[复变函数与积分变换]
大连理工大学网络教育学院大工 15 春《复变函数与积分变换》开卷考试期末复习题一、单项选择题(本大题共 60 小题,每小题 2 分,共 120 分)1、 z A、1 C、1 i 的共轭复数是( 2 i) B、02 1 2 1 i 3 3)D、2 1 2 1 i 3 3答案:D 2、下列选项中为解析函数的是( A、 f ( z ) x 2 yi C、 f ( z ) xy2 x 2 yi 答案:DB 、 f ( z ) 2 x 3 3 y 2i D、 f ( z ) sin xchy cos xshyi3、设 C 为正向圆周 | | 2, f ( z ) 6 C ( z ) 2 d ,则 f (1) (sin)A、 336iB、336iC、 3 2 i 6D、3 2 i 6答案:A 4、设 z A、1 C、1 3i ,则 z z ( i 1 i) B、-1 D、 5 25 2答案:C 5、设 C 为正向圆周 | z | 1 ,则 zdz (C) C、 2 i D、0A、 6 i 答案:C 6、函数 f ( z ) A、0 答案:C 7、 12B、 4 iRe z ,当 z 0 时的极限为( |z|B、1) C、不存在 D、-1() 第1页 共 21 页大连理工大学网络教育学院A、 cos 2 i sin 2 C、 i sin 2 答案:B 8、设 C 为正向圆周 | z 1 | 2 ,则2B、 cos(2 2k ) i sin(2 2k ) D、 cos 2Cez dz ( z2) C、 e i2A、 eB、 2 e 2iD、 2 e 2i答案:B 9、设 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析,C 为 D 内一条正向闭曲线,则必有( A、 ) D、CIm[ f ( z )]dz 0)B、CRe[ f ( z )]dz 0C、 [ f ( z )]C2dz 0Cf ( z )dz 0答案:D 10、Ln(-1)=( A、1 答案:C 11、将函数 f ( z ) A、 | z | 1 答案:A 12、幂级数 A、0 答案:AB、2C、πiD、1+πi1 在 z 0 处展成泰勒级数,其收敛区域为( (1 z 2 ) 2B、 | z | 1 C、 | z | 1) D、不确定 n! zn 0n的收敛半径是( B、1n2) C、2 D、3 1 13、幂级数 1 z n 的收敛半径是( n n 1 A、0 C、 e 答案:D 14、点 z 1是 f ( z ) ( z 1) sin5) B、1 D、1 e1 的( z 1) C、五阶零点 D、本性奇点A、可去奇点 答案:DB、二阶极点15、设 C 为正向圆周 | z | 1 ,则 A、0 B、1CC、 idz ( z2) D、 2 i第2页共 21 页大连理工大学网络教育学院答案:Aei a z ei b z (a, b 为实数, a b) 在 z 0 处的留数为( 16、函数 z2A、 i (b a ) C、 a b 答案:D 17、映射 w e 在点 z i 处的伸缩率为( A、1 答案:B 18、函数 tanz 在 z A、-1 答案:A 19、 z 0 是 f ( z ) A、可去奇点 答案:A 20、函数 w A、1 答案:C B、z2)B、 b a D、 i ( a b )) C、2 e)1 eD、 e2处的留数为( B、2C、3D、1sin z 的( z) C、二阶极点 D、都不正确B、本性奇点1 的奇点是( z) C、0 D、2B、-11 - t 2 , | t | 1 21、函数 f (t ) 的傅氏变换为( 0, | t | 1A、 C、)2 sin 4 cos 4 sin 2 3 4 sin 4 cos -B、 D、4 sin 4 sin 2 4 cos 4 cos 2答案:A 22、下列变换中不正确的是( A、 F [u (t )] C、 F-1) B、 F [ (t )] 11 ( ) i[2 ()] 1D、 F-1[cos0t ] (0 - ) - (0 )答案:D 23、若 F [ f (t )] F ( ) ,则 F [ F (t )] ( A、 2 f ( ) B、 2 f (- ) 第3页 ) C、 f ( ) 共 21 页 D、 f (- )大连理工大学网络教育学院答案:B 24、下列选项中不正确的是( ) B、 L [ (t )] 1 D 、 L [t ] 1 (Re s 0) s 1 at (Re s Re a ) C、 L [ e ] s-aA、 