[直线与平面垂直的判定]典型例题
直线与平面垂直的判定 典型例题
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1. 知识与技能:理解并掌握直线与平面垂直的定义及垂线、垂面、垂足的含义,会用空间
图形及数学符号分别表示直线与平面垂直;理解并掌握直线与平面垂直的判定定理,并能运用定义及判定定理判断直线是否与平面垂直。
2. 过程与方法:利用等价转化的思想证明立体几何问题;提高学生逻辑思维能力;培养学
生由图形想象出位置关系的能力。
3. 情感态度与价值观: 利用所学知识解释生活现象,激发学生学习数学的积极性,能辩
证的看待问题;学会分析事物间的关系,进而选择解决问题的途径。
要点聚焦
1. 直线与平面垂直的定义:直线与平面内的任意一条直线都垂直,称直线与平面互相垂直,
直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面。直线与平面垂直时,它们的唯一公共点叫做垂足。
2. 直线与平面垂直是直线与平面相交的特例。直线与平面相交但不垂直时,直线叫做平面
的斜线,直线与平面的交点叫做斜足。
3. 直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则称该直
线与此平面垂直。
4. 直线与平面垂直的定义中的“任何一条直线”这个词语与“所有直线”是同义语,但与
“无数条直线”不同,定义的实质就是直线与平面的所有直线都垂直。
5. 直线与平面垂直的判定定理可以用符号表示:
6. “a⊂α,b⊂α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b,⇒l⊥α”
7. 直线与平面垂直的方法:
(1) 若一条直线垂直于平面内的任何直线,则这条直线垂直于平面;(定义)
(2) 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则这条直线垂直于平面;(判定定理)
(3) 两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面;
(4) 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它必垂直于另一个平面。
经典题例
例1判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号
1.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行 ( )
2.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直 ( )
3.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 ( )
4.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 ( )
5.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面( ) 分析: 本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。
解答: 1.直线与平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行,②异面,因此应打×
2.该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系,若为平行,则该命题应打“√”号;若为相交,则该命题应打“×”号,正是因为这两种可能同时具备,因此,不说明面内这无数条线的位置关系,则该命题应打“×”号
3.垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂直定义的逆用,则
该直线必垂直于三角形的第三边,∴该命题应打“√”
4.前面介绍了两个命题,①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,根据第一个命题知:过点A垂直于直线a的平面惟一,因此,过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内,∴该命题应打“√”
5.三条共点直线两两垂直,设为a,b,c且a,b,c共点于O,
∵a⊥b,a⊥c,b∩c=0,且c确定一平面,设为α,则a⊥α,
同理可知b垂直于由a,c确定的平面,c垂直于由a,b确定的平面
∴该命题应打“√”
点评:此类问题必须做到:概念清楚、问题理解透彻、相关知道能灵活运用。
例2如图2-35:在空间四边形ABCD中,已知BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H,求证:AH⊥平面BCD。
分析: 要证AH⊥平面BCD,只须利用直线和平面垂
直的判定定理,证AH垂直于平面BCD中两条相交
直线即可。
证明:取AB中点F,连结CF、DF,
∵AC=BC,∴CF⊥AB,
又∵AD=BD,∴DF⊥AB,∴AB⊥平面CDF,
又CD 平面CDF,∴CD⊥AB
又CD⊥BE,∴CD⊥平面ABE,CD⊥AH
又AH⊥BE,∴AH⊥平面BCD。 图2-35
点评:证明线面垂直,需转化为线线垂直,而线线垂直,又可通过证线面垂直来实现。在这里,定义可以双向使用,即直线a垂直于平面α内的任何直线,则a⊥α,反之,若a⊥α,则a垂直于平面α内的任何直线。