利用矩阵分析二次型对角化
Vol . 22 No . 4第22卷 第4期忻州师范学院学报
Aug . 2006 2006年8月JOURNAL OF X I N ZHOU TE ACHERS UN I V ERSI TY
利用矩阵分析二次型对角化
银润龙
(忻州师范学院, 山西忻州034000)
摘 要:二次型化标准形常采用配方法, ,
文中利用初等矩阵和初等变换之间的关系。实质, 。
关键词:初等矩阵; 配方法; 二次型中图分类号:O151. 21 :-1491(2006) 04-0053-04
, , 因为利用二次型对角化可将数域P 上所有对称矩阵进行分划, , 本文利用初等矩阵和初等变换刻划出二次型对角化的理论实质。
1 基本概念和引理
定义1 设P 是一数域, 一个系数在数域P 中的x 1, x 2, …, x n 的二次齐次多项式称为数域P 上的一个n 元二次型, 记作f
(x 1, x 2, …, x n ) 。
定义2 初等矩阵是由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。设P i m 为单位矩阵E 经过将第m 行的l i m 倍加到第i 行
(或将第i 列的l i m 倍加到第m 列) 得到的初等矩阵。
即
1
…ω………ω……ω………ω…
000…ω…ω…ω…
…
P i m =
…
1
…
…
…
…
l i m
ω
…
1
…
01
…
00
…
0l 1m
…
…ω………ω…
…
…
100
…
l m -1m
…
001
000
引理1设
L m =00
1l m +1m
…
…
…
l nm
…
则有L m =P 1m P 2m …P m -1m P m +1m …P nm
引理2 对一个n ×n 矩阵A 作一初等行(列) 变换就相当于在A 的左(右) 边乘上相应的n ×n 初等矩阵。
2 本文主要结果
下面我们利用矩阵来讨论二次型化标准型过程中所采用的线性替换的实质。
引理3 当二次型中至少有一个a mm ≠0时, 可以对x m 配方, 与该配方相应的线性替换的矩阵为:收稿日期:2006-05-09
作者简介:银润龙(1976-) , 男, 山西忻州人, 忻州师范学院数学系助教, 从事代数学研究。
54 忻州师范学院学报 第22卷
1…ω………ω…
000…ω………ω…
b 1n
…
C =
l m 1
…
1l mm -1
…
010
…
0l mm +1
0l m n l m j =-a m j a mm
, j =1, 2, …, m -1, m +1, …n
0010
…
b 11
…
…
0b 1m +1
…
…ω………ω…
b 1m -1
…ω………ω…
…
b m -11
…
b m -1m -1
…
0a mm
…
b m -1m +1
…
b m -1n
且C ′AC =
0b m +11
0b m +1m -1
0b m +1m +1
0b m +1n
…
b n 1
…
b n m -1
…
…
m nn
其中 b ij =a ij +l m j a i m =a ij +l m i 证明:设
f (x 1, x 2, …, x n ) =a mm x mm
2
+2
∑a
j =1
j ≠m
n
m j m
x x j +
n
n
∑∑a
j =1
i ≠m
j =1
j ≠m ij x j
n n
ij
x i x j
n
=a mm (x mm
2
+2x m a mm
n
-1
∑a
j =1
j ≠m
m j
x j ) +
∑∑a
j =1
j ≠m
j =1
i ≠m n
-1
x
=a mm (x mm +a mm
-1
∑
j =1
j ≠m m j
2
a m j x j ) -a mm
(
n
∑
j =1j ≠m n i =1i ≠m
2
a m j a j ) +
∑∑a x x
ij
i
j =1i =1j ≠n i ≠m
n n
j
n
a mm (x mm +a mm
y 1=x 1
x 1=y 1
-1
∑a
j =1
j ≠m
x j )
2
-a mm
-1
(
∑∑a x z )
ij
i j
j =1
j ≠m
……
a mm 令y m =x m +j ∑=1
j ≠m n
……
-1
a m j x j 即x m =y m -∑a mm
j =1
j ≠m
n
-1
a m j y j 线性替换的矩阵为
……
y n =x n
……
x n =y n
1
ω
-a mm
C =
-1
a m 1
…1
-a mm
-1
a mm +1-a mm
-1
a mm +2
…
-a mm
-1
a m n
1
1
ω
1
则
1
…ω………ω…
000…ω………ω…
…
C =
l m 1
…
1l m m -1
…
010
…
0l m m +1
0l m n
0010
…
1
…
…
…
第4期 银润龙:利用矩阵分析二次型对角化
a a mm
55
l m j =-, j =1, 2, …, m -1, m +1, …, n
则
f (x 1, x 2, …, x n ) =a mm y m
2
-a mm
-1
(
∑a
j =1
j ≠m n
n
m j
y j )
2
+
∑∑a
j =1
j ≠m
i =1
i ≠m
n n
ij
y i y j
而
n
n
m j
a mm
-1
(
∑a
j =1
j ≠m
m j
y j )
2
=a mm
-1
(
∑a
j =1
j ≠m
y j ) (
∑a
j =1
j ≠m
m j
y j )
a m 1
…
a mm -1
=a mm
-1
y 1[a m 1 … -1 0a mm +1n n -1y n
-1
[y 1, y 2, …, y n -1, y n 0
a mm +1
…
a m n
m 1…ω………ω…
0a m 1a mm +1
…ω………ω…
n
n
a m 1a m n
a mm -1a m 1
=a mm
-1
…
a mm -1a mm -1
…
000
…