L [u (t )] 答案:D 25、 cos at 的拉氏变换为( A、21 ( Re s 0) s) B、s 1 2 2( s 4a ) 2s2s 1 2 2( s 4a ) 2 s2C、s 1 2 s 4a s2D、s 1 2 s 4a s2答案:A 26、设 f (t ) cos0t ,则其傅氏像函数 F [ f (t )] ( A、 ( - 0 ) - ( 0 ) C、 [ ( 0 ) ( - 0 )] 答案:C 27、函数 (t ) 的傅氏变换 F [ (t )] ( A、-2 B、-1 答案:C 28、在下列函数中不存在拉氏变换的是( A、 et2) B、 i D、 [ ( 0 ) - ( - 0 )]) C、1 ) C、 sin 2t D、 e (a 0)atD、2B、 u(t )答案:A 29、若 F [ f (t )] F ( ), t0 为实常数,则 F [ f (t - t0 )] ( A、 e-i t0)-2 i t0F ()B、 ei t0F ()C、 eF ()D、 e2 i t0F ( )答案:A 30、函数 t 3t 2 的拉氏变换为(2) C、A、2 3 2 s3 s 2 sB、2 3 2 - s3 s 2 s)2 3 2 - s3 s2 sD、2 3 2 s3 s2 s答案:A 31、已知 z A、0 答案:C 第4页 共 21 页1 3i ,则 Re z ( i 1 i 1 B、 2C、 3 2D、无法确定大连理工大学网络教育学院32、下列函数中,为解析函数的是( A、 x 2 y 2 2 xyi C、 2( x 1) y i( y 2 x 2 2 x) 答案:C 33、设 z 3 i, z 2 ,则 arg ( A、 ) C、 ) B、 x xyi2D、 x iy33 3B、 6 6D、 3答案:A 34、 z A、0 B、1 答案:D 35、(1 3i)(1 i) 的模为( (i 1) 2C、2)D、 2ez |z 2|1 z 2dz () B、 2 e C、 2 e2A、 2e 答案:DD、 2 e i236、若 f ( z ) i 是复平面上的解析函数,则 f ( z ) () i A、 x y答案:B i B、 y xC、 i x xD、 i y x37、设 e 1 i ,则 Imz (z)A、 4B 、 2 k 4C、 4)D 、 2 k 4答案:B 38、若等式 A、(1,11) 答案:Ax 1 i ( y 3) 1 i 成立,则 ( x, y ) 的值是( 5 3iB、(0,11)C、(1,10)D、(0,10)1 e ni 39、数列 an (1 ) 的极限为( nA、0 答案:B 40、当 z B、1) C、-1 D、21 i 100 75 50 ,则 z z z ( 1 i) 第5页 共 21 页大连理工大学网络教育学院A、 i 答案:B B、 i C、1 D、-141、设 C 为正向圆周 | z | 1 ,则 A、 i 答案:B 42、 Re s[ A、 2 i 答案:D 43、设 f ( z ) A、 ak 答案:C 44、映射 A、0 答案:D 45、若幂级数 A、绝对收敛 答案:Acos z dz ( C z) C、0 D、1B、 2 iz ,2i ] ( ( z 2i ) 2) C、-1 D、1B、 2 ia zn 0 nn在 | z | R 内解析, k 为正整数,那么 Re s[ B、 k!ak C、 ak 1f ( z) ,0] ( zk) D、 (k 1)!ak 13z i 在 z0 2i 处的旋转角为( z iB、) C、 D、 22c zn 0 nn在 z 1 2i 处收敛,那么该级数在 z 2 处( B、收敛 C、发散) D、不能确定46、C 为正向圆周: | z | 2 ,则 A、 i 答案:BCez dz ( z ( z 1) 2) C、 i D、 4 iB、 2 i47、将点 z 1, i,1 分别映射为点 ,1,0 的分式线性变换为()iz 1 z 1 z 1 B、 1 zA、 答案:C 48、 z 0 是 A、1 答案:BC、 e 2iz 1 1 zD、 e 2z 1 z 1sin z 的极点,其阶数为( z3B、2) C、3 D、4第6页共 21 页大连理工大学网络教育学院49、以 z 0 为本性奇点的函数是( ) C、 e D、 答案:C 50、设 f ( z ) 的罗朗展开式为 1 zsin z A、 z1 B、 z ( z 1) 21 e 1z2 1 ( z 1) 2( z 1) 2 n( z 1) n ,则 2 ( z 