度 例题 为 4m, 构件的两端作用有弯矩 M x = 10kN m , 截面尺寸如图 3.14 . 钢 材 δ y = 23.5 kN cm 2 , E = 2.06 × 10 4 kN / cm 2 , G = 7.9 × 10 3 kN / cm 2 , 按理想弹塑性体计算, 不计残余应力. 构 件在弯矩作用平面内的极限荷载 Pu = 735kN .求此压弯构件的屈 曲荷载. 图 3.14 T 形截面压弯构件 67 [解]: 1) 计算截面的几何性质 截面积 A=2 × 1 × 20=40cm 2 1 × 20(10 + 0.5) y0 = =

5.25cm 剪心矩 2 × 20 1 惯性矩 I x = 1 × 20 × 5.25 2 + × 1 × 20 3 + 1 × 20 × 5.25 2 = 1769.2cm 4 12 1 3 I y = × 1 × 20 = 666.7cm 4 12 1 I k = 2 × × 20 × 13 = 13.33cm 4 , Iw = 0 3 Ix 对翼缘边缘抵抗矩 W1x = = 307.07cm 3 5.25 + 0.5 I W2 x = x =

116cm 3 对腹板边缘抵抗矩 15.25 Ix + Iy 2 i02 = + y 0 = 88.46cm 2 A ∫ y (x A 2 7000 ( 5.25) = 1.98 + 5.25 = 7.23cm 2I x 2 × 1769.2 2) 计算 M x = 10kN m 时构件的弯扭屈曲荷载 Pyw β y = ∫ y (x A + y 2 )dA = t ∫ 4.75 y 3 dy + 2t ∫0 ( 5.25)(x 2 +

5.25 2 )dx = 7000cm 5 15.25 10 2 + y 2 )dA y0 = Py = π 2 EI y l 2 = π 2 × 2.06 × 10 4 × 666.7 / 400 2 = 847.2kN Px = π 2 EI x / l 2 = π 2 × 2.06 × 10 4 × 1769.2 / 400 2 = 2248.2kN 3 1 2 Pw = 2 (π 2 EI w l w + GI k ) = GI k i02 = 7.9 × 10 × 13.33 = 1190.4kN 88.46 i0 由式(3.55)得 60.9 P 2 184206 P + 100463044 = 0 解出 (847.2 P )[88.46 × 1190.4 (88.46 P 2 × 7.23 × 10 × 10 2 )] [10 × 10 2 + ( 5.25P )]2 = 0 Pyw = 713.86kN 3) 确定屈曲荷载 由于翼缘边缘纤维的压应力 713.86 10 × 10 2 1 + 0.234 × 713.86 2248.2 δ 1 = + =17.85+5.12= 22.97 kN cm 2