素数定理随笔
素数定理随笔
SCIbird
本文献给数学大师高斯
本文试图介绍猜测素数定理的一种思路,以及简单的解析证明。尽管看起来有些事后诸葛亮的感觉,但确实是一种认识素数定理的途径,希望本文能够给读者以启迪。
约定p 始终代表素数,z , s 表示复数。记π(x ) 表示不超过x 的素数的个数,所谓素数定理,指下面极限表达式
π(x ) =1 x →∞x /ln x lim
本文主要围绕这个表达式来谈谈自己的一些心得体会。应该指出,上述结论已经有严格的数学证明(包括初等证明),但本文重点是给出一条探索素数的途径,文章中主要以近似和形式推导为主,大胆猜测,严格证明。
通过原始的数值计算来观察π(x ) 的分布规律是常见的思维方法,见下表:
表格出自华罗庚的《数论导引》
dt (这是一个非初等积分)由高斯所发现,是π(x ) 的另2ln t
一个渐进表达式。由洛比达法则可知
Li x =1 lim x →∞x /ln x 其中,函数Li x =∫x
函数li x 按如下方式定义
⎛li x =lim ⎜η→0⎜⎝∫1−η
0+∫x 1+ηdt ⎞⎟ ⎟⎠ln t
显然Li x =li x −li 2.
从上表可以看出,利用li x 作为π(x ) 的渐进函数,效果比x /ln x 要好一些,不过本文的主角其实是函数Li x .
素数作为整数的基础,自古以来备受数学家们的重视。首先,素数有无穷多个。其次,素数又非常少,即π(x ) /x →0. 第三,素数的分布似乎毫无规律,总的来看很稀疏,偶尔有集聚现象。
所以当人们证明π(x ) 的极限情况有很简单的渐进表达式x /ln x 时,还是感到很神奇。据称,素数定理、费马大定理和哥德巴赫猜想是20世纪初数论中的三大著名猜想,而且素数定理当时的名气最大。
我们主要沿着高斯的发现途径Li x 来找到突破口,这里面也包含很多后来人的工作。与前人思路不同高斯不是简单研究π(x ) 的数值分布特点,而是考察比值π(x ) /x 的分布特点,猜测是否有简单函数ϕ(x ) 来近似代替。
按数学家迪厄多内的说法,高斯考虑(x , x +1000) 内的所有素数,通过大量的计算,高斯从数值表中观察到,当x 很大时,有下面的近似性质:
π(x +1000) −π(x ) 1正比于 1000ln x
数值计算表明,用Li x 来近似表示π(x ) ,效果不错。
这一深刻的发现一方面包含高斯辛勤的计算劳动,同时体现了高斯的敏锐直觉。另一方面,直观上也不难理解高斯的发现,笔者当初第一感觉是高斯似乎在寻找素数分布的某种概率分布(笔者下意识想到了正态分布),正确地说,高斯是在寻找素数的某种密度函数分布(近似表达式)。
同一时期,法国数学家勒让德(此人数学上经常与高斯撞车)也发现了素数分布近似关系π(x ) ~x /(lnx −B ) ,其中B 是一个常数。数学史上一般认为,勒让德和高斯是素数定理的“发现者”(他们没有给出数学证明)。
有没有比数值计算更纯数学一些,更有逻辑一些,来猜测出素数定理的表达式呢?数学家柯朗在《数学是什么》一书中,给出一种从统计方法角度来猜测素数定理的途径。总的方向是寻找一种简单连续函数ϕ(x ) ,使得对较大的数a 与b 有近似关系
π(b ) −π(a ) ≈∫ϕ(x ) dx a b
当然,如果对较大的数x 有近似表达式
π(x ) ≈∫ϕ(t ) dt 2x
就更好了!严格说,满足上述要求的简单函数ϕ(x ) 未必存在,至少不能预先知道。不过从数学和谐角度看,可以假设这样的ϕ(x ) 存在,下面通过形式推导来猜一猜ϕ(x ) 的表达式。
数论中有一个关于阶乘n ! 的定理,即素数p 是n ! 的一个素因子,则p 作为因子的次数“约为”(当整数n 很大时)
⎡n ⎤⎡n ⎤⎡n ⎤n n n n αp =⎢⎥+⎢2⎥+⎢3+⋅⋅⋅≈+++⋅⋅⋅= ⎢⎣p ⎦⎥⎣⎢p ⎦⎥⎣⎢p ⎦p p p p −1
这里[x ]表示不超过x 的最大整数。
可以证明,满足p ≤n 的所有素数皆为阶乘n ! 的因子,反之亦然。于是
n
p 1n ! =∏p
p ≤n αp ≈∏p p ≤n
根据斯特林公式ln n ! 近似等于n ln n ,故
ln n ≈∑
用x 代替n ,得到近似表达式 ln p p 1−p ≤n
ln x ≈∑p ≤x ln p p −1
因而对上述等式右侧进行近似是突破口。
考虑区间[2, x ) ,其内的素数按照从小到大顺序排列为
2=p 1
因为ln x /(x −1) 是减函数,所以在区间[p i , p i +1) 上有
p i +1ln p i +1p i +1ln t ln p i p i +1≤≤ϕ(t ) dt ϕ(t ) dt ϕ(t ) dt ∫∫∫p p p i p i +1−1i t −1p i −1i