1) z 1Re s[ f ( z ),1] (A、-2 答案:B) B、-1 C、1 D、251、已知 f (t ) cost sin t ,则 F [ f (t )] ( A、) B、i2[ ( 2) ( 2)]i2[ ( 2) ( 2)]C、 i[ ( 2) ( 2)] 答案:A 52、已知 f (t ) sin 3 t ,则 F [ f (t )] ( A、 )D、 i[ ( 2) ( 2)][ ( - 3) 3 ( 1) 3 ( 1) - ( 3)] 4 i [ ( - 3) - 3 ( 1) 3 ( 1) - ( 3)] B、 4 i [ ( - 3) 3 ( 1) 3 ( 1) ( 3)] C、 4 i [ ( - 3) 3 ( 1) - 3 ( 1) - ( 3)] D、 4答案:B 53、已知 f (t ) sin( 5t i3) ,则 F [ f (t )] ()A、i2[ ( 5) - ( 5)] 3 [ ( 5) ( 5)] 2 3 [ ( 5) ( 5)] 2 3 [ ( 5) ( 5)] 2 3 [ ( 5) ( 5)] 2第7页 共 21 页B、i2[ ( 5) ( 5)] C、i2[ ( 5) - ( 5)] D、i2[ ( 5) - ( 5)] 大连理工大学网络教育学院答案:C 54、已知 f (t ) t 2u (t ), g (t ) 2,1 t 2 ,则函数的卷积 f (t ) g (t ) ( 0, 其他) 0, t 1 2 A、 (t 1)3 ,1 t 2 3 2 3 [(t 1)3 (t 2) ], t 2 3 0, t 1 2 B、 (t 1)3 ,1 t 2 3 3 2 [(t 1)3 (t 2) ], t 2 3 0, t 1 2 C、 (t 1)3 ,1 t 2 3 2 3 [(t 1)3 (t 2) ], t 2 3 0, t 1 2 D、 (t 1)3 ,1 t 2 3 3 2 [(t 1)3 (t 2) ], t 2 3 答案:D 55、已知函数 f (t ) A、 ( 2 e 答案:A 56、已知函数 f (t ) sin A、2,0 t 2 ,则 f (t ) 的拉普拉斯变换 L [ f (t )] ( 3, t 2B、 ( 2 e) D、 ( 2 e )2s1 s2 s)1 s2 s)C、 ( 2 e )2s1 s1 s2 4s 12t ,则 f (t ) 的拉普拉斯变换 L [ f (t )] ( 2 2 2 B、 2 C、 2 4s 1 2s 1) D、1 4s 12答案:B 57、已知函数 F ( s ) 1 1 ,则 f (t ) 的拉普拉斯逆变换 L [ F ( s)] ( s ( s 1) 2B、 1 e tet t)A、 1 e tettC、 1 e tettD、 1 e tett第8页共 21 页大连理工大学网络教育学院答案:C 58、已知函数 F ( s) s ,则 f (t ) 的拉普拉斯逆变换 L 1 [ F ( s)] ( ( s a)(s b)B、)A、1 (e a t a e b t b ) ab1 (e a t a e b t b ) a b)C、1 (e a t a e b t b ) abD、1 (e a t a e b t b ) a b答案:D 59、像函数1 的拉氏逆变换为( s a221 sin at a C、 sin atA、 答案:A 60、在区间 [0,] 上的卷积 sin k t sin k t (k 0) (1 sin t a D、 sin tB、 )1 sin k t t cos k t 2 2k 1 sin k t C、 t cos k t 2 2kA、 答案:B1 sin k t t cos k t 2 2k 1 sin k t D、 t cos k t 2 2kB、 二、判断题(本大题共 60 小题,每小题 2 分,共 120 分)1、 z1 5 5i, z2 3 4i ,则 A、正确 答案:A 2、设 f ( z ) ( z 2 z 1) 3 5z1 7 1 i。 z2 5 5B、错误1 2 2 3 4 ,则 f ( z ) 5(3 z 2)( z 2 z 1) 3 。 2 z zB、错误A、正确 答案:A 3、积分sin z dz 2 i cos1 | z| 2 ( z 1) 2B、错误A、正确 答案:A 4、1 i1ze z dz e iB、错误nA、正确 答案:Bz 5、当 n 时, zn 的极限是不存在。 zA、正确 第9页 B、错误 共 21 页大连理工大学网络教育学院答案:A 6、设 z (1 i)100 ,则 z 2 。