等腰三角形性质
等腰三角形性质
一.选择题(共3小题)
1.(2015•盐亭县模拟)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,
交AC于点E,∠A=∠ABE,AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.1 B.1.5 C.2
2.(2015•合肥校级三模)在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,要剪下一个腰长为5cm
的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合,其余的两个顶点都在
矩形的边上).这个等腰三角形有几种剪法?( )
D.2.5
A.1 B.2 D.4
3.(2015•岱岳区二模)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点
O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D,下列四个结论:
①EF=BE+CF;
②∠BOC=90°+∠A;
③点O到△ABC各边的距离相等;
④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.
其中正确的结论是( )
C.3
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
二.填空题(共4小题)
4.(2015•河北)如图,∠BOC=9°,点A在OB上,且OA=1,按下列要求画图:
以A为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A1,得第1条线段AA1;
再以A1为圆心,1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线段A1A2;
再以A2为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3;…
这样画下去,直到得第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n= .
5.(2015•杭州模拟)如图,在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E,使DB=DE,
此时恰有∠ADE=∠ACB,则∠B的度数是 .
6.如图,等边△ABC中,E,D在AB,AC上,且EB=AD,BD与EC交于点F,则∠DFC= 度,
7.(2015•杭州一模)一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形,则该大等腰三角
形顶角的度数是 .
三.解答题(共23小题)
8.(2015•曲靖)如图,过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D,E是线段OC
的中点,请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N,探究线段OD、ON、DM之间
的数量关系,并证明你的结论.
9.(2015•庆阳)如图,在△ABC中,∠C=60°,∠A=40°.
(1)用尺规作图作AB的垂直平分线,交AC于点D,交AB于点E(保留作图痕迹,不要
求写作法和证明);
(2)求证:BD平分∠CBA.
10.(2015•宜昌)如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作:以点B为圆心,适
当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H;再分别以点G,H为圆心,大于GH的长
为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E.
(1)求证:AB=AE;
(2)若∠A=100°,求∠EBC的度数.
11.(2015•吉林)图①,图②,图③都是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格
点,每个小正方形的边长均为1.在图①,图②中已画出线段AB,在图③中已画出点A.按
下列要求画图:
(1)在图①中,以格点为顶点,AB为一边画一个等腰三角形;
(2)在图②中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形;
(3)在图③中,以点A为一个顶点,另外三个顶点也在格点上,画一个面积最大的正方形.
12.(2015•温州模拟)如图,有甲,乙两个三角形,请你用一条直线把每一个三角形分成两
个等腰三角形,并标出每个三角形各角的度数.
13.(2015•北京)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求
证:∠CBE=∠BAD.
14.(2015•宿迁)如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC,求证:∠C=2∠D.
15.(2013•汕尾模拟)如图,△ABC中,AB=AC,D、E分别是BC、AC上的点,∠BAD
与∠CDE满足什么条件时AD=AE?写出你的推理过程.
16.(2015•江都市一模)(1)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E在边AB上,且
AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数;
(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=40°,点D、E在直线AB上,且AD=AC,BE=BC,
则∠DCE= ;
(3)在△ABC中,∠ACB=n°(0<n<180°),点D、E在直线AB上,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数(直接写出答案,用含n的式子表示).
17.(2014秋•清远期末)如图,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上
的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.
18.(2014秋•海南校级期末)在△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=
(2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC=
(3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:
(4)如图3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?如有,请你写出来,
并说明理由.
19.(2015秋•丰润区期中)如图在△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的
中线,AE是∠BAD的角平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,求DF的长.
20.(2015秋•铜山县期中)(1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC上,
且BD=BA,点E在BC的延长线上且CE=CA,试求∠DAE的度数;
(2)如果把第(1)题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC>90°”,其余条件不变,那么∠DAE
与∠BAC有怎样的数量关系?
21.(2015秋•淮安期中)如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDA,∠BAC=48°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求∠CAD的度数.
22.(2015秋•南京期中)(1)如图(1),在△ABC中,AB>AC>BC,∠ACB=80°,点D、E分别在线段BA、AB的延长线上,且AD=AC,BE=BC,则∠DCE= ;
(2)如图(2),在△ABC中,AB>AC>BC,∠ACB=80°,点D、E分别在边AB上,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数;
(3)在△ABC中,AB>AC>BC,∠ACB=80°,点D、E分别在直线AB上,且AD=AC,BE=BC,则∠求DCE的度数(直接写出答案);
(4)如图(3),在△ABC中,AB=14,AC=15,BC=13,点D、E在直线AB上,且AD=AC,BE=BC.请根据题意把图形补画完整,并在图形的下方直接写出△DCE的面积.(如果有多种情况,图形不够用请自己画出,各种情况用一个图形单独表示).
23.(2015春•滕州市校级期中)已知如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,求证:AO⊥BC.
24.(2015秋•常熟市月考)如图,在△ABC中,AB=AC,AF⊥BC,点D在BA的延长线上,点E在AC上,且AD=AE,试探索DE与AF的位置关系,并证明你的结论.
25.(2015秋•赵县校级月考)如图,在△ABC中,AD为中线,点E在AB上,连接ED并延长,与∠DAC的平分线AF交于点F.
