北邮概率论与数理统计4.1数学期望
第四章 随机变量的特征数
每个随机变量都有一个概率分布(分布函数,或分布律、概率密度),这个分布完整地刻画了随机变量的统计规律性。然而在许多实际应用问题中,人们更关注这个概率分布的一些综合特征,这些综合特征是概率分布某方面信息的概括并且可用一个数值表示。这种由随机的分布确定的,能刻画随机变量某方面特征的常数统称为数字特征或特征数。
例如,考虑某种元件的寿命,如果知道了其寿命X 的概率分布,那么就把握了元件寿命的所有概率信息。比如可以计算出寿命在任一指定范围内的概率。根据这一分布,还可以确定用以反映寿命平均水平的特征数-数学期望,以及用以刻画寿命值的散布程度(或稳定程度)的特征数-方差. 这些特征数虽不能对寿命状况提供完整刻画, 但却往往是人们最为关注的一个方面. 无论在理论上还是在实用中,这些特征数都有着极重要的意义. 尤其是实用中, 概率分布虽很“完美”, 但难以把握; 而特征数则容易把握, 并且特征数是以一个“醒目”的数值刻画随机变量的某种特征, 这也使得应用方便.
§4.1 随机变量的数学期望
一. 数学期望的定义
定义 设离散型随机变量X 的分布律为
P {X =x i }=p i ,i =1, 2,
如果
∑|x
i =1
∞∞i |p i
则称∑p x 为X 的数学期望,记为E (X ) ,即 i i
i =1
E (X ) =
∞∑p x i i i =1
i i ∞若级数∑p x 不绝对收敛,则称X 的数学期望不存在。
i =1
由以上定义可看出,若X 只取有限个值,则它的数学期望总是存在的。而若X 取可列个值,则它的数学期望不一定存在,是否存在就看级数∑x p i
i =1∞i 是否绝对收敛,这个要求的目
的在于使期望值唯一。因为若无穷级数∑x p i
i =1∞i 只是条件收敛,则可通过改变这个级数各项
的次序,使得改变后的级数不收敛或收敛到任意指定的值,这意味着这个级数的和存在与否,以及等于多少,与X 的取值的排列次序有关,而E (X ) 作为刻画X 取值的平均水平的特征数,具有客观意义,不应与X 的取值的排列次序有关。
由定义,X 的期望值就是其所有可能取值的加权平均,每个可能值的权重就是X 取该值的概率,因此X 的数学期望又称为X 的均值。同时还可看出X 的数学期望只依赖于X 的