偏微分方程在图像处理中的应用
2007年5月安徽教育学院学报May.2007
第25卷第3期JournalofAnhuiInstituteofEducationVol.25No.3
偏微分方程在图像处理中的应用
周 晓1,朱才志2
(1.安徽教育学院教育系,安徽合肥230061,2.中国科学技术大学电子工程与信息科学系,安徽合肥230027)[摘
要]低级的图像处理一直是制约计算机视觉发展的重要因素。由于涉及的数学理论很浅,经典的图像处理一直采用
简单的启发式方法,虽偶能产生立竿见影的效果,但却有着致命的缺陷:我们不知道为什么、什么情况下该算法能奏效,而什么时候、为什么它又会失灵。近年来研究表明,偏微分方程(PDE)理论可为图像处理提供统一的理论框架,已在多个图像处理领域取得经典算法无法比拟的效果。文章首先介绍了基于PDE的图像处理方法的发展历程及相关理论背景,重点分析了其在图像恢复领域中的应用。
[关键词]偏微分方程;图像处理;图像恢复;各向异性扩散
[中图分类号]TP317.4 [文献标识码]A []-03-04
1 引言[1]
在当今信息时代,界”里,、广泛使用的通讯媒介,易、紧凑与普遍的方法。图像无时无刻不存在于我们的生活中,我们也离不开它。这种现象的原因之一是由于图像采集设备的进步,使获取各式各样的图像数字信息成为可能;同时由于计算机处理能力的不断增强,使我们可以处理越来越大的数据量,同时也促成了图像处理、计算机视觉等新学科的产生。
图像处理的历史至少可以上溯到二十世纪60年代,在过去的四十多年里该领域吸引了大量计算机学家与电子工程师们的参与,但一直未有引起数学家的注意,这种局面导致图像处理方法涉及的数学理论很浅,长时间停留在十九世纪的数学水平。虽然这种简单的启发式方法,如直方图均衡等,可产生立竿见影的效果,但却有着致命的缺陷:我们不知道为什么、什么情况下这些算法能凑效,而什么时候、为什么又会失灵。尽管图像处理与分析与计算机科学有很强的联系,但在相当长的一段时间里算法在特定假设条件下的正确性的证明闻所未闻。这种情况近年来得到改观,首先由于计算机学家与电子工程师们的数学功底的增强,其次,该领域的巨大市场需求吸引了越来越多的数学工作者的加入。可以说图像处理与计算机视觉正处于转型的关键时期。与图像处理相关的数学分支包括:微分与黎曼几何,几何代数学,泛函分析(包括变分与PDE),概率与数理统计,奇异值理论等,可以说二十世纪发展起来的数学理论都与图像处理与机器视觉有关。这种相关性体现在:我们可以把特定的图像处理问题62
,在假定条件下证明问题的解的存在性、唯一性与求解算法的正确性。得益于现代数学理论的支撑,而今已形成三个主要的图像处理方法分支:随机过程建模、小波理论与PDE方法。随机过程建模主要基于马尔科夫随机场理论,直接对数字图像进行处理;小波理论从一维信号处理中继承开来,依赖于分解技术;本文主要研究PDE方法,这种方法在1990年以来被广泛应用于图像处理领域,具体涉及微分几何,PDE,变分理论,数值分析等多个数学领域。
近年来国际上图像处理与计算机视觉领域顶级学术期刊(如:IEEETrans.onPAMI、IEEETrans.onImageProcessing与InternationalJournalofComputerVision,JournalofVisualCommunicationandImageRepresentation等)分别专门发表过以PDE应用为主题的特刊,国际学术会议CVPR,IC2CV,ICIP等也为此召开了特别国际会议。目前美
国加州大学洛杉矶分校、法国SophiaAntipolis等机构在该领域内研究领先。近年来国内也非常重视对该领域的研究,中科院自动化所等单位也为此召开了专题研讨会。
本文的组织结构如下:第二部分介绍PDE在图像处理中的发展历程,第三部分简述PDE的数学理论基础,第四部分介绍PDE在图像恢复中的应用,最后总结了PDE在图像应用中的优点。2 PDE在图像处理中的发展历程[2]
PDE在图像处理领域的应用研究最早可以追溯
[收稿日期]2007-02-10
[第一作者简介]周晓,安徽教育学院教育系教师。