(1)若△ABC的周长为32cm,△ABD的周长为23cm,且AB=AC,求AD的长度;
(2)若∠CAD=48°,∠ADE=42°,求∠F的度数.
26.(2014秋•广州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB交加于D点,AE∥DC交BC的延长线于点E,已知∠E=36°,求∠B的度数.
27.(2013秋•济宁期末)(1)如图1,点B,D在射线AM上,点C,E在射线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,求∠A的度数;
(2)如图2,点B、F、D在射线AM上,点G、C、E在射线AN上,且
AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA,求∠A的度数.
28.(2013秋•开封期末)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线AB、AC之间,并使小棒两端分别落在两射线上. 探究一:如图甲,从A点开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在两端点处互相垂直,A1A2为第一小棒.
思考:
(1)小棒能无限摆下去吗?答: (填“能”或“不能”)
(2)设AA1=A1A2=A2A3,求θ的度数
探究二:如图乙,从A1点开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1=A2A3=A3A4=…
思考:(3)若已经向右摆放了3根的小棒,则θ1=,θ2=θ3= ;(用含θ的式子表示)
29.(2013•青羊区一模)如图,△ABC中AB=AC,BC=6,,点P从点B出发沿射线BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,当点P为AB的中点时,求CD的长;
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线垂足为E,当点P、Q在移动的过程中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.
30.(2013秋•信州区校级期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,D、E分别是AB、AC上的不动点,且BD+CE=BC,当PC=CE时,试求∠DPE的度数.
等腰三角形性质
参考答案与试题解析
一.选择题(共3小题)
1.(2015•盐亭县模拟)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE,AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
【考点】等腰三角形的判定与性质.
【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形,且BC=CE;由等角对等边判定AE=BE,则易求BD=BE=AE=(AC﹣CE).
【解答】解:∵CD平分∠ACB,BE⊥CD,
∴BC=CE.
又∵∠A=∠ABE,
∴AE=BE.
∴BD=BE=AE=(AC﹣BC).
∵AC=5,BC=3,
∴BD=(5﹣3)=1.
故选A.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质.注意等腰三角形“三线合一”性质的运用.
2.(2015•合肥校级三模)在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合,其余的两个顶点都在矩形的边上).这个等腰三角形有几种剪法?( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】等腰三角形的判定;勾股定理;矩形的性质.
【分析】分为两种情况:①当∠A为顶角时,②当∠A为底角时,画出图形,即可得出选项.
【解答】解:有两种情况:
①当∠A为顶角时,如图1,此时AE=AF=5cm.
②当∠A为底角时,有两种情况:如图2,图3,
此时AE=EF=5cm.
故选C.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定,矩形的性质,勾股定理的应用,能进行分类讨论是解此题的关键.
3.(2015•岱岳区二模)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D,下列四个结论: ①EF=BE+CF;
②∠BOC=90°+∠A;
③点O到△ABC各边的距离相等;
④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.
其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
【考点】等腰三角形的判定与性质;平行线的性质;角平分线的性质.
【分析】由在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,根据角平分线的定义与三角形内角和定理,即可求得②∠BOC=90°+∠A正确;由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确;由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等,故③正确;由角平分线定理与三角形面积的求解方法,即可求得③设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn,故④错误.
【解答】解:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A,
∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=90°+∠A;故②正确;
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF,
∵EF∥BC,
∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,
∴∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,
∴BE=OE,CF=OF,
∴EF=OE+OF=BE+CF,
故①正确;
过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA,
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴ON=OD=OM=m,
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•(AE+AF)=mn;故④错误; ∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴点O到△ABC各边的距离相等,故③正确.
故选A.
【点评】此题考查了角平分线的定义与性质,等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
二.填空题(共4小题)
4.(2015•河北)如图,∠BOC=9°,点A在OB上,且OA=1,按下列要求画图: 以A为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A1,得第1条线段AA1;
再以A1为圆心,1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线段A1A2;
再以A2为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3;…
这样画下去,直到得第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n= 9 .
【考点】等腰三角形的性质.
【专题】压轴题.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数,∠A2A1C的度数,∠A3A2B的度数,∠A4A3C的度数,…,依此得到规律,再根据三角形外角小于90°即可求解.
【解答】解:由题意可知:AO=A1A,A1A=A2A1,…,
则∠AOA1=∠OA1A,∠A1OA2=∠A1A2A,…,
∵∠BOC=9°,
∴∠A1AB=18°,∠A2A1C=27°,∠A3A2B=36°的度数,∠A4A3C=45°,…,
∴9°n<90°,
解得n<10.
由于n为整数,故n=9.
故答案为:9.
【点评】考查了等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等;三角形外角的性质:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
5.(2015•杭州模拟)如图,在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E,使DB=DE,此时恰有∠ADE=∠ACB,则∠B的度数是 20° .
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】设∠B=x.先由DB=DE,根据等边对等角得出∠DEB=∠B=x,根据三角形外角的性质得出∠ADE=∠DEB+∠B=2x,由∠ADE=∠ACB得出∠ACB=4x.再由AB=BC,得出∠ACB=∠A=4x,然后在△ABC中,根据三角形内角和定理列出方程4x+x+4x=180°,解方程即可求出∠B的度数.
【解答】解:设∠B=x.
∵DB=DE,
∴∠DEB=∠B=x,
∴∠ADE=∠DEB+∠B=2x,
∴∠ACB=2∠ADE=4x.