50A、正确 答案:B 7、设 C 为从点 z1 i 至点 z2 0 的直线段,积分 I A、正确 答案:AB、错误 zdz 2 。C1B、错误8、设 z x iy 满足 x 1 i( y 2) (1 i)(1 i) ,则 z 3 2i 。 A、正确 答案:A B、错误9、方程 | z i | 2 所表示的曲线为中心为 i ,半径为 2 的圆。 A、正确 答案:A 10、 Ln(3 4i ) ln 5 i (2k arctan A、正确 答案:A 11、区域 0 arg z A、正确 答案:A 12、函数 f ( z ) A、正确 答案:B 13、函数 f ( z ) A、正确 答案:A 14、幂级数 A、正确 答案:A 15、幂级数 A、正确 答案:A B、错误4 ) 3B、错误43 在映射 w z 下的像为 0 arg z 3 4B、错误1 1 在奇点处的留数只有 z z z 1 43 2B、错误 1 0 | z | 1 zn 在圆环域 内的罗朗展开式为 2 z (1 z ) n 2B、错误(1) n n z 的收敛半径为 n! n 1B、错误zn 的收敛半径是 1 3 n 1 nB、错误第 10 页共 21 页大连理工大学网络教育学院16、幂级数 A、正确 答案:A 17、设 lim A、正确 答案:A 18、函数 f ( z ) ( z 1) n 的收敛半径 R 1 n n 1B、错误 1 an 1 a 。 1 i ,则幂级数 n z n 的收敛半径为 n a 2 n 0 n 1 nB、错误1 1 cos z在其奇点 zk 1 k 2(k 0,1,) 处的留数Re s[ f ( z ), z k ] (1) k(k ) 2(k 0,1,)2A、正确 答案:A 19、映射 w e 将带形域 0 Im z zB、错误3 3 映射为角形域 0 arg w 4 4B、错误A、正确 答案:A 20、函数 A、正确 答案:A1 在点 z 4 处的泰勒级数的收敛半径为 R 2 z2B、错误0,- t -1 - 1,-1 t 0 2(1 - cos ) 21、函数 f (t ) 的傅氏变换 F [ f (t )] i 1,0 t 1 0,1 t A、正确 答案:A2t 22、函数 f (t ) e 5 (t ) 的拉氏变换 L [ f (t )] 5 B、错误1 (Re s 2) s-2B、错误tA、正确 答案:A23、已知微分方程 y - y 2, y(0) 1 ,则用拉氏变换解得 y(t ) 3e - 2 。 A、正确 答案:A 24、函数 f (t ) 3(t 1) 5e2 -2 tB、错误sin 3t 的拉普拉斯变换 L [ f (t )] 第 11 页 共 21 页6 6 3 15 2 3 s s s ( s 2) 2 9大连理工大学网络教育学院A、正确 答案:A 25、函数 u(1 - e-t ) 的拉氏变换为 s A、正确 答案:B B、错误 B、错误- 1,-1 t 0 2i 26、函数 f (t ) 1,0 t 1 的傅氏变换 F [ f (t )] (cos - 1) 0, 其他 A、正确 答案:A 27、 cost 的拉氏变换 L [cos t ] A、正确 答案:A B、错误s (Re s 1) s 12B、错误28、设 F ( p ) L [ y (t )] ,其中函数 y(t ) 可导,而且 y (0) 0 ,则 L [ y(t )] F ( s) 。 A、正确 答案:B 29、已知常微分方程的初值问题 A、正确 答案:A 30、函数 (t -1) e 的拉氏变换为 A、正确 答案:A 31、 33i 27e2k (cosln 3 i sin ln 3)(k 为整数) A、正确 答案:A 32、设 C 为正向单位圆周在第一象限的部分,则积分 A、正确 答案:B 33、积分 A、正确 答案:A B、错误2 tB、错误 y - y 2 cost ,则利用拉氏变换解得 y(t ) sin t - cos t et 。 y(0) 0B、错误s 2 - 4s 5 ( s - 1)3B、错误 ( z)C3zdz 1 i 。B、错误| z| 42 1 dz 6 i z 1 z 3 B、错误34、复数方程 e z 1 3 i 的解为 ln 2 i ( 2k )( k 0,1,2, ) 第 12 页 共 21 页5 3大连理工大学网络教育学院A、正确 答案:A 35、 B、错误2i0(3 z 1)dz 13 7i 2B、错误A、正确 答案:A 36、已知 f ( z ) i 是解析函数,其中 A、正确 答案:A 37、在复数域内,方程 cos z 0 的全部解为 A、正确 答案:A 38、若 f ( z ) A、正确 答案:B 39、设 f (0) 1, f (0) 1 i ,则 limz 01 x ln( x 2 y 2 ) ,则 。 