a mm -1a mm +1
…
a mm -1a m n
Y 0a mm +1a m 1
0a mm +1a mm -1
0a mm +1a m +1
0a mm +1a m n
…
a m n a m 1
…
a m n a mm -1
n
…
…
a m n a mm +1
…
a m n a m n
所以
f (x 1, x 2, …, x n ) =-a mm
a m 1a m 1
-1
(
∑a
j =1
j ≠m
m j
y j )
2
+a mm y m
2
+
∑∑a
j =1
j ≠m
j =1
j ≠m
ij
y i y j
…ω………ω……ω………ω……ω………ω…
a m 1a mm -10a m 1a mm +1
…ω………ω…
a 1n
a m 1a m n
…
a mm -1a m 1
=-a mm
-1
…
a mm -1a mm -1
…
000
…
a mm -1a mm +1
…
a mm -1a m n
Y 0a mm +1a m 1
0a mm +1a mm -1
0a mm +1a m +1
0a mm +1a m n
Y
…
a m n a m 1
a 11
…
a m n a mm -1a 1m -1
…
00
a 1m +1
…
a m n a mm +1
…
a m n a m n
…ω………ω……ω………ω…
…
a m -11
+Y 0
a m +11
…
a m -1m -1
…
0a mm
…
a m -1m +1
…
a m -1n
0a m +1m -1
0a m +1m +1
0a m +1n
Y
…
a n 1b 11
…
a n m -1b 1m -1
…
00
…
a nm +1b 1m +1
…
a nn b 1n
…
b m -11
=Y 0
b m +11
…
b m -1m -1
…
0a mm
…
b m -1m +1
…
b m -1n
0b m +1m -1
0b m +1m +1
0b m +1n
Y
…
b n 1
…
b n m -1
…
…
b nm +1
…
b nn
56 忻州师范学院学报 第22卷
-1
其中 b ij =a ij +(-a mm
b 11
a m i a m j ) =a ij +(-
a a mm
) a m i =a ij +l m j a m i 。b 1n
…ω…ω…
b 1m -10b 1m +1
…ω………ω…
…
b m -11
…
…
0a mm
…
b m -1m +1
…
b m -1n
…b m -1m -1…b m +1m -1
…
b n m -1
而0b m +11
0b m +1m +1
0b m +1n
=C ′AC 。
…
b n 1
…
…
b n m +1
…
b nn
由上述证明可知, 在二次型化标准型的过程中, 若对二次型中含有x m 的项配方, a mm 将它所在行和列的其余元素都化成0, 而保持该元素不变。
定理:数域P 上的一个n 元二次型, 对x m a mm 所在的行和列都化成0, 而保持这个元素不变。
证明:由引理1知, 引理3中的C ′可以写成, 则C m -1m +1m p n m , 则C ′AC =P 1m P 2m …P m -1m P m +1m …P nm A
(P 1m P 2m …P m -1m P m +1m …P nm ) ′
b 11
…ω………ω…
b 1m -1011
………ω…
1n
…
b m -11
-10a mm
b m -1m +1
b m -1n
=0b m +11
b m +1m -1
0b m +1m +1
0b m +1n
…
b n 1
…
b nm -1
…
…
b n m +1
…
b nn
由引理2知, P i m 对应着一个初等行变换或初等列变换, 所以C ′AC 可通过对A 进行一系列初等行变换和相应初等列变换得到。故结论成立。
(责编:王玉琴)
参考文献:
[1] 王萼芳, 石生明. 高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2005. [2] 孟道骥. 高等代数与解析几何(上) [M].北京:科学出版社, 2004.
Ana lysis on the D i a gona li za ti on of Quadra ti c form w ith M a tr i x
YI N Run -l ong
(X inzhou Teachers U niversity, X inzhou 034000, China )
Abstract:Method of comp leting square is often used when transf or m ing a quadratic f or m int o a nor mal one, whose p r ocess is equivalent t o making the relevant matrix contract diagonal . This paper analyzes the essence of method of comp leting suqare with matrix, utilizing the relati onshi p bet w een the ele mentary matrix and the ele mentary transfor 2mati on . I n fact, this method can be seen as a p r ocess in which the line and the r ow in the diagonal where s ome non -vanishing ele ment lies are transf or med int o zer o .
Key words:ele mentary matrix; method of comp leting square; quadratic f or m