∵AB=BC,
∴∠ACB=∠A=4x.
在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴4x+x+4x=180°,
∴x=20°.
即∠B的度数是20°.
故答案为20°.
【点评】本题主要考查了等腰三角形等边对等角的性质,三角形外角的性质及三角形内角和定理,难度适中.设出适当的未知数,用代数方法解几何题是一种常用的方法.
6.如图,等边△ABC中,E,D在AB,AC上,且EB=AD,BD与EC交于点F,则∠DFC=
【考点】等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】先根据SAS判定△ABD≌△BCE得出全等三角形的对应角相等,再根据角之间的关系得出∠DFC=60°.
【解答】解:∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=∠A,AB=BC,
∵EB=AD
∴△ABD≌△BCE(SAS)
∴∠ABD=∠BCE,∠ADB=∠BEC
∵∠DFC=∠ECB+∠CBF=∠ABD+∠CBF=60°.
故填60°.
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定,做题要灵活运用做到真正掌握.
7.(2015•杭州一模)一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形,则该大等腰三角形顶角的度数是 108°或90°或36°或 .
【考点】等腰三角形的性质.
【专题】分类讨论.
【分析】因为题中没有指明这个等腰三角形是什么形状,故应该分四种情况进行分析,从而得到答案.
【解答】解:(1)如图1,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD,求∠BAC的度数. ∵AB=AC,BD=AD,AC=CD,
∴∠B=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,
∵∠CDA=2∠B,
∴∠CAB=3∠B,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴5∠B=180°,
∴∠B=36°,
∴∠BAC=108°.
(2)如图2,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD,求∠BAC的度数.
∵AB=AC,AD=BD=CD,
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB
∴∠BAC=2∠B
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴4∠B=180°,
∴∠B=45°,
∴∠BAC=90°.
(3)如图3,△ABC中,AB=AC,BD=AD=BC,求∠BAC的度数.
∵AB=AC,BD=AD=BC,
∴∠B=∠C,∠A=∠ABD,∠BDC=∠C
∵∠BDC=2∠A,
∴∠C=2∠A=∠B,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴5∠A=180°,
∴∠A=36°.
(4)如图4,△ABC中,AB=AC,BD=AD,CD=BC,求∠BAC的度数.
假设∠A=x,AD=BD,
∴∠DBA=x,
∵AB=AC,
∴∠DBC=
CD=BC,
∴∠BDC=2x=∠DBC=
解得:x=.
.
﹣x, ﹣x, 故答案为:108°或90°或36°或
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,等腰直角三角形的性质,熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键.
三.解答题(共23小题)
8.(2015•曲靖)如图,过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D,E是线段OC的中点,请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N,探究线段OD、ON、DM之间的数量关系,并证明你的结论.
【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的性质;等腰三角形的判定与性质.
【分析】(1)当点M在线段CD上时,线段OD、ON、DM之间的数量关系是:OD=DM+ON.首先根据OC是∠AOB的平分线,CD∥OB,判断出∠DOC=∠DC0,所以OD=CD=DM+CM;然后根据E是线段OC的中点,CD∥OB,推得CM=ON,即可判断出OD=DM+ON,据此解答即可.
(2)当点M在线段CD延长线上时,线段OD、ON、DM之间的数量关系是:OD=ON﹣DM.由(1),可得OD=DC=CM﹣DM,再根据CM=ON,推得OD=ON﹣DM即可.
【解答】解:(1)当点M在线段CD上时,线段OD、ON、DM之间的数量关系是:OD=DM+ON. 证明:如图1,,
∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠DOC=∠C0B,
又∵CD∥OB,
∴∠DCO=∠C0B,
∴∠DOC=∠DC0,
∴OD=CD=DM+CM,
∵E是线段OC的中点,
∴CE=OE,
∵CD∥OB, ∴,
∴CM=ON,
又∵OD=DM+CM,
∴OD=DM+ON.
(2)当点M在线段CD延长线上时,线段OD、ON、DM之间的数量关系是:OD=ON﹣DM.
证明:如图2,,
由(1),可得
OD=DC=CM﹣DM,
又∵CM=ON,
∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM,
即OD=ON﹣DM.
【点评】(1)此题主要考查了平行线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.②定理2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.③定理3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.
(2)此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①等腰三角形的两腰相等.②等腰三角形的两个底角相等.③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
9.(2015•庆阳)如图,在△ABC中,∠C=60°,∠A=40°.
(1)用尺规作图作AB的垂直平分线,交AC于点D,交AB于点E(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)求证:BD平分∠CBA.
【考点】作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.
【专题】作图题.
【分析】(1)分别以A、B两点为圆心,以大于AB长度为半径画弧,在AB两边分别相交于两点,然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线;
(2)根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可.
【解答】解:(1)如图1所示:
(2)连接BD,如图2所示:
∵∠C=60°,∠A=40°,
∴∠CBA=80°,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴∠A=∠DBA=40°,
∴∠DBA=∠CBA,
∴BD平分∠CBA.
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和及基本作图,解题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
10.(2015•宜昌)如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作:以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H;再分别以点G,H为圆心,大于GH的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E.
(1)求证:AB=AE;
(2)若∠A=100°,求∠EBC的度数.
