平均数.中位数.众数的区别与联系易错点剖析
统计中的常见错解示例
一、概念理解不透造成错解
例1.下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表,
已知该小组本次数学测验的平均分是85分,则测验成绩的众数是( ) A. 80分 B.85分 C. 90分 D. 80分或90分
错解:根据该小组本次数学测验的平均分是85分,得70×1+80×3+90×x+100×1=85×(1+3+x+1),解得x=3.由于80分出现了3次,90分也出现了3次,所以这组数据的众数是(80+90)=85(分). 故本题答案选B.
21
错解分析:众数是一组数据中出现次数最多的数据. 若一组数据中,若干个数据出现的次数相同,并且比其他数据出现的次数都多,那么这若干个数据都是这组数据的众数. 由此可见,一组数据中可以有不止一个众数. 所以这组数据的众数是80分或90分,故应选D. 造成这一错解的原因是:对众数的概念理解不透,并误用求平均数的方法来求众数.
正解:根据题意,如同前面所解,得x=3,所以在这组数据中80分出现了3次,90分出现了3次,所以该组数据的众数是80分或90分. 故答案应选D.
例2. 一组数据的方差为s 2, 将这组数据中每个数据都除以3,所得新数据的方差是( )
A. s 2 B. 2s2 C. s 2 D. 4s2
3
9
1
1
错解:选A.
错解分析:错误的原因是由于对方差的概念没有深刻理解,误认为只要把原数据的方差也除以3就可得到新数据的方差. 事实上,样本中各数据与样本平
均数差的平方的平均数才叫方差. 通过相关计算可得,新数据的方差应是s 2.
9
1
正解:设原数据为x 1,x 2, …,x n , 其平均数为x ,方差为s 2. 根据题意,则新数据为x 1, x 2, …, x n , 其平均数为
3
3
3
1
1
1
1x 3
. 根据方差的定义可知,新数据的方差
为: S 2=
1m
[(x 1-3
1
1x 319
) 2+(x 2-3
1
1x 3
) 2+…+(x n -3
1
1x 3
) 2]= ×
9
11m
[( x1-x ) 2+( x2-x ) 2+…
+( xn -x ) 2]= s 2. 所以,本题答案应选C.
例 3.在一次数学测试中,某班25名男生的平均成绩是86分,23名女生的平均成绩是82分.求这些学生的平均成绩(结果精确到0.01分) .
错解: 平均成绩为x=
86+82
2
=84( 分) .
错解分析:错解在求平均数时,混淆了算术平均数与加权平均数的计算公式.当数据中有些数据是重复的,要使用加权平均数公式计算.
正解:平均成绩为x =
-
86⨯25+82⨯23
48
≈84.08( 分) .
例 4.若一组数据 x1,x2 x3,x4,x5的平均数为2, 则3x1-2, 3x2-2,3x3-2, 3x4-2,3x5- 2的平均数为________.
错解: 数据 3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2 的平均数仍为 2.
错解分析:设原数据x1,x2 x3,x4,x5 …,xn的平均数为x.直接代入平均数公式计算, 可知新数据 mx1+k, mx2+k, mx3+k, …, mxn+k 的平均数为 mx+k。
正解:数据 3x1-2, 3x2-2, 3x3-2, 3x4-2, 3x5- 2 的平均数=4.
例5. 求一组数据7,9,5,3,2,4,9,2,7,8的中位数. 错解:由于该组数据正中间的数是2,4,所以中位数为
2+42
=3.
错解分析: 根据中位数的定义知,在求一组数据的中位数时,应先按大小顺序排列数据.然后观察数据的个数,若数据的个数为奇数,则最中间的 就是中位数;若数据的个数为偶数,则中间两个数据的平均数即为中位数.错解错在没有将原数据按大小顺序进行排列就进行了判断.
正解:先将这组数据按从小到大顺序排列:2,2,3,4,5,7,7,8,9,9. 正中间有两个数, 分别是5和7, 而它们的平均数是6, 所以此组数据的中位数是6. 例6. 某乡镇企业生产部有技术工人15人. 生产部为了合理制定工人的每月生产定额, 统计了这15人某月的加工零件个数如表
(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数.
(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260, 这个分析定额是否合理? 为什么?
错解:(1)计算可知:平均数为260. 中位数为240. 众数为240.
(2)合理. 因为平均数是反映一组数据的平均水平的特征数, 体现了这组数据的集中趋势.
错解分析:第(1)题解答正确. 第(2)题解得不对, 原因在于, 每月能完成260件的人一共是4人, 还有11 人不能达到此定额. 尽管260是平均数, 但若将其作
为生产定额, 不利于调动多数工人的积极性. 若生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为240 件, 比较合理, 因为240 既是中位数, 又是众数, 大多数人都能完成生产定额, 有利于调动多数工人的积极性. 解略.
