初中几何平移旋转思想,构图
旋转，平移在几何中的种种应用
编者寄语：平移，旋转是几何中极其重要的两种思想，其主要体现在对边、角的转换，从而实现构造图形的功能，是一个看似困难的题转化为我们所熟知的，所能够解出来的题型，这边是旋转、平移的巧妙之处，也是旋转平移思想的精髓所在
典型例题
例1. 求证三角形三内角和为180°（至少3种方法）
这道例题虽然十分简单，但却很好的展示了通过构造平移来对角的转换，向我们展现了平移最基本的应用。
练习
1. AC=3,AB=5,BD=4,∠B+∠C=225°,AB 与CD 夹角为45°, 求CD
的长
2. 在等腰三角形ABC 中，AB=AC，延长
边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连结DE ，恰有AD=BC=CE=DE．求∠BAC 的度数．
提示：过D 作DF ∥BC ，且使DF=BC，连CF 、EF
典型例题
例1. P为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长？
解：
将△BAP 绕B 点旋转90°使BA 与BC 重合，P 点旋转后到Q 点，连接PQ
因为△BAP ≌△BCQ
所以AP ＝CQ ，BP ＝BQ ，∠ABP ＝∠CBQ ，∠BPA ＝∠BQC
因为四边形DCBA 是正方形
所以∠CBA ＝90°
所以∠ABP ＋∠CBP ＝90°
所以∠CBQ ＋∠CBP ＝90°
即∠PBQ ＝90°
所以△BPQ 是等腰直角三角形
所以PQ ＝√2*BP，∠BQP ＝45
因为PA=a，PB=2a，PC=3a
所以PQ ＝2√2a，CQ ＝a
所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2
所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2
所以△CPQ 是直角三角形且∠CQA ＝90°
所以∠BQC ＝90°＋45°＝135°
所以∠BPA ＝∠BQC ＝135°
作BM ⊥PQ
则△BPM 是等腰直角三角形
所以PM ＝BM ＝PB/√2＝2a/√2＝√2a
所以根据勾股定理得：
AB^2＝AM^2＋BM^2
＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2
＝[5＋2√2]a^2
所以AB ＝[√(5＋2√2)]a
练习
1. 如图，P 是正方形ABCD 内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的度数。
2. (2009山西) 在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，将△ABC 绕点B 顺时针旋转角α(0°＜α＜90°) 得△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于D ，F 两点．
(1)如图22－4(a)，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 1与FC 是怎样的数量关系? 并证明你的结论；
图23－4(a)
(2)如图23－4(b)，当α＝30°时，试判断四边形BC 1DA 的形状，并说明理由；
图23－4(b)
(3)在(2)的情况下，求ED 的长