【考点】作图—基本作图;等腰三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据平行线的性质,可得∠AEB=∠EBC,根据角平分线的性质,可得∠EBC=∠ABE,根据等腰三角形的判定,可得答案;
(2)根据三角形的内角和定理,可得∠AEB,根据平行线的性质,可得答案.
【解答】(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC.
由BE是∠ABC的角平分线,
∴∠EBC=∠ABE,
∴∠AEB=∠ABE,
∴AB=AE;
(2)由∠A=100°,∠ABE=∠AEB,得
∠ABE=∠AEB=40°.
由AD∥BC,得
∠EBC=∠AEB=40°.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定,利用了平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定.
11.(2015•吉林)图①,图②,图③都是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1.在图①,图②中已画出线段AB,在图③中已画出点A.按下列要求画图:
(1)在图①中,以格点为顶点,AB为一边画一个等腰三角形;
(2)在图②中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形;
(3)在图③中,以点A为一个顶点,另外三个顶点也在格点上,画一个面积最大的正方形.
【考点】作图—应用与设计作图.
【分析】(1)根据勾股定理,结合网格结构,作出两边分别为的等腰三角形即可;
(2)根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出边长为的正方形;
(3)根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出最长的线段作为正方形的边长即可.
【解答】解:(1)如图①,符合条件的C点有5个:
;
(2)如图②,正方形ABCD即为满足条件的图形:
;
(3)如图③,边长为的正方形ABCD的面积最大.
.
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图.熟记勾股定理,等腰三角形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在.
12.(2015•温州模拟)如图,有甲,乙两个三角形,请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形,并标出每个三角形各角的度数.
【考点】等腰三角形的判定.
【分析】根据等腰三角形的性质,一个等腰三角形的两底角相等,故可把原三角形中的一个角分成两个角,故(1)把75°的角分成25°的角和50°的角,则25°和25°的底角组成一个等腰三角形,另外一个三角形是两底角为50°的等腰三角形;(2)把120°的角分成80°和40°的角,则40°与40°的底角组成一个等腰三角形,另外一个三角形有两个角都是80°.
【解答】解:如图1:直线把75°的角分成25°的角和50°的角,
则分成的两个三角形都是等腰三角形;
如图2,直线把120°的角分成80°和40°的角,
则分成的两个三角形都是等腰三角形.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定以及作图,确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键.
13.(2015•北京)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.
【考点】等腰三角形的性质.
【专题】证明题.
【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD,根据同角的余角相等可得:∠CBE=∠CAD,再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD.
【解答】证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC,
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°,∠CAD=∠BAD,
∴∠CBE=∠BAD.
【点评】考查了余角的性质,等腰三角形的性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
14.(2015•宿迁)如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC,求证:∠C=2∠D.
【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质.
【专题】证明题.
【分析】首先根据AB=AC=AD,可得∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,∠ABC=∠CBD+∠D;然后根据AD∥BC,可得∠CBD=∠D,据此判断出∠ABC=2∠D,再根据∠C=∠ABC,即可判断出∠C=2∠D.
【解答】证明:∵AB=AC=AD,
∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,
∴∠ABC=∠CBD+∠D,
∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠D,
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D,
又∵∠C=∠ABC,
∴∠C=2∠D.
【点评】(1)此题主要考查了等腰三角形的性质和应用,考查了分类讨论思想的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①等腰三角形的两腰相等.②等腰三角形的两个底角相等.③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
(2)此题还考查了平行线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.②定理2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.③定理3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.
15.(2013•汕尾模拟)如图,△ABC中,AB=AC,D、E分别是BC、AC上的点,∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE?写出你的推理过程.
【考点】等腰三角形的性质.
【专题】压轴题;开放型.
【分析】若∠BAD=2∠CDE,设∠CDE=x,则∠BAD=2x,根据角之间的关系可求得∠1=x+∠C=∠2,即AD=AE,
所以当∠BAD=2∠CDE时,AD=AE.
【解答】解:当∠BAD=2∠CDE时,AD=AE
证明:若∠BAD=2∠CDE,设∠CDE=x,则∠BAD=2x
∵AB=AC,∴∠B=∠C
∵∠2=∠CDE+∠C,∠ADC=∠BAD+∠B
∴∠2=x+∠C,∠1+x=2x+∠B=2x+∠C
∴∠1=x+∠C=∠2
∴AD=AE.
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质的理解及运用.通过方程解题是正确解答本题的关键.
16.(2015•江都市一模)(1)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E在边AB上,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数;
(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=40°,点D、E在直线AB上,且AD=AC,BE=BC,则∠DCE= 110° ;
(3)在△ABC中,∠ACB=n°(0<n<180°),点D、E在直线AB上,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数(直接写出答案,用含n的式子表示).