到Gabor和Jain的工作。然而该领域研究的真正兴起起源于Koenderink与Witkin各自独立的研究。他们严格引入尺度空间的概念,他们的这种原创性工作是PDE在图像处理领域中应用的基础。
Perona与Malik在各向异性扩散方面的论文是图像正则化领域最有影响的研究成果。他们建议用一种保边界的扩散来替代基于热传导等式的各向同性扩散的高速光滑滤波。在此基础上Osher与Ru2din等提出冲击滤波器,Rudin提出的全变分下降
2+B1+C1u。2=A1
st5t
2)椭圆型:方程(2)在x0处有Δ(x,y)
22标准型为2+2=A+B+Cu。
3)抛物型:方程(2)在x0处有Δ(x,y)=0。其
2标准型为2=A+B+Cu。
3.2 偏微分方程的数值求解
法,Price等提出的反应-扩散等式,都成为当前
PDE在图像恢复领域成功应用的典范与当前的研究热点。
在图像处理与计算机视觉中应用的PDE大多的位置。在该领域,Osher与、曲面或图像。该技术不但提供了PDE的非常精确的数值解法,而且解决了非常棘手的拓扑问题。
此外Mumford与Shah提出的M-S图像分割方法,Kass提出的snake活动轮廓模型等都是PDE在图像分割与目标提取领域开创性的研究成果。3 PDE的数学理论基础
在R空间中,令自变量x=(x1,x2,…,xn),未知函数u(x)=u(x1,x2,…,xn),偏微分方程的基本形式可写为:
(1),L,,L,m1
x1xnx1x2m2L5xnmn
称PDE的阶为m=m1+m2+L+mn。偏微分方程
m
n
偏微分方程的数值求解主要有以下三种方法,以第一种方法最为普遍。
1)有限差分法
:,,,,难以处理复。
如-uxx-uyy=f离散化为-ui,j-1-ui-1,j+4ui,j-ui+1,j-ui,j+1=h2fi,j
2)有限元法
特点是:从微分方程的等效积分形式(弱形式)出发,通用性强,善于处理复杂区域与边值条件,缺点是程序复杂,计算量大。
Ω,-uxx-uyy=f的等效积分形式Π(x,y)∈是
u(δu)
∫
Ω
x
x
+uy(δu)
y
=
fδu+uδu
∫∫
Ω
5Ω
n
3)有限体积法
特点是:直接从原始偏微分方程的积分形式出发,复杂度介于差分法和有限元法之间,常用于求解流体问题。
4 PDE在图像恢复中的应用
x1,L,xn,u,
问题由两部分组成:1)偏微分方程表达式;2)求解区
域及其边值条件,我们把方程的解必须满足的事先给定的条件叫做定解条件。若PDE的解存在、唯一且关于定解条件稳定,就称PDE为适定的。
3.1 二阶半线性两自变量PDE的分类[3]在二维图像处理中,自变量为像素坐标(x,y),涉及的PDE为两个自变量的二阶半线性方程,其一般形式是:
a11uxx+2a12uxy+a22uyy+F(x,y,u,ux,uy)=0(2)记Δ(x,y)=a212-a11a22,可得二阶半线性两个自变Ω的分类:量方程在点x0∈
1)双曲型:方程(2)在x0处有Δ(x,y)>0。双
图像质量的好坏在许多图像处理应用中尤为重要,然而由于传感器瑕疵、噪声、干扰与传输损耗等不利因素的存在,我们得到的是降质后的图像。寻找一种计算有效的方法自动除去引入的噪声就是图像恢复的研究内容。历史上图像恢复是最早考虑的图像处理问题之一,直到今天,它仍是许多图像处理应用必不可少的预处理步骤。图像恢复方法很多,包括线性滤波、随机建模等等,本节主要介绍基于PDE的图像恢复方法[4]。
4.1 图像退化模型
众所周知,在图像信息的形成、传输与记录过程中存在着信息丢失,从而引起图像质量的退化。在图像恢复过程中,总是尽可能是选择与实际情况相吻合的退化模型,这种模型一般用概率分布描述,多数情况下我们假定服从高斯分布。然而,对于实际
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曲型方程的第一标准型为
22=A+B+Cu,第二标准型为s2-
图像我们通常不可能知道其噪声的具体类型,对于图像退化模型未知的情况,我们通常假设其服从加性噪声与线性模糊卷积的简单退化模型:
(3)u0=Ru+η
这里u:Ω
inf|u0-Ru|2dx
u
∞[ξ[0,1]来控制不同方向的扩散权重:
)