2 2 y x y 2B、错误2 k ( k 0,1, ) 。B、错误z cos z ,则 f ( z )dz i 。 | z| 1 z2B、错误f ( z) 1 1 i 。 zA、正确 B、错误 答案:A 40、|z-2i|=|z+2|所表示的曲线的直角坐标方程是 x=-y。 A、正确 B、错误 答案:A 41、设 C 为正向圆周 | z 2| 1 ,则 cos z (z ) 2Cdz 0 。5A、正确 答案:A 42、 F ( z ) A、正确 答案:A 43、函数 tanz 在 z A、正确 答案:A 44、z=0 是 f ( z ) A、正确 答案:AB、错误z0e d 在 z 0 处的泰勒展开式为 21 z 2 n 1 , | z | 。 n 0 n!( 2n 1)B、错误2处的留数为-1 B、错误sin z 的可去奇点 zB、错误第 13 页共 21 页大连理工大学网络教育学院45、函数 w A、正确 答案:A 46、函数 A、正确 答案:A 47、函数1 的奇点是 0 zB、错误1 在点 z=4 处的泰勒级数的收敛半径为 R=2。 z2B、错误1 的极点是一阶极点。 sin zB、错误A、正确 答案:A 48、分式线性映射 ω=z+b 是一个旋转与伸缩映射。 A、正确 答案:B 49、分式线性映射 ω=az,a≠0 是一个平移映射。 A、正确 答案:B 50、分式线性映射 w A、正确 答案:A 51、B、错误B、错误1 通常称为反演映射。 zB、错误- (t ) f (t )dt f (t )B、错误A、正确 答案:B 52、 (t ) (t ) A、正确 答案:A 53、 F [ (t )] A、正确 答案:A 54、 F-1B、错误 (t ) ei t dt ei tt 01B、错误[1] 1 2e i t d (t )B、错误A、正确 答案:A 55、 F [e A、正确 答案:B 56、积分 A、正确 第 14 页i0 t] ( 0 )B、错误0te 2t dt 1 4B、错误 共 21 页大连理工大学网络教育学院答案:A 57、函数 f (t ) ekt 的拉氏变换为 A、正确 答案:A 58、函数 1 u (t ) 在区间 [0,] 上的卷积为 t A、正确 答案:A 59、设 f (t ) (t 6) ,则 L [ f (t )] e6 s 。 A、正确 答案:A 60、设 F ( s ) A、正确 答案:A B、错误 B、错误1 (Re s Re k ) skB、错误1 1 4t ,则 L 1 [ F ( s )] (1 e ) 。 4 s( s 4)B、错误三、填空题(本大题共 20 小题,每小题 3 分,共 60 分)1、将幂函数 51 i表示成三角形式为_______________________答案: e ln 5 [cos(ln5) i sin(ln5)] 考点:复数各种表示方法及其运算 课件出处:第 1 章复数与复变函数,第二节复数几何表示 2、将幂函数 i 表示成指数形式为________________ 答案: ei2 2 k(k 为整数)考点:复数各种表示方法及其运算 课件出处:第 1 章复数与复变函数,第二节复数几何表示 3、设 C 为正向单位圆周在第一象限的部分,则积分 答案:1+i 考点:复变函数积分的计算 课件出处:第 3 章复数函数的积分,第一节复变函数积分的概念 4、 Ln( 2) 的主值为________________ 答案: ln 2 考点:复变函数积分的计算 第 15 页 共 21 页 ( z)C3zdz _________。大连理工大学网络教育学院课件出处:第 3 章复数函数的积分,第一节复变函数积分的概念 5、函数 f ( z ) 答案: e iz 1 z2在极点处的留数为________________i i 和 e 2e 2考点:留数定理 课件出处:第 5 章留数,第二节留数 6、| z| 5 (2 z2 e z cos z )dz ________答案:0 考点:柯西—古萨基本定理 课件出处:第 3 章复变函数的积分,第二节柯西—古萨基本定理 7、函数 1 u (t ) 在区间 [0,] 上的卷积为_________ 答案: t 考点:卷积定理 课件出处:第 7 章傅里叶变换,第四节卷积定理与相关函数 8、当 n 时, zn 的极限是 答案:不存在 考点:复变函数的极限 课件出处:第 1 章复数与复变函数,第六节复变函数的极限与连续性 9、区域 0 arg z z zn。