空间可展开桁架结构展开过程分析的理论与方法

第34卷第4期

浙　　江　　大　　学　　学　　报　　(工学版) Jour nal of Zhejiang Univer sity 　　(Eng ineering Science) Vol. 34№. 4

July 2000

文章编号:1008-973X (2000) 04-0382-06

空间可展开桁架结构展开过程

分析的理论与方法

陈务军, 关富玲, 董石麟, 张京街

(浙江大学土木工程学系, 浙江杭州310027)

摘　要:以理想桁架节点笛卡尔坐标为未知量, 全面建立了复杂桁架结构的几何约束方程, 并推导出相

应的几何约束Jacobi 矩阵, 建立了空间展开桁架结构展开过程分析的理论与方法, 系统地分析了机构特

性, 阐明了展开过程的力学本质特点, 明确提出展开目标函数的概念.

关键词:展开结构; 展开过程分析; 约束Jaco bi 矩阵

中图分类号:V 414; V 414. 1　　　　　文献标识码:A

空间展开桁架结构的主要特点为:¹在地面及发射阶段为收纳状态, 发射定轨后锁定为稳定的展开状态; º结构由折叠到展开为不稳定向稳定转化的过程; »杆件、接点数量大, 几何拓扑关系复杂, 接点形式简洁, 构架单元具有高度一致性; ¼轻质、高抗振, 形式丰富. 因此, 空间展开桁架结构被广泛应用于空间平台、可展式天线、太阳帆、伸展臂等. 美、俄、日等在展开桁架结构设计、分析、技术开发等方面做了大量工作, 我国于20世纪90年代初开始这一领域的研究[1].

空间展开桁架结构作为结构学研究的主要内容为:¹可展体系研究; º机构分析与展开动力特性研究; »结构特性研究. 可展体系的创新是宇航工程师永远的追求; 接点间隙引起的动力非线性和柔性动力控制是结构特性研究的重点方向; 展开动力学研究是一般力学研究的热点, 主要采用

柔体) 系统微分方程, 由Gear 积分法求解. 目前国外对Euler , Lag rang e , Kane 方法建立多体(刚体、

复杂展开桁架结构展开性能的研究主要基于实验, 如足尺接点、构架单元实验等, 整体模型实验, 仅对接点机构、构架单元进行动力分析模拟, 或对整体进行等惯量矩简化模拟分析. 空间展开桁架结构展开方式大体上分为:¹瞬间爆炸式展开(非控方式) , 持续时间极短, 约为0. 5～1s ; º渐进可控展开, 持续时间长, 为10～30m in . 目前在微机甚至于工作站上都很难有效地模拟复杂展开桁架结构的展开动力行为[1].

本文根据不稳定结构分析的理论[2]和机构学知识[3], 以绝对坐标描述位形, 以理想杆件作为基本单元, 建立了“展开过程”分析的理论与方法, 有效地进行机构特性分析, 判定杆件位置协调与干扰属性, 确定展开过程位形的变化轨迹, 适合展开结构初步设计分析.

1　展开桁架结构几何约束关系

基本假设:¹理想直杆, 节点具有三个相对转动自由度; º杆单元长度保持不变; »结构为稳态移动变化; ¼忽略摩擦力、结构缺陷等.

展开结构几何约束决定其机构特性、广义运动自由度、几何位形变化特征. 将几何约束按构造分三类:¹杆长刚体几何约束; º附加接点几何约束, 如滑枕等; »边界条件.

收稿日期:1998-12-01

基金项目:国家“863”计划资助项目(863-2-4-1-12) 作者简介:陈务军(1969-) , 男, 重庆云阳人, 浙江大学博士, 现为上海交通大学博士后, 从事空间结构研究.

第4期　　　　　　陈务军, 等:空间可展开桁架结构展开过程分析的理论与方法

1. 1　杆长刚体几何约束

杆单元如图1, 设杆长l a , 两端节点i , j 坐标为

X ′i =(x i 　y i 　z i ) ′, X ′j =(x j 　y j 　z j ) ′.

杆长l a 由杆端节点坐标表示为

[(X i -X j ) ′(X i -X j ) ]=l a .

对式(2) 求一阶导数, 则

õõ′′a a l a =K a (X j -X i ) =[-K a 　K a ]1383(1) (2) 图1　杆单元节点坐标X i

X j õõ, (3) F ig. 1　Co or dinates of the po le element nodes

a =j i 式(3) 中, K l a (X -X ) .

对所有杆件单元写成(3) 式, 并整理为矩阵

A X =E ,

式(4) 中, A (b ×n ) 为约束矩阵, b 为杆件数, n =3N 为总自由度, N 为理想杆件的节点.

õa a a T õa a a T X =(x 1x 2…x n ) , L =(l 1l 2…l b ) ,

由杆件为刚体的假设, l a =0, 得

A X =0.