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】(1)由AD=AC,BC=BE,根据等边对等角得出∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC,再利用三角形内角和定理得出∠ACD=(180°﹣∠A)÷2,∠BCE=(180°﹣∠B)÷2,而∠A+∠B=90°,那么求出∠ACD+∠BCE=135°,则∠DCE=∠ACD+∠BCE﹣∠ACB=90°;
(2)由AD=AC,BC=BE,根据等边对等角得出∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC,再利用三角形内角和定理得出∠ACD=(180°﹣∠CAD)÷2,∠BCE=(180°﹣∠CBE)÷2,而∠CAD+∠CBE=220°,那么求出∠ACD+∠BCE=70°,则
∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=110°;
(3)分四种情况进行讨论:①点D、E在边AB上,同(1)可求出∠DCE=90°﹣n°;②点D在BA延长线上,点E在AB延长线上,同(2)可求出∠DCE=90°+n°;③点D在边AB上,点E在AB延长线上,求出∠DCE=n°;④点D在BA延长线上,点E在边AB上,求出∠DCE=n°.
【解答】解:(1)∵AD=AC,BC=BE,
∴∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC,
∴∠ACD=(180°﹣∠A)÷2,∠BCE=(180°﹣∠B)÷2,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠ACD+∠BCE=180°﹣(∠A+∠B)÷2=180°﹣45°=135°,
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE﹣∠ACB=135°﹣90°=45°;
(2)∵AD=AC,BC=BE,
∴∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC,
∴∠ACD=(180°﹣∠CAD)÷2,∠BCE=(180°﹣∠CBE)÷2,
∵∠CAD+∠CBE=180°﹣∠CAB+180°﹣∠ABC=360°﹣(180°﹣∠ACB)=180°+40°=220°, ∴∠ACD+∠BCE=(180°﹣∠CAD)÷2+(180°﹣∠CBE)÷2=180°﹣(∠CAD+∠CBE)÷2=180°﹣220°÷2=70°,
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=70°+40°=110°.
故答案为110°;
(3)分四种情况进行讨论:
①点D、E在边AB上,
∵AD=AC,BC=BE,
∴∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC,
∴∠ACD=(180°﹣∠A)÷2,∠BCE=(180°﹣∠B)÷2,
∵∠A+∠B=180°﹣n°,
∴∠ACD+∠BCE=180°﹣(∠A+∠B)÷2=180°﹣90°+n°=90°+n°,
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE﹣∠ACB=90°+n°﹣n°=90°﹣n°;
②点D在BA延长线上,点E在AB延长线上,
∵AD=AC,BC=BE,
∴∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC,
∴∠ACD=(180°﹣∠CAD)÷2,∠BCE=(180°﹣∠CBE)÷2,
∵∠CAD+∠CBE=180°﹣∠CAB+180°﹣∠ABC=360°﹣(180°﹣∠ACB)=180°+n°,
∴∠ACD+∠BCE=(180°﹣∠CAD)÷2+(180°﹣∠CBE)÷2=180°﹣(∠CAD+∠CBE)÷2=180°﹣90°﹣n°=90°﹣n°,
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=90°﹣n°+n°=90°+n°;
③如图1,点D在边AB上,点E在AB延长线上,
∵AD=AC,BC=BE,
∴∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC,
∴∠ACD=(180°﹣∠CAD)÷2,∠BCE=(180°﹣∠CBE)÷2,
∵∠CBE=∠CAD+∠ACB=∠CAD+n°,
∴∠CAD﹣∠CBE=﹣n°,
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠ACB﹣∠ACD+∠BCE=n°﹣(180°﹣∠CAD)÷2+(180°﹣∠CBE)÷2=n°+(∠CAD﹣∠CBE)÷2=n°﹣n°=n°;
④如图2,点D在BA延长线上,点E在边AB上,
∵AD=AC,BC=BE,
∴∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC,
∴∠ACD=(180°﹣∠CAD)÷2,∠BCE=(180°﹣∠CBE)÷2,
∵∠CAD=∠CBE+∠ACB=∠CBE+n°,
∴∠CBE﹣∠CAD=﹣n°,
∴∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠ACD+∠ACB﹣∠BCE=n°+(180°﹣∠CAD)÷2﹣(180°﹣∠CBE)÷2=n°+(∠CBE﹣∠CAD)÷2=n°﹣n°=n°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,运用数形结合、分类讨论是解题的关键.
17.(2014秋•清远期末)如图,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.
【考点】等腰三角形的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】过E作EF∥AB交BC延长线于F,根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE,从而可得到BD=CE=EF,再根据AAS判定△DGB≌△EGF,根据全等三角形的性质即可证得结论.
【解答】证明:过E作EF∥AB交BC延长线于F.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵EF∥AB,
∴∠F=∠B,
∵∠ACB=∠FCE,
∴∠F=∠FCE,
∴CE=EF,
∵BD=CE,
∴BD=EF,
在△DBG与△GEF中,
∴△DGB≌△EGF(AAS),
∴GD=GE.
,
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用.
18.(2014秋•海南校级期末)在△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC= 15°
(2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC= 20°
(3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示: ∠EDC=∠BAD
(4)如图3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?如有,请你写出来,并说明理由.
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】(1)等腰三角形三线合一,所以∠DAE=30°,又因为AD=AE,所以
∠ADE=∠AED=75°,所以∠DEC=15°.
(2)同理,易证∠ADE=70°,所以∠DEC=20°.
(3)通过(1)(2)题的结论可知,∠BAD=2∠EDC(或∠EDC=∠BAD).
(4)由于AD=AE,所以∠ADE=∠AED,根据已知,易证∠BAD+∠B=2∠EDC+∠C,而B=∠C,所以∠BAD=2∠EDC.