根据假设,ϕ(x ) 应该使得∫p i +1
p i ϕ(t ) dt ≈1(对较大的素数p i ). 对上面不等式
在区间[2, x ) 内的素数求和,得到“近似”表达式
∫x
2ϕ(t ) ln t ln p dt ≈∑ t −1p ≤x p −1
这个近似关系自然不是很严格,但在形式推导之中还是有启迪作用的(至少比没有方向强)。下一步,“大胆假设”
ln x =∫ϕ(t ) 2x ln t dt t −1
等式两边对x 求导,得到
ϕ(x ) =x −1 x ln x
当x 较大时,(x −1) /x ≈1. 因此猜测:当x 较大时,
x dt Li x =∫ 2ln t
作为π(x ) 的近似表达式是一种可能。幸运的是,数值计算表明近似效果不错,这应该是形式推导与数值计算结合的一个典范。
上面说过了素数定理的猜想思路,下面再说说素数定理的证明。第一个证明来自阿达玛和普桑,证明方法比较高深。后来塞尔伯格和厄尔多斯给出了纯初等证明(一堆繁琐的不等式估计,思路比较复杂),证明细节可参考华老的《数论导引》。后来人经过化简,给出了素数定理一个简洁的解析证明,使用的数学工具难度不超过复变函数中的柯西积分定理。这方面的文章见美国数学月刊
一文。下面的内容不准备深入讨论证明细节,只讨论证明的整体框架。
定义函数
ζ(s ) =∑1ln p =, φ(s ) , ϑ(x ) =∑ln p ∑s s n p n =1p p ≤x ∞
第一个函数ζ(s ) 就是传说中的黎曼zeta 函数!这方面有太多熟知的重要结论了,如其无穷乘积表达式(欧拉的工作)
ζ(s ) =∑11=, Re(s ) >1 ∏s s p 1−p n =1n ∞
可以将ζ(s ) 函数解析延拓到整个复平面,其只在s =1处有一个单极点。不过人们似乎对ζ(s ) 的零点兴趣更大,大名鼎鼎的黎曼假设(悬赏100万美元)被认为是数学中的第一难题:
ζ(s ) 函数在0
“黎曼假设”等价于π(x ) =Li x +O x )
根据ζ(s ) 的无穷乘积表达式,当Re(s ) >1时ζ(s ) ≠0,而证明素数定理的一个关键结论是:当Re(s ) =1时,ζ(s ) ≠0(阿达玛和普桑)。
ϑ(x ) 的函数是数学家切比雪夫引进的,可以估计ϑ(x ) =O (x ) . 而φ(s ) 引入的妙处在于与后面的“Tauber 型”定理相结合,巧妙地证明ϑ(x ) ~x (文章的精华部分)。
大致思路如下:利用ζ(s ) 的无穷乘积表达式得到关系式
−ζ′(s ) ln p =φ(s ) +∑s s ζ(s ) p p (p −1)
利用ζ(s ) 的零点性质,以及在s =1处有一个单极点的结论可以证明函数
φ(s ) −1/(s −1) 在Re(s ) ≥1上是解析的。
为证明ϑ(x ) ~x ,先证明广义积分∫
方法是利用所谓的“Tauber 型定理”,这方面内容可参考Rudin 的《泛函分析》第9章Tauber 理论。下面的想法是:通过研究f (t ) 在某个线性变换L [f (t )]下的渐进性质,来研究函数f (t ) 的无穷远处的渐进性质,这里选择的线性变换是传说中的Lapalce 变换。
首先,先证明有如下Laplace 变换(Re(s ) >1)
+∞φ(s ) =∫ϑ(e t ) e −st dt 0s
注意到ϑ(x ) 是素数点处的分段线性函数,在素数点处断开讨论积分,再求和即可证明上述变换。 ∞1ϑ(x ) −x dx 收敛。 x 2
其次,令f (t ) =ϑ(e t ) e −t −1及g (z ) =φ(z +1) /(z +1) −1/z ,则
g (z ) =∫+∞
0f (t ) e −zt dt (Re(z ) >0)
做变换x =e t ,当z =0时就得到我们所需证明的广义积分,即
∞ϑ(x ) −x +∞dx =∫1x 2∫0f (t ) dt
注意到g (z ) 是Re(z ) ≥0上的解析函数,因此讨论极限关系
z →0+lim ∫+∞0f (t ) e −z t dt =∫+∞0f (t ) dt
是否存在就很关键了,这方面有一个重要定理:
设t ≥0,f (t ) 是有界的局部可积函数,定义函数
g (z ) =∫+∞
0f (t ) e −zt dt (Re(z ) >0)
若函数g (z ) 可以解析延拓到Re(z ) ≥0,则广义积分收敛且满足
g (0)=lim
z →0+∫+∞0f (t ) e −z t dt =∫+∞0f (t ) dt
这个结论看起来很自然,但证明需要一定技巧。通过巧妙选择被积函数和积分围道,然后利用柯西积分定理可以证明上述积分号下求极限定理成立,证明细节可参考上面提到的美国数学月刊那篇文章。
接下来利用反证法和广义积分收敛的柯西准则可证明ϑ(x ) ~x .