1. 2　接点附加约束

实际桁架杆件节点并不都具有三个转动自由度, 如滑枕、套筒、固定角度、刚接、剪式铰单元、T 型接点等, 可通过在理想杆端附加几何约束方程来模拟各种复杂节点的几何约束.

1. 2. 1　滑动机构　滑动铰构造如图2, 节点k 为滑块, 与一个或两个单元的节

点相连, 并始终在单元i -j 上滑动, 则i -j -k 点之间满足几何约束

k j k j k j ==. x i -x j y i -y j z i -z j

对式(7) 求一阶导数, 并整理为

B s X s =0.

式(8) 中, B s =-y jk x jk 0-y ki x ki 0-y ij x ij

00x ij -z j k 0x jk -z ki 0x ki -z ij

õa a a a a a a a a X s =

(x i 　y i 　z i 　x j 　y j 　z j 　x k 　y k 　z k ). , õõõõ(4) (5) (6) (7) (8) 图2　滑动铰构造F ig. 2　Slip hing e structur e

1. 2. 2　交叉固定接点　理想杆单元i -j 与k -l 交叉形成一个整体交叉单元,

见图3. 交叉点o 的位置与交叉角度由设计者根据构造要求决定. 杆单元i -j ,

k -l 满足几何约束

cos H =ij kl , l ij l kl (9)

(10) 图3　交叉杆单

元接点

F ig. 3　Jo int

inter

õX i +X j =X k +X l , a +b a +b c +d c +d 式(10) 中, X ij =X i -X j , X kl =X k -X l , l ij , l kl , H 为设计参数. 将式(9) 和式(10) 求一阶导数, 合并整理为õo f the cro ssed H sin 　0-=X kl l ij l kl X kl l ij l kl

I a +b

õõ-X ij l ij l kl X ij l ij l kl I c +d po le element I a +b õI -c +b õõX c , (11) 式(11) 中, I 3×3为单位阵, X c =[X i 　X j 　X k 　X l ]′. 假设两杆之间的角度在运动过程中不变, 即

H =õ

384浙　江　大　学　学　报(工学版) 　　　　　　　　　2000年

B c X c =0, õ(12)

B c 可由相应表达式得到.

对套筒、剪式单元铰、刚接、T 型连接等节点, 可据空间几何关系写出相应的几何约束方程, 并推导出对应的几何约束Jacobi 矩阵.

1. 3　边界条件

杆件节点与空间平台边界可为球铰、销铰等, 其约束与约束导数方程可概括为

5j (x 1x 2…x n t ) =0, 　j =1, 2, …, N b .

B b X b =0,

式(13) 中, N b 为构造连接数, B b 可由相应表达式导出.

上面三类构造约束可以有非完整约束情况, 本文仅考虑几何完整约束. õ(13) (14)

2　系统机构特性分析

对理想桁架体系, 建立力法平衡方程[4]:

A 0-R =l 0, (15)

式(5) 中, A 0(n ×b ) 为平衡矩阵, -R (b ) 为杆件轴力, l 0(n ) 为节点载荷向量, n =3N . 矩阵A 0的行代表节点向量空间, 列代表杆件单元向量空间, 它全面反应了体系内节点、单元数量以及空间拓扑关系, 矩阵A 0的秩是揭示这些向量关系的本质特征参数.

设rank A 0=r 0, m 0=n -r 0, s 0=b -r 0, 则s 0表示自应力状态数, 超静定次数; s 0=0为体系静定; m 0表示刚体位移模态数.

由虚功原理可证明式(4) 中几何约束Jacobi 矩阵A (b ×n ) 与式(15) 的平衡矩阵A 0有:A 0=A T , 因此, 矩阵A 可全面反应理想桁架结构的机构特性.

对空间展开桁架结构, 节点不全为理想球铰接(按运动学描述) , 必须考虑各种复杂接点和边界. 将式(6) , (8) , (14) 等合并整理为

B X =õA õX =0, J (16)

式(16) 中, J (m 1×n ) 为包括附加接点与边界的约束矩阵, m 1=n c +n b , n c 为接点附加约束条件数, n b 为边界条件数. B (m ×n ) 统称为体系几何约束Jaco bi 矩阵, m =m 1+b , 它全面反应了体系节点数、杆件数、各种复杂接点、边界和空间拓扑关系.

约束Jacobi 矩阵的秩和零空间基是揭示体系机构特性的本质量, 而秩又是求取零空间基向量的基础. 当约束条件的独立性不确定时, 求秩最可靠的方法为奇异值分解. 设约束Jacobi 矩阵奇异值分散形式为[5]

B =USV ′=[U 1　U 2]2r

0V

1V 2′, (17)

式(17) 中, U (m ×m ) , V (n ×n ) 为正交阵, U 1为(m ×r ) 矩阵, U 2为m ×(m -r ) 矩阵, V 1为(n ×r ) 矩阵, V 2为n ×(n -r ) 矩阵, 2r =diag(R 1, …, R r ) , r =rank(B ). 矩阵U 1为B ∈R m 的正交基, U 2为B ′的零空间基; 而矩阵V 1为B ′∈R n 的正交基, V 2为B 的零空间基.