【解答】解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠BAD=30°,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=75°,
∴∠EDC=15°.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠BAD=40°,
∴∠BAD=∠CAD=40°,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=70°,
∴∠EDC=20°.
(3)∠BAD=2∠EDC(或∠EDC=∠BAD)
(4)仍成立,理由如下
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC =2∠EDC+∠C
又∵AB=AC,
∴∠B=∠C
∴∠BAD=2∠EDC.
故分别填15°,20°,∠EDC=∠BAD
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质,即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一.得到角之间的关系是正确解答本题的关键.
19.(2015秋•丰润区期中)如图在△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的角平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,求DF的长.
【考点】等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,再求出
∠DAE=∠EAB=30°,然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°,从而得到∠DAE=∠F,再根据等角对等边求出AD=DF,然后求出∠B=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答.
【解答】解:∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°,
∵AE是∠BAD的角平分线,
∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°,
∵DF∥AB,
∴∠F=∠BAE=30°,
∴∠DAE=∠F=30°,
∴AD=DF,
∵∠B=90°﹣60°=30°,
∴AD=AB=×9=4.5,
∴DF=4.5.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记各性质是解题的关键.
20.(2015秋•铜山县期中)(1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上且CE=CA,试求∠DAE的度数;
(2)如果把第(1)题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC>90°”,其余条件不变,那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系?
【考点】等腰三角形的性质;等腰直角三角形.
【分析】(1)由在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,可求得∠ABC与∠ACB的度数,然后由BD=BA,CE=CA,分别求得∠BAD与∠CAE的度数,继而求得答案;
(2)首先设∠BAC=α,然后由AB=AC,用α表示出∠ABC与∠ACB的度数,继而由BD=BA,CE=CA,分别求得∠BAD与∠CAE的度数,则可求得答案.
【解答】解:(1)∠DAE=45°.
理由:∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∵AB=BD,AC=CE,
∴∠BAD=∠BDA,∠E=∠CAE,
∴∠BAD=(180°﹣45°)=67.5°,
∴∠CAE=∠ACB=22.5°,
∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣67.5°=22.5°,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°;
(2)∠DAE=∠BAC.
理由:设∠BAC=α,
∴∠B=(180°﹣α),
∵BA=BD,
∴∠BAD=∠BDA=(180°﹣∠B),
∴∠CAD=α﹣(180°﹣∠B)=α﹣90°+∠B,
∵CA=CE,
∴∠CAE=∠ACB=∠B,
∴∠DAE=α﹣90°+∠B+∠B+∠B=α﹣90°+∠B,
∴∠DAE═α﹣90°+(180°﹣α)=α,
∴∠DAE=∠BAC.
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理.注意用设∠BAC=α,然后用α表示出各角是解此题的关键.
21.(2015秋•淮安期中)如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDA,∠BAC=48°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求∠CAD的度数.
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】(1)根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论;
(2)根据已知条件得到B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆上,根据圆周角定理得到∠CAD=2∠CBD,∠BAC=2∠BDC,根据等腰三角形和三角形的内角和得到∠ABC=(180°﹣∠BAC)=66°;即可得到结论.
【解答】解:(1)∵AB=AC,∠BAC=48°,
∴∠ABC=(180°﹣∠BAC)=66°;
(2)∵AB=AC=AD,
∴B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆上,
∴∠CAD=2∠CBD,∠BAC=2∠BDC,
∵AB=AC,∠BAC=48°,
∴∠ABC=(180°﹣∠BAC)=66°;
∴∠ABD=∠ADB,
∵∠CBD=2∠BDA,
∴∠CBD=2∠ABD,
∴∠CBD=44°,
∴∠CAD=88°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,圆周角定理,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
22.(2015秋•南京期中)(1)如图(1),在△ABC中,AB>AC>BC,∠ACB=80°,点D、E分别在线段BA、AB的延长线上,且AD=AC,BE=BC,则∠DCE=
(2)如图(2),在△ABC中,AB>AC>BC,∠ACB=80°,点D、E分别在边AB上,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数;
(3)在△ABC中,AB>AC>BC,∠ACB=80°,点D、E分别在直线AB上,且AD=AC,BE=BC,则∠求DCE的度数(直接写出答案);
(4)如图(3),在△ABC中,AB=14,AC=15,BC=13,点D、E在直线AB上,且AD=AC,BE=BC.请根据题意把图形补画完整,并在图形的下方直接写出△DCE的面积.(如果有多种情况,图形不够用请自己画出,各种情况用一个图形单独表示).
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠D,∠BCE=∠E,由三角形的内角和得到∠CAB+∠CBA=100°,根据三角形的外角的性质得到∠CDA+∠BCE=(∠CAB+∠CBA)=50°,即可得到结论;
(2)根据三角形的内角和和外角的性质即可得到结论;
(3)点D、E分别在直线AB上,除去(1)(2)两种情况,还有两种情况,如图3,由(1)知,∠D=CAB,由(2)知∠CEB=,列方程即可求得结果.
(4)在△ABC中,AB=14,AC=15,BC=13,过C作CF⊥AB与F,根据勾股定理求得AB边上的高CF=12,然后根据三角形的面积公式即可强大的结论.