对某个充分大的x 有ϑ(x ) ≥λx 成立。注意到ϑ函数是 假设存在常数λ>1,
不减的,于是
∫
同理可证, λx x λx λx −t λλ−u ϑ(t ) −t dt ≥∫dt =∫du >0 1x t 2t 2u 2与广义积分的柯西收敛准则矛盾!类似地,存在正的常数λ
1λ−u x λx −t ϑ(t ) −t dt ≤dt =∫λx t 2∫λx t 2∫λu 2du
同样矛盾。于是利用反证法证明了ϑ(x ) ~x .
因为lim Li x =1,所以为证明π(x ) ~Li x ,只需要证明(最常见形式) x →∞x /ln x
π(x ) lim =1 x →∞x /ln x
由不等式ϑ(x ) =∑ln p ≤∑ln x =π(x ) ln x 以及
p ≤x p ≤x
ϑ(x ) =∑ln p ≥
p ≤x x 1−ε∑ln p ≥x ≤p ≤x 1−ε∑(1−ε) ln x ≤p ≤x
=(1−ε) ln x [π(x ) +O (x 1−ε)]
得到不等式估计
ϑ(x ) π(x )ln x 1ϑ(x ) 1ln x ≤≤+ x x 1−εx 1−εO (x )
利用ϑ(x ) ~x 两边取极限,由夹逼定理得到
π(x ) lim =1 x →∞x /ln x
这就证明了素数定理。
当然,数学的能力在于细节,因此笔者强烈建议读者认真读一读Zagier 那篇小文章,并且补全本文省略掉的若干技术细节。
评注:应该指出,数论中有很多难题,难度不亚于素数定理,但难度不是数学的全部,特别是面对浩瀚的数学海洋时,必须学会取舍。笔者不太擅长数论,也不是数论粉丝,之所以关注素数定理,一方面与数学偶像高斯有关,另一方面也被素数定理的优美深刻所吸引,特别是看到这个简短的解析证明之后,更是拍案叫绝,因此有了本文。
当然,很多人可能仍觉得这个解析证明较难,但考虑到素数定理的证明是一个“菲尔兹奖级别”的数学工作,上面的证明已经化简的很多了,相信对认真学过数学分析和复变函数的读者来说,难度不大。
最后在补充素数定理的一些内容。大量数值计算表明(例如首页的表格),似乎有π(x ) −li x
存在无数多个x ,使得π(x ) −li x >0;存在无数多个x ,使得π(x ) −li x
后来有人估计,之所以误认为猜想正确,是因为使得π(x ) −li x >0成立的x 是一个天文数字。这个例子表明数学证明的优越性,你不可能通过数值计算验
证所有的情况,当可以给出一个否定形式的证明。
出乎意料,黎曼假设等价于π(x ) =Li x +O x ) ,如果该表达式成立,则可认为这是素数定理误差估计的最佳形式了(几乎难以改进)。
当初很多数学家认为素数定理不太可能有初等证明,是因为阿达玛等人的证明之中利用了黎曼ζ(s ) 函数零点的性质,不少人觉得证明之中难以规避ζ(s ) 函数,因此不太肯能有初等证明。后来,塞尔伯格等给出了素数定理的一个初等证明(不用微积分),涉及一大堆繁琐的不等式估计,思路晦涩,启发性不大,华老等不太推荐。
最后指出,本文是笔者即兴随笔之作,写的比较仓促,错误难免,读者需细心才行。