设p =n -r , 则p >0表示结构具有p 个广义运动自由度, 即约束Jacobi 矩阵B 零空间基的维数dim N (B ) . 当p

设q 1=b -r , b 为理想桁架杆件刚体几何约束数. 因为杆件刚体约束方程始终独立, q 1>0表示结构内至少有q 1个自应力状态.

设q 2=m -r =(b +m 1) -r , 并不能说明结构内具有q 2个自应力状态, 因为附加的m 2个几, 1

第4期　　　　　　陈务军, 等:空间可展开桁架结构展开过程分析的理论与方法

可展开折叠桁架结构, 结构整体在展开过程中结构内部必须具有运动自由度, 即p >0. 385

3　系统展开过程解

将结构在任一展开过程状态向量X (t +$t ) 在状态X (t ) 处Maclaurin 级数展开, 并忽略高阶项, 即稳态线性移动, 则t +$t 时位置矢量为

X (t +$t ) =X (t ) +X (t ) $t .

结构在展开过程中始终满足几何约束条件式(16). 由线性代数可知, 式(16) 解为

X =H A ,

间基.

据矩阵性质, 由(17) 式可知

V ′2B =0,

刚体位移模态, 它由结构自身的几何拓扑关系决定, 与外力无关, 可表示为

12p V ′2=Null(B ) =[V 2　V 2　…　V 2]′=H =[h 1　h 2　…　h p ]′. õõ(18) (19) 式(19) 中, A =(A 1　A 2　…　A p ) 为p 维任意矢量, H =(h 1　h 2　…　h p ) 为Jacobi 矩阵B 的零空(20) 式(20) 表明V ′2为矩阵B 的正交补阵, 即矩阵B 的零空间基. 约束Jacobi 矩阵零空间基表示系统的(21)

(22) 将(21) 式代入(19) 式, 并将(19) 式代入(18) 式, 得t +$t 时刻位置矢量X (t +$t ) =X (t ) +V ′2A $t .

结构在外力矢量f (包括节点驱动外力、自重等) 作用下, 向目标(稳定) 状态运动. 由能量原理可知, 如果外力对结构体系作功, 则结构体系运动; 如果外力对结构体系不作功, 则结构在该力系下稳定. 外力对结构体系是否作功是结构能否移动的原因, 因此, 将式(22) 中矢量A 设为外力在刚体位移模态上所作“功”的“功率”的倍数[2], 即1A V 2f

(23) 1′A =M , M =p ′A p V 2f

式(23) 中, V i 2′f 表示力矢量f 在这一刚体位移模态V i 2上的“功率”, 则V i 2′f A 0$t 表示f 在A 0$t 内的功. 设A 0$t =B , 称其为广义增量. 因B 为任意小量, 影响结构展开折叠过程分析的是外力矢量模态f 和刚体位移模态V t 2, 而其大小只影响B 和计算步数的选取. 结构体系的刚体位移模态, 即几何约束Jacobi 的零空间V ′2, 为单位矢量, 由结构状态参数-几何拓扑关系、节点约束、边界条件确定. 除重力外, 驱动力模态由设计者根据结构方案提出.

4　稳定条件与目标函数

将(23) 式代入(22) 式, 并选择合适的增量B , 由New ton-Raphso n 迭代法逐步迭代便可求出结构在外力矢量f 作用下的稳态移动过程. 式(23) 表明结构在展开折叠过程中, 沿能量最速变化的方向移动.

不稳定结构稳定过程是相对于外力状态而言的, 同一个结构对不同的外力, 其稳定过程不一样, 最终的稳定状态也不一样. 稳定过程按能量最速变化, 由状态c i 到c i +1的势能变化量表示为

$0(c i ) =(X ′f ) $t ,

õõ(24) 式(24) 中, $t 为任意非负小量, (X ′f ) 可为正或负. 外力在各刚体位移模态上可对结构作正功或负

功, 结构势能可增大或减小, 因此, 式(24) 写为

$0(c i ) ={sig n(V 1f ) (V 1f ) +…+sig n(V p f ) (V p f ) }(A 0$t ) ,

t 式(, ′′2′′2(25)

386浙　江　大　学　学　报(工学版) 　　　　　　　　　2000年对单纯不稳定结构, 当外力矢量模态与所有刚体位移模态正交时结构稳定, 此状态称为该力系下结构的稳定状态. 在稳定状态时, 结构势能为最大或最小, 外力矢量(外力模态) 对结构体系所作“功”的“功率”为零, 即

′2′p ′V 12f =0, V 2f =0, …, V 2f =0, (26)

(27) 式(26) 简写为V ′2f =0.