【解答】解:(1)∵AD=AC,BE=BC,
∴∠ACD=∠D,∠BCE=∠E,
∵∠ACB=80°,
∴∠CAB+∠CBA=100°,
∴∠CDA+∠BCE=(∠CAB+∠CBA)=50°,
∴∠DCE=130°,
故答案为:130°.
(2)∵∠ACB=80°,
∴∠A+∠B=100°,
∵AD=AC,BE=BC,
∴∠ACD=∠ADC,∠BEC=∠BCE,
∴∠ADC=,∠BEC=,
∴∠ADC+∠BEC=180°﹣(∠A+∠B)=130°,
∴∠DCE=50°;
(3)点D、E分别在直线AB上,除去(1)(2)两种情况,还有两种情况,如图3, 由(1)知,∠D=CAB,由(2)知∠CEB=,
∴∠CEB=∠D+∠DCE, ∴=CAB+∠DCE,
∴∠DCE=40°,
如图4,同理∠DCE=40°;
(4)在△ABC中,AB=14,AC=15,BC=13,
过C作CF⊥AB与F,
则AC﹣AF=BC﹣BF,即15﹣AF=13﹣(14﹣AF),
解得:AF=9,
∴CF=12,
①如图1,DE=AB+AC+BC=42,
∴S△CDE=×42×12=252;
②如图2,DE=AC+BC﹣AB=14,
∴S△CDE=×14×12=84;
③如图3,DE=AC+AB﹣BC=16,
∴S△CDE=×16×12=96;
④如图4,DE=AB+BC﹣AC=12,
∴S△CDE=×12×12=72.
22222222
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理,三角形的面积,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
23.(2015春•滕州市校级期中)已知如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,求证:AO⊥BC.
【考点】等腰三角形的性质;线段垂直平分线的性质.
【专题】证明题.
【分析】延长AO交BC于点D,先证出△ABO≌△ACO,得出∠BAO=∠CAO,再根据三线合一的性质得出AO⊥BC即可.
【解答】证明:延长AO交BC于点D,
在△ABO和△ACO中,
,
∴△ABO≌△ACO(SSS),
∴∠BAO=∠CAO,
∵AB=AC,
∴AO⊥BC.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,用到的知识点是全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质,关键是找出全等三角形.
24.(2015秋•常熟市月考)如图,在△ABC中,AB=AC,AF⊥BC,点D在BA的延长线上,点E在AC上,且AD=AE,试探索DE与AF的位置关系,并证明你的结论.
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到∠FAC=∠BAC,根据外角的性质得到∠BAC=∠ADE+∠AED,由于AD=AE,于是得到∠AED=∠ADE,等量代换得到
∠FAC=∠AED,于是结论即可得出.
【解答】解:DE∥AF,
理由:∵AB=AC,AF⊥BC,
∴∠FAC=∠BAC,
∵∠BAC=∠ADE+∠AED,
∵AD=AE,
∴∠AED=∠ADE, ∴BAC,
∴∠FAC=∠AED,
∴AF∥DE.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,平行线的判定,三角形的外角的性质,熟练掌握各定理是解题的关键.
25.(2015秋•赵县校级月考)如图,在△ABC中,AD为中线,点E在AB上,连接ED并延长,与∠DAC的平分线AF交于点F.
(1)若△ABC的周长为32cm,△ABD的周长为23cm,且AB=AC,求AD的长度;
(2)若∠CAD=48°,∠ADE=42°,求∠F的度数.
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】(1)由等腰三角形的性质和三角形的周长得出AB+BD+AD=23cm,AB+BD=16cm,即可求出AD的长;
(2)由角平分线得出∠DAF的度数,再由三角形的外角性质求出∠F的度数即可.
【解答】解:(1)∵AB=AC,AD为中线,
∴BD=CD=BC,
∵△ABC的周长为32cm,△ABD的周长为23cm,
∴AB+2BD+AC=32cm,AB+BD+AD=23cm,
∴AB+BD=16cm,
∴AD=23﹣16=7(cm);
(2)∵AF平分∠CAD,
∴∠
DAF=∠CAD=24°,
∵∠ADE=∠F+∠DAF,
∴∠F=∠ADE﹣∠DAF=42°﹣24°=18°.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的周长;熟练掌握等腰三角形的性质,运用等腰三角形的三线合一性质和三角形的外角性质是解决问题的关键.
26.(2014秋•广州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB交加于D点,AE∥DC交BC的延长线于点E,已知∠E=36°,求∠B的度数.
【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质.
【专题】计算题.
【分析】根据AE∥DC,∠E=36°,求出∠BCD的度数,再利用CD平分∠ACB,即可求出∠B的度数.
【解答】解:∵AE∥DC,∴∠BCD=∠E=36°,
又∵CD平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠BCD=72°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACD=72°.
答:∠B的度数为72°.
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和平行线性质的理解和掌握,解答此题的关键是先求出∠BCD的度数.
27.(2013秋•济宁期末)(1)如图1,点B,D在射线AM上,点C,E在射线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,求∠A的度数;
(2)如图2,点B、F、D在射线AM上,点G、C、E在射线AN上,且
AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA,求∠A的度数.
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】(1)根据等边对等角可得∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD,
∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM,然后用∠A表示出∠EDM,计算即可求解;
(2)由特殊到一般,解题的思路与(1)相同.
