一类二面角的取值范围
高中数学教与学2005年
一类二面角的取值范围
王宏梅
()
,点,,.在此,我们利用极范围.
一、极端化———得出猜想
设正n棱锥P-A1A2…An的高为PO(如图1),由正棱锥的性质可知任何两个相邻侧面所成二面角相等,所以我们只要探求二面角
A1-PA2-A3.当点P无限接近点O时,棱锥
∠ADCx,则
PB=+
2
2
3
+
2
,
斜高PE=
的各侧面几乎“趴”在底面上,侧面PA1A2与侧面PA2A3几乎在同一平面内,此时二面角A1-PA2-A3无限接近π;当PO无限增大时,侧面无限接近和底面垂直,此时两侧面所成二面角无限接近正n边形的一个内角的大小.于是得出猜想:
n
6
2
.
在&PAB中,由面积公式,可得
AD=
22
・a=CD.
x2+4a2
在&ADC中,由余弦定理得
cosθ=1-222(12x2+a2)2
(x>0).=-22(12x2+a2)
令24x2+2a2=t,则
正n棱锥的相邻两侧面所成二面角的范围为,.
n
特殊化——验证猜想
设正三棱锥P-ABC的底面边长为a(如图2),过点A作AD⊥PB,垂足为D,连CD,则由正三棱锥性质易证CD⊥PB,于是∠ADC为二面角A-PB-C
的平面角,记
2
(t>2a2),cosθ=-2t),∴cosθ∈-1,且θ∈(0,π
2
θ∈∴
3
,.
出它与某类问题的联系与区别,并变更出新的命题;对同一个问题解法用不同的思考方式、用不同的数学工具进行探索,寻求多种解法和最佳解法;把一个在特殊情形或特殊位置上成立的问题换成一般情形或任意位置去研究等等.
总之,要把那些特殊的、具体的、局部的、低维低次的、平面的、抽象水平弱的问题“进一步”转化为一般的、抽象的、整体的、高维高次的、空间的、抽象水平高的问题来处理,从而从一朵蘑菇周围发现更多的蘑菇.
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第2期高中数学教与学故正三棱锥相邻两侧面所成二面角的范
π围为,.
3
其中
π
2n2
事实上,棱锥高的变化也影响到侧棱与底
面的关系,取侧棱与底边所成角为自变量,可以得到更简捷的证明方法.
设∠PBA=α,易知α∈
2
2
2
由正弦函数单调性知sin
sinα
-1
2n
ππ
6
,
,n
2
,则
∈
AD=CD=asin,
n棱n
∴cosθ=其中
22
2相面角的范围为
,.
n
6
2
.
利用上述结论或方法可以快速求解下列各题.
(1)正四棱锥相邻两侧面所成的二面角)一定是(
函的值域,得cosθ∈
π.-1,,于是θ∈,
2
3
三、一般化———论证猜想
设正n棱锥P-A1A2…An的底面边长为
a(如图1),侧棱PA2与底边A1A2和A2A3所
(A)锐角 (B)直角(C)钝角 (D)均有可能
选C.
(2)三棱柱ABC-A1B1C1中底面是正三
成角为α,过点A1作A1Q⊥PA2,垂足为Q,连A3Q,由正棱锥性质易证A3Q⊥PA2.
∴∠A1QA3为相邻两侧面所成二面角的平面角,记为θ.
∵A1A2=A2A3=a, ∠A1A2A3
=.
n
角形,∠A1AB=∠A1AC,则二面角B-)A1A-C的取值范围是(
(A)0,(C)0,
3
(B)
(D)
3
,
,3
π
3
∴由余弦定理得
.
n
又A1Q=A3Q=asinα,在&A1A2A3(A1A3)2=2a21-cos
选D.
(3)求正六棱锥任意两侧面所成二面角
的范围.
),答案:相对两侧面所成角的范围是(0,π
相邻两侧面所成角的范围是,,既不相
中,由余弦定理得:
cosθ
2a2sin2α-2a21-cos
=
3
2a2sin2α2sin2
=1-,2
sinα
邻又不相对的两个侧成所成二面角的范围是,.
3
☆名人名言☆
如果你做事缺乏诚意,或者迟迟不愿动手,那你即便有天大的本事,也不会有什么成就.
———狄更斯《荒凉山庄》
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