二、未作分类讨论造成漏解
例7. 一组数据5,7,7,x 的中位数与平均数相等, 求x 的值. 错解:由于平均数为所以
5+7+7+x
4
5+7+7+x
4
, 而中位数为
7+72
=7,
=7,解得x=9.
错解分析:错解的错误在于习惯性地认为该组数据是从小到大排列的. 事实上,x 的大小可分三种情况:①x ≤5; ②57.从而可知本题的中位数是不确定的, 要分类讨论.
正解:①当x ≤5时, 中位数为6, 此时②当5
③当x>7 时, 中位数为7, 此时综上可知,x=5 或x=9.
例8. 一组数据-1,0,3,5,x 的极差是7,那么x 的值可能有( ) A. 1个 B.2个 C. 4个 D. 6个
错解:根据题意,由x-(-1)=7,解得x=6,所以x 的值有1个,故答案选A.
错解分析:根据极差的定义知,数据中最大数据与最小数据的差叫做极差. 因为-1,0,3,5四个数中,最小数为-1,最大数为5,它们的差是6. 而题目中的极差为7,所以x 可能是这组数据的最大数,或是最小数. 错解中丢失了解. 本题必须进行分类讨论才能求得正确答案.
5+7+7+x
4
7+x 2
5+7+7+x
44
=6,解得x=5;
7+x 2
, 此时
5+7+7+x
=, 解得x=5,不符合题意, 舍
=7,解得x=9.
正解:根据极差的定义,对数据中的x 的大小必须分两种情况来讨论: ①当x 为这组数据中的最大数时,-1就为其最小数,则有x-(-1)=7,解得x=6.
②当x 为这组数据中的最小数时,5就为其最大数,则有5-x=7,解得x=-2. 综上所述,x 可取两个值:-2或6. 故答案应选B.
三、未考虑前提条件造成错解
例9. 甲、乙两个样本的方差分别是s 甲2=6.06,s 乙2=14.31,由此可反映( ) A. 样本甲的波动比样本乙大 B. 样本甲的波动比样本乙小 C. 样本甲和样本乙的波动大小一样 D. 样本甲和样本乙的波动大小关系不能确定
错解:因为s 甲2=6.06,s 乙2=14.31即有s 甲2<s 乙2,所以甲样本的波动比乙样本小,故答案选B .
正解:选D .因为题目中样本甲和样本乙的平均数都未提及,由此,无法用它们的方差来比较其波动性大小.所以,本题答案应选D .
四、因审题不仔细、考虑问题不周全造成错解
例10. 有m 个数的平均数为x ,n 个数的平均数为y ,则(m+n)个数的平均数是( ) A.
x +y 2
B.
x +y m +n
C.
mx +ny m +n
D.
my +nx m +n
错解一:由题意可知,这是求平均数x 与平均数y 之和的平均数,所以它们的平均数是
x +y 2
.故答案选A .
错解二:由题意可知,所求(m+n)个数的样本总量为(x+y),所以,其平均数为
x +y m +n
.故答案选B .
错解分析:以上两个错解都是由于审题不仔细、考虑问题不周全所造成的.错解一是误认为求x,y 的平均数,由此把样本容量当作2,把(x+y)当作了样本总量.错解二虽然确定样本容量为(m+n),判断正确,但仍将(x+y)当作样本总量,而此时的样本总量应为(mx+ny),所以,它们的平均数是答案选C .解略.
例11. 甲、乙两工人生产直径为40mm 的同一种零件.现各抽取两人加工的5个零件,量得尺寸如下(单位:mm ): 甲:42,41,40,39,38
乙:40.5,40.1,40,39.9,39.5. 问哪位工人生产的零件质量较好?
错解:甲、乙两工人生产的零件尺寸的平均数分别为:
x 甲
x 乙
1
mx +ny m +n
.故
=×(42+41+40+39+38)=40,
5
1
=×(40.5+40.1+40+39.9+39.5)=40.所以,两工人生产的零件质量一样好.
5
错解分析:错解是由于掌握知识不全面,考虑问题不周全造成的. 分析数据不应该只从平均数上分析,还应该知道利用方差、极差来解决问题. 极差、方差都可以反映数据的波动情况,由上述计算可知工人乙的极差、方差都比工人甲的小,所以工人乙生产的零件质量较好.
正解:x =×(42+41+40+39+38)=40,甲的极差是42-38=4.
甲
1
5
s 甲2=×[(42-40)2+(41-40)2+(40-40)2+(39-40)2+(38-40)2]=2.
5
1
x 乙
=×(40.5+40.1+40+39.9+39.5)=40,乙的极差是40.5-39.5=1.
515
1
22222s 乙2=×[(40.5-40)+(40.1-40)+(40-40)+(39.9-40)+(39.5-40)]=0.104.
从上可知,在两位工人生产零件尺寸的平均数相同的情况下,工人乙的极差和方差都比工人甲的要小得多. 所以工人乙生产的零件质量较好.