【解答】解:(1)∵AB=BC=CD=DE,
∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED,
根据三角形的外角性质,
∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM,
又∵∠EDM=84°,
∴∠A+3∠A=84°,
解得,∠A=21°;
(2)∵AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA,设∠A=x°,
则∠AFG=∠ACB=x°,∠CGF=∠CEF=∠CBF=∠CDF=2x°,
∠ECD=∠CED=∠EFD=∠EDF=3x°,
而∠A+∠CED+∠EDF=180°,故,即∠A=;
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,是基础题.
28.(2013秋•开封期末)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线AB、AC之间,并使小棒两端分别落在两射线上. 探究一:如图甲,从A点开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在两端点处互相垂直,A1A2为第一小棒.
思考:
(1)小棒能无限摆下去吗?答: 能 (填“能”或“不能”)
(2)设AA1=A1A2=A2A3,求θ的度数
探究二:如图乙,从A1点开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1=A2A3=A3A4=…
思考:(3)若已经向右摆放了3根的小棒,则θ1=,θ2=θ3=;(用含θ的式子表示)
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】(1)本题需先根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端分别落在两射线上,从而判断出能继续摆下去.
(2)利用等腰直角三角形的性质求解即可.
(3)本题需先根据A1A2=AA1,得出∠A1AA2和∠AA2A1相等,即可得出θ1的值,同样道理得出θ2、θ3的值.
【解答】解:(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上, ∴小棒能继续摆下去.
故答案为:能;
(2)∵A1A2=A2A3,A1A2⊥A2A3,
∴∠A2A1A3=45°,
∴∠AA2A1+∠θ=45°,
∵∠AA2A1=∠θ,
∴∠θ=22.5°;
(3)∵A1A2=AA1
∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ
∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ
∴θ1=2θ
同理可得:θ2=3θ
θ3=4θ.
故答案为:能;2θ,3θ,4θ.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键.
29.(2013•青羊区一模)如图,△ABC中AB=AC,BC=6,,点P从点B出发沿射线BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,当点P为AB的中点时,求CD的长;
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线垂足为E,当点P、Q在移动的过程中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.
【考点】等腰三角形的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】几何综合题;压轴题;分类讨论.
【分析】(1)过点P做PF平行与AQ,由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等,再由AB=AC,根据等边对等角得角B和角ACB的相等,根据等量代换的角B和角PFB的
相等,根据等角对等边得BP=PF,又因点P和点Q同时出发,且速度相同即BP=CQ,等量代换得PF=CQ,在加上对等角的相等,证得三角形PFD和三角形QCD的全等,根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD=CF,而又因P是AB的中点,PF∥AQ得出F是BC的中点,进而根据已知的BC的长,求出CF,即可得出CD的长.
(2)分两种情况讨论,第一种情况点P在线段AB上,根据等腰三角形的三线合一得BE=EF,再又第一问的全等可知DF=CD,所以ED=,得出线段DE的长为定值;第二种情况,P在BA的延长线上,作PM平行于AC交BC的延长线于M,根据两直线平行,同位角相等推出角PMB等于角ACB,而角ACB等于角ABC,根据等量代换得到角ABC等于角PMB,根据等角对等边得到PM等于PB,根据三线合一,得到BE等于EM,同理可得△PMD全等于△QCD,得到CD等于DM,根据DE等于EM减DM,把EM换为BC加CM的一半,化简后得到值为定值.
【解答】解:(1)如图,过P点作PF∥AC交BC于F,
∵点P和点Q同时出发,且速度相同,
∴BP=CQ,
∵PF∥AQ,
∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD,
又∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠PFB,
∴BP=PF,
∴PF=CQ,又∠PDF=∠QDC,
∴证得△PFD≌△QCD,
∴DF=CD=CF,
又因P是AB的中点,PF∥AQ,
∴F是BC的中点,即
FC=BC=3,
∴CD=
CF=;
(2)分两种情况讨论,得ED为定值,是不变的线段
如图,如果点P在线段AB上,
过点P作PF∥AC交BC于F,
∵△PBF为等腰三角形,
∴PB=PF,
BE=EF,
∴PF=CQ,
∴FD=DC,
∴ED=,
∴ED为定值,
同理,如图,若P在BA的延长线上,
作PM∥AC的延长线于M,
∴∠PMC=∠ACB,
又∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠PMC,
∴PM=PB,根据三线合一得BE=EM,
同理可得△PMD≌△QCD,
所以CD=DM,
,
综上所述,线段ED的长度保持不变.
【点评】此题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判断与性质,考查了分类讨论的数学思想,是一道综合题.
30.(2013秋•信州区校级期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,D、E分别是AB、AC上的不动点,且BD+CE=BC,当PC=CE时,试求∠DPE的度数.
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】图中有三个等腰三角形:△ABC,△BDP,△CPE.已知顶角,根据内角和定理可求底角.∠DPE=180°﹣∠BPD﹣∠CPE.
【解答】解:∵AB=AC,∠A=40°,
∴∠B=∠C=(180°﹣40°)÷2=70°.
∵BD+CE=BC,PC=CE,
∴BD=BP,
∴∠BPD=∠CPE=55°.
∴∠DPE=180°﹣55°×2=70°.
故∠DPE的度数是70°.
【点评】此题考查等腰三角形的性质:等边对等角.运用三角形内角和定理不难求解.