4 3 答案: 0 arg z 4考点:分式线性映射在映射 w z 下的像为3课件出处:第 6 章共形映射,第二节分式线性映射 10、假设 C 是圆周 | z 1 | 1 的下半圆周,z 从-2 到 0,则积分 cosz dz ____________C答案:sin2 考点:复变函数积分的计算 课件出处:第 3 章复数函数的积分,第一节复变函数积分的概念 11、 (1 i) 的值为________。6第 16 页共 21 页大连理工大学网络教育学院答案: 8i 考点:复数的乘幂 课件出处:第 1 章复数与复变函数,第三节复数的乘幂与方根 12、 2 2i 的三角形式为 答案: 2 2 (cos 。4 i sin4) ln 5 i ( arctan4 ) 3考点:复数各种表示方法及其运算 课件出处:第 1 章复数与复变函数,第二节复数几何表示 13、已知 f ( z ) u iv 是解析函数,其中 u 1 v ln( x 2 y 2 ) ,则 __________________。 2 y答案:x x y22考点:复变函数求导 课件出处:第 2 章解析函数,第二节函数解析的充要条件 14、设 f (0) 1, f (0) 1 i ,则 limz 0f ( z) 1 ____________。 z答案: 1 i 考点:复变函数求导 课件出处:第 2 章解析函数,第一节解析函数的概念 15、判断级数in 的敛散性为(若收敛,请回答是绝对收敛还是条件收敛) n 1 n。答案:条件收敛 考点:复变函数求导 课件出处:第 2 章解析函数,第一节解析函数的概念 16、 z 1是函数 f ( z ) 答案:2 考点:极点 课件出处:第 5 章留数,第一节孤立奇点 17、分式线性映射 答案:反演 考点:分式线性映射 课件出处:第 6 章共型映射,第二节分式线性映射2 18、映射 w z 在 z 0 1 下的旋转角为 0 ,伸缩率为________。z 的 ( z 1) 2级极点。1 通常称为 z映射。第 17 页共 21 页大连理工大学网络教育学院答案:2 考点:伸缩率 课件出处:第 6 章共型映射,第三节唯一决定分式线性映射的条件 19、已知函数 f (t ) 2s 答案: ( 2 e )2,0 t 2 ,则 f (t ) 的拉普拉斯变换 L [ f (t )] 3, t 2。1 s考点:伸缩率 课件出处:第 6 章共型映射,第三节唯一决定分式线性映射的条件 20、已知函数 F ( s ) 1 1 ,则 F ( s ) 的拉普拉斯逆变换 L [ F ( s)] s ( s 1) 2。答案: 1 e tett考点:拉普拉斯变换与其逆变换的方法 课件出处:第 8 章拉普拉斯变换,第三节拉氏逆变换四、计算题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分)1、解方程组 2 z1 z 2 i (1 i) z1 iz 2 4 3i解:令 z1 x1 iy1 , z 2 x2 iy2 ,所给方程组可写为 2 x1 2 i y1 x2 i y 2 i (1 i)(x1 iy1 ) i( x2 iy 2 ) 4 3i即2 x1 x2 i(2 y1 y 2 ) i x1 y1 y 2 i( x1 x2 y1 ) 4 3i(2 分) 2 x1 x 2 0 2y y 1 1 2 利用复数相等的概念可知 (2 分) x y y 4 1 1 2 x1 x 2 y1 3 3 6 6 17 解得 x1 , (1 分) y1 , (1 分) x 2 , (1 分) y 2 , (1 分) 5 5 5 5 3 6 6 17 i。 故 z1 i , (1 分) z 2 (1 分) 5 5 5 5考点:复数运算 课件出处:第 1 章复数与复变函数,第一节复数及其代数运算 2、计算 I 1 zdz ,其中 C 是(1) | z 1 | ; (2) | z | 3 。 C ( 2 z 1)( z 2) 2第 18 页 共 21 页大连理工大学网络教育学院解: (1)被积函数在 | z 1 |1 内处处解析,故 I 0 。 (5 分) 2 1 (2)被积函数在 | z | 3 内有两个奇点 z , z 2 ,由复合闭路原理,知 2 z z z z 2 dz 2 z 1dz 2 i 1 ( z ) I ) 1 2 i ( C1 C2 C1 C 1 2 z 2 2 z 2 z 2 2z 1 2( z ) 2 i 4 i i (2 分) 5 5z 2(3 分)考点:复合闭路定理 课件出处:第 3 章复变函数的积分,第三节基本定理的推广—复合闭路定理 3、求函数1 分别在圆环 1 | z | 2 及 2 | z | 内的洛朗级数展式 ( z 1)( z 2)1 1 z z 2 z 3 z n | z | 1 1 z z 1 (1)由 1 | z | 2 ,有 | | 1, | | 1 (2 分) 2 z解:因为 所以 1 1 1 1 1 zn 1 n 1 n 1 (3 分) ( z 1)(z 2) z 2 z 1 2(1 z ) z (1 1 ) n 0 2 n 0 z 2 z(2)由 2 | z | ,有 |2 1 | 1, | | 1 (2 分) z z所以 1 1 1 1 1 2n 1 n 1 n 1 (3 分) ( z 1)(z 2) z 2 z 1 z (1 2 ) z (1 1 ) n 0 z n 0 z z z考点:用间接方法将简单的函数在圆环域内展开为洛朗级数 课件出处:第 4 章解析函数的级数,第四节洛朗级数(s ) 4、计算函数 F1 1 1 的拉普拉斯逆变换 L [F (s)] s 1 s 1 1 1 t t e ](5 分) e (5 分) s 1 s 1解:由拉普拉斯变换性质L1[F(s)] L1[考点:拉普拉斯变换与其逆变换的方法 课件出处:第 8 章拉普拉斯变换,第三节拉氏逆变换五、证明题(本大题共 4 小题,每小题 15 分,共 60 分)第 19 页共 21 页大连理工大学网络教育学院1、利用卷积定理证明等式 L1[ss2a2 2]t sin at(a 0) 2a证明: F ( s) s s 1 , (4 分) 2 2 2 2 2 (s a ) s a s a22由 L1[ss2a12 2] cos at, L1[s12a2 2]1 sin at, (4 分) a有 f (t ) L [ F ( s )] (4 分) 1 1 t 1 t cos at sin at sin a cos a(t )d [sin at sin( 2a at )]d a a 0 2a 0t sin at 1 2 2a 4a sin a(2 t )da(2 t ) 0tt t sin at t sin at 1 [ 2 cosa(2 t )] (3 分) 0 2a 4a 2a考点:卷积定理 课件出处:第 7 章傅里叶变换,第四节卷积定理与相关函数F (s) 0 s 1 证明: L [ f (t ) u (t )] L [ f (t )] L [u (t )] (3 分) F ( s ) (3 分) s2、利用卷积定理证明等式 L [tf (t )dt] L [ f (t ) u (t )] L [ f (t ) u (t )] L [ u( ) f (t )d ] (3 分)= L [ f (t )d ] (3 分)= L [ f (t )dt] (3 分)0 0 0ttt考点:卷积定理 课件出处:第 7 章傅里叶变换,第四节卷积定理与相关函数 3、若 F [ ei ( t)1 ( t )] [ F ( ) F ( ) ] 。 ]F ( ),其中 ( t ) 为一实函数,则 F [cos 2证明: F ( ) e i (t ) e i t dt (3 分) F () e i (t ) e i t dt e i (t ) e i t dt (3 分)i ( t ) e 1 e i (t ) i t [ F ( ) F ( )] e dt (3 分) 2 2 cos (t )e i t dt (3 分) F [cos (t )](3 分)考点:简单函数的傅里叶变换的求法 课件出处:第 7 章傅里叶变换,第二节傅里叶变换 4、试证函数 f ( z ) z z 1在复平面解析3 2证明:令 f ( z ) u iv, z x iy (2 分) 得 u x 3xy x y 1 (2 分)3 2 2 2第 20 页共 21 页大连理工大学网络教育学院v 3x 2 y y 3 2 xy (2 分)因为u v u v 3x 2 3 y 2 2 x; 3x 2 3 y 2 2 x; 6 xy 2 y; 6 xy 2 y (5 分) x y y xu v u v , (2 分) x y y x所以利用解析函数的充要条件,可证得 f ( z ) 在复平面解析。 (2 分) 考点:复变函数解析的充要条件 课件出处:第 2 章解析函数,第二节函数解析的充要条件第 21 页共 21 页