转化为稳定体系, 如空间位置、角度等参数达到目标. 设目标状态函数

(i (x 1　x 2　…　x n 　t ) =0, i =1, …, q ,

当结构展开过程满足目标状态时, 结构稳定. 结构在展开过程中能量变化由(25) 式求得.

在分析过程中, 确定一个合适的B 是很重要的, 太小会导致较大的累积误差, 太大会导致类似“截断误差”, 结构越过某些临界点, 不能反映机构“运动”过程性质. 通常先取一个较小的值, 如10-2～10-4量级, 再适当调整即可. (28) 可展开结构一般不是单纯的不稳定结构, 而设计为满足某一特定目标状态时通过锁定措施等

5　算例分析

本文分析了一伸展臂模型, 图4为该模型整体展开过程工作原理图, 在底层每个侧面由电机驱动结构同步展开. 模型为三棱柱, 三角形边长340mm , 4个构架单元, 单元高550mm , 总高2200mm. 根据结构的对偶性、机构的对称性, 将结构简化为平面联杆机构, 如图5. 将水平杆与接头模拟为短竖杆与水平杆刚接, 竖杆与接头模拟铰接, 推拉杆与水平杆模拟为滑动构造, 推拉杆与竖杆模拟T 型连接, 展开过程分析时不考虑加劲索的影响. 当每个竖杆单元中间180°节点机构达到180°时机构锁定

.

图4　伸展臂整体模型

F ig. 4　M odel o f the mast 图5　伸展臂展开过程分析结果(位形变化) F ig. 5　Deplo ying stages o f the mast 　

6　结　论

(1) 本文以理想桁架节点笛卡尔坐标为未知量, 全面建立了复杂空间展开桁架结构的几何约束方程, 并推导出相应的几何约束Jacobi 矩阵.

(2) 建立了适宜空间可展开桁架结构展开过程分析的理论与方法.

(3) 系统地分析了空间展开桁架结构的机构特性, 该方法适宜于初步设计分析.

(4) 阐明了展开过程分析的力学本质特点, 明确提出普遍性的展开目标函数概念.

参考文献:

[1]　陈务军. 空间展开桁架结构设计原理与展开动力学分析理论研究[D ]. 杭州:浙江大学土木工程学系, 1998.

[2]　Hangai Y. T heo r etical analy sis of str uctures in t he unstable state and sha pe a nalysis of unstable st ructures [T :

第4期　　　　　　陈务军, 等:空间可展开桁架结构展开过程分析的理论与方法387

[3]　Jim enez J M , A lv arez G . A simple and g ener al metho d for kinemat ics synthesis o f spatial mechanisms [J ].

M ech M a ch T heo ry , 1997, 32(3) :323-341.

[4]　陈务军, 关富玲, 裘红妹, 等. 索杆可展开结构体系分析[J].空间结构, 1997, 3(4) :43-48.

Theory and approach of deployment analysis for

deployable space truss structures

CHEN Wu-jun, GUAN Fu-ling , DONG Shi-lin, ZHANG Jing-jie

(Dept. o f Civ il Eng ineering. , Zhejiang U niv. , Hang zhou 310027, China)

Abstract :Geometrically constrained equations are formulated com pletely , and r elevant Jaco bi matrices are derived w ith Cartesian coordinates of idealized truss joint as v ariables. T heo ry and analy sis approachs of the deploym ent pr ocess, w hich are suitable for deployable space trusses, hav e been developed. Statically determ inatio n/indetermination is analy zed systematically. Essen-tial mechanics characteristic is illustrated for quasi -static deploym ent analysis . Stabilizatio n co n-dition and/or objection functions are pr esented intently. Numerical ex amples pro ve that the metho d is correct and effective.

Key words :deployable str uctures ; deploym ent process analy sis ; co nstraint Jacobi m atrix

(责任编辑:陈　波)

下期发表论文摘要预告

半导体材料废水中A s (v ) 的处理方法研究

陈　红, 方　士

(浙江大学环境科学与工程学系, 浙江杭州310027)

摘　要:利用膨润土、D202阴离子交换树脂对含A s(v ) 废水进行了吸附实验, 结果表明, 膨润土、D202阴离子交换树指对A s (v ) 的吸附分别在1h 、2h 内达到平衡, 其饱和吸附量分别为:21. 2mg /g 、5. 09mg /g . 废水中Ga 3+、In 3+的共存使膨润土吸附A s (v ) 的能力大大提高, 却使树脂的吸附能力下降, 比较而言, 用膨润土处理半导体材料废水中的As(v) 更为合适.

关键词:膨润土; D202树脂; A s(v ) ; 吸附