二重积分的计算方法
２０１１年
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ｏ高校讲坛。辩拄■■
二重积分的计算方法
孙卫卫
杜美华
（青岛理工大学琴岛学院
山东青岛２６６１０６）
二重积分的计算方法主要是在撮坐标系和直角坐标系下将二重
积分化为二次积分。进而利用两次定积分计算此二重积分．但是某些
则Ｊ枷＝Ｊ圳一Ｊ删一
二重积分化为二次积分后计算仍相当困难．这时。我们就要采用特殊的算法计算。本文主要概括了如何将二重积分化为二次积分．并对一些特殊类型的二重积分的解腰技巧进行了总结。
＝ｎ』三，俺胁＋『『ｆ层舭
１
将二重积分转化为二次积分
：幢
８’
一般教材中都讲到在直角坐标系下与扳坐标系下化为二次积分．
解法二：按ｙ一型区域区域计算
现在一个关键问题是面对一个二重积分如何选择合适的坐标系将其Ｄ＝Ｉ“．ｙ）ｌ一１≤ｙ≤２．，≤ｚ≤ｙ＋２｝，
化为＝次积分。
１．１
直角坐标系下计算二重积分
则ｆ枷＝序∥班阡厶手ｙ１Ｆ２妒争．
用Ｄ表示平面区域．主要分为以下两大类：１．２极坐标系下计算二重积分
（ｉ）ｘ～型区域
Ｄ＝Ｉ（ｚ．ｙ）『。妒ｌ“）≤ｙ≤他“），口≤』≤６｝，其中妒ｌ
在槛坐标系下的面积元素ｆｑ－５一种．楹坐标与直角坐标的关系
“），妒２０）分别表示区域Ｄ的上边界曲线和下边界曲线。
是：ｚ＝ｐｃ础．，＝Ｐｓｌ曲，一般情况下．当从极点出发的射线穿过积分区域
的内部时．与边界的空点不多于两个．则积分区域Ｄ一般有如下＝三种情形：
情形１原点０在区域Ｄ的外酃．
Ｃ
毫ｙ≤ｄＩ．其中妒．（ｙ）
砂
ｙ
妒删
线。
崖笳墼
垦揣堡缝基区域Ｄ可表示为：中ｔ（毋《ｐ≤十ｉ回．ａ≤口≤且相应地．二蘑粤１分就可以转化为极坐标系下的二次积分．
ｐ
』肌，）如ｊ触一棚叫础船』：瑚』：缸硼神口胂
Ｄ
ｘ一型区域的特征：界定＊的取值范围后。在ｘ的取值范围内用平情形２原点Ｏ在区域Ｄ的边界上．
行于ｙ轴的直线与Ｄ的边界曲线交点不多于两个．沿ｙ轴由下而上的方向．先窑的点所在曲线为下边界曲线．后交的点所在的曲线为上边界曲线。
ｒ一蜜区域的特征：界定ｙ的取值范围后，在Ｔ的取值范围内用平。乏：
行于ｙ轴的直线与Ｄ的边界曲线交点不多于两个沿ｚ轴由左而右的区域Ｄ可表示为：０≤ｐ≤中（印，口≤ｐ≤且相应地．二重积分就可以方向．先交韵点所在曲线为左边界曲线．后变的点所在的曲线为右边转化为撮坐标系下的二次积分．
界曲线。
此时可得．当Ｄ是ｘ一型区域时，Ｊ，（，∽ｄ旷＝』二出』二：＾ｚ。，）ｃ虮
Ｊ肌ｙ）妊Ｊ似瑚埘㈣仲址』：瑚胁扣捌．ｐｓｍｄ神
情形３原点Ｄ在区域Ｄ的内部．
当Ｄ是ｙ一型区域时。Ｊ，（；，ｙ）由＝ｆｊ毋』：孙，．ｙ）ｄｔ
倒１计算Ｊ州口，其中Ｄ是由抛物线向厦直线一一２所圈
成的闭区域．
区域Ｄ可表示为：０≤ｐ≤中（印．０≤日≤２仃．相应地．二重积分就可
以转化为极坐标系下的二次积分．
Ｊ他，）缸Ｊ加毋口珊胂抉ｆ棚肪（Ｍｐ．础日胂
Ｏ
６
当积分区域是暇形区域．扇形区域．圆环区域．并且麓积函致中青
有｝厦＃Ｖ的表达式时．用韫坐标计算二重积分比较简单。
倒２计算二重积分『啦ｔ蚰上打．其中Ｄ是由翻周如１＝４厦直６
’
解：解法一：按ｘ一型区域计算Ｄ严ｊ“，，）Ｉ—Ｖ｝《ｙ《、／亍．Ｏ≤
线，卸．，＝＃所围戚的第一象限内的闭区域。
ｊ≤１ｆ；雎｛ｈ．ｙ）ｋ—２《ｙ≤、厂Ｆ．１《，≤４｝，
解：积分区域为扇环区域．用极坐标计算比较简单．积分区域Ｄ：
ｌ《ｐ《２．ｏ《Ｄ≤｝．
万方数据
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２０１１年
第２ｌ期
于是！喇啪｝如＝ｊｊｊｉ帆陋【争］ｒ・哼】ｅ
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＝｝（１叶。）．
＝鲁・［芋一争］＝寺矿
通过例ｌ、例２的观察，若例２采用直角坐标系计算，例ｌ采用极坐标系计算都会相当麻烦。因此。计算二重积分一定要采用合适的坐标系。一般情况下。圆形区域、圆环区域都会采用极坐标计算，对于一般形区域采用直角坐标计算。如果被积函数用极坐标表示比较简单是．会采用极坐标计算．例如以下的例３采用极坐标系计算会更加简单。
例３计算二重积分Ｊ。出Ｊ。、／矸匆。
因在于、／研关于ｙ的原甬数比较难以求解，此时看到被积函数中
吉有＃Ｖ的表达式，想到可以转化成极坐标进行计算，于是有
解：此题若按照题设的二次积分直接计算．很显然很麻烦，主要原
例５设函数，（髫）在区问［ｏ，１］上连续，并设Ｊ：，（＊）也甜，求，＿
Ｊ。出Ｊ。ｍ抓ｙ）咖
ｒｌ
ｒＩ
，ｌ
ｒ，
懈：解法一：Ｊ。出Ｊ。，（１狄，，）妒Ｊｏ匆Ｊ∥＃），（，，）如
＝Ｊ。如Ｊ／（，），（，，）方
ｔＩ
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ｒＩ
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肛』：诈矿咖』知广Ｐ・坤
于是
：ｆ，手Ｉ声据手．ｒ由枷
＝手Ｊ。一伽
：｝一［、厂Ｆ＋ｌｎ（１＋、厂Ｆ）】．
２特殊类型的二重积分解题技巧
倒４计算二重积分１．出Ｉｅ’方．
分析：此题已经将二重积分转化为了直角坐标系下Ｘ一型区域的二次积分．但是积分仍相当困难，所以想到了是否可以用极坐标系的二次积分计算．但是也相当困难。因此．只有将其转化为直角坐标系下ｙ一型区域的二次积分．或者也可利用以前学的知识采用分步积分。解：解法一：交换积分次序．将二重积分其转化为直角坐标系下ｙ一型区域的二次积分．有
，，｝
啦Ｊ。出Ｊ∥＊），（，，）咖Ｊ。出Ｊ，以聋抓），）毋
＝Ｊ。出Ｊｏ，（髫抓，，）ｄｙ＝Ｊ∥＃）也Ｊ∥，，）毋
＾２
从而，－Ｊ：如Ｊ＿髫），（，，）咖争＾２．
解法二：分部积分
，Ｉ
ｒＩ
ｒＩ
ｒＩ
，．ｊｏ出Ｊ。，（茸矾，，）西一Ｊｏ以，）出Ｊ．以），）毋
＝ｆ众坝ｆ＿ｙ）啦
＝川＿，，）堋Ｊ驭岫】
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＝｝ｆｆ驭ｔ）出戊＝争肛
从例４和例５可以看出。对于某些二重积分采用直角坐标系下ｙ一型区域的二次积分计算较为困难，可以交换积分次序转化为．】ｒ一蠹区域的二次积分；或者采用Ｘ一型区域的二次积分较为困难，可以转化为ｘ一型区域的二次积分：也或者我们可以采用分部积分的方法进行
Ｃ出』：。彳炉ｆｄｙ』：ｅ彳也
＝胁彳妒｝∥妒
一｝ｃ一ｌ：＝寺【Ｉ岬１．
解法二：利用分部积分．
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［责任■■：常■飞】
ｆ上接第１４７页）本文考虑了随机利率的影响．利用０一Ｕ过程、Ｐｏｉ８∞ｎ过程联合建模．研究ｒ此种随机利率下个人纯保费的计算．一些细小信息的到达使得利率产生小的波动，由０一Ｕ过程来刻嚼；一些重大信息的到达使得利率产乍较大的波动，由Ｐ０ｉｓ∞ｎ过程来刻画．使得结论更具有一般性．适当选择参散６．卢．’，．ｐ．口，Ａ．能够达到规避利
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（２）：１４５一１５２．
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［７】壬丽燕．冯思民．一种采矗联合保险的双随机模型ｍ．工程散学学报．２∞３．２０
（８）：６９—７２．
串风险的效果．本文是对文章怫的结果的重要补充．１，１●
Ｉ◆考文献】
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．
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２００７．２７（２）２３—２６．
作者简介：牵竞飞（１９７卜）。男．内ｔ古＾笠囊市人．砷ｔ．嗣士．土羹从事
叠■截学研克．
［３］离建伟．邱苑华．利串蕞型为Ｍ＾（ｑ）时的生存年金精算现值模墨Ｌ玎．摹坑工程理论与实践．２００２．２２（ＩＩ）：１０４一１０６．
【４］郎艳怀．冯思民．麓机利率下综合人寿保险模型田．大连囊工大学学报．２∞１．４ｌ（５）５１１．５１３．
【责任■■：■明明】
１鸽
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二重积分的计算方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
孙卫卫， 杜美华
青岛理工大学琴岛学院 山东青岛 266106科技信息
Science & Technology